Επίλυση άπειρων στη Φυσική των Σωματιδίων:Μια Νέα Προσέγγιση

Πώς να δαμάσεις τα ατελείωτα άπειρα που κρύβονται στην καρδιά της σωματιδιακής φυσικής

Στα μαθηματικά της σωματιδιακής φυσικής, κάθε υπολογισμός πρέπει να καταλήγει σε άπειρο. Οι φυσικοί το ξεπερνούν απλώς αγνοώντας ορισμένα μέρη των εξισώσεων - μια προσέγγιση που παρέχει κατά προσέγγιση απαντήσεις. Αλλά χρησιμοποιώντας τις τεχνικές που είναι γνωστές ως «αναβίωση», οι ερευνητές ελπίζουν να τελειώσουν τα άπειρα και να καταλήξουν σε απόλυτα ακριβείς προβλέψεις.

Tommy Parker για το Quanta Magazine

Εισαγωγή

Το μυστικό για τη διόρθωση ενός μοιραίου ελαττώματος στην καρδιά της κβαντικής θεωρίας μπορεί να βρίσκεται σε τρία σκοτεινά εγχειρίδια από τη δεκαετία του 1980. Αλλά οι φυσικοί μπορούν να συγχωρεθούν που παραβλέπουν τις δυνητικά μετασχηματιστικές ιδέες μέσα τους, καθώς οι τόμοι φαίνονται ταυτόχρονα ερασιτεχνικοί και εκφοβιστικοί.

Τα λίγα φυσικά αντίγραφα που υπάρχουν του magnum opus του Jean Écalle μοιάζουν με κάτι περισσότερο από δοξασμένες φωτοτυπίες. Υπερμεγέθη μαθηματικά σύμβολα χαραγμένα με χοντρό μαύρο μελάνι διακόπτουν συχνά τις τακτοποιημένες προτάσεις. Το κείμενο είναι επίσης γραμμένο στα γαλλικά, κάτι που αποτελεί ταλαιπωρία για τους ερευνητές στον αγγλόφωνο κόσμο.

Τα ίδια τα μαθηματικά θέτουν ένα άλλο εμπόδιο. Οι 1.110 σελίδες της τριλογίας είναι γεμάτες με πρωτότυπα μαθηματικά αντικείμενα και παράξενα νομίσματα. Οι περίεργοι όροι όπως "trans-series", "αναλύσιμα μικρόβια", "εξωγήινες παράγωγες" και "accelero-summation" αφθονούν.

«Αν ρίξετε μια ματιά σε αυτό για πρώτη φορά και δεν το διαβάσετε πολύ προσεκτικά, θα μπορούσατε να σκεφτείτε ότι είναι ένα κράξιμο που γράφει μερικά τρελά πράγματα», είπε ο Marcos Mariño, μαθηματικός φυσικός στο Πανεπιστήμιο της Γενεύης που κρατά αυτό που αποκαλεί «ιστορικά έγγραφα» στο ράφι του και χρησιμοποιεί εργαλεία που αναπτύσσει η Écalle καθημερινά. "Φυσικά, δεν είναι. Είναι ένας από αυτούς τους οραματιστές μαθηματικούς."

Τα οραματικά μαθηματικά του μπορεί να είναι ακριβώς ό,τι χρειάζεται για να ξεπεραστεί μια βαθιά εννοιολογική αμηχανία - μια που οι φυσικοί λίγο πολύ αγνοούσαν τα τελευταία 70 χρόνια. Εκείνη την εποχή, οι φυσικοί έμαθαν να κάνουν εκπληκτικά ακριβείς προβλέψεις για τον υποατομικό κόσμο. Αλλά αυτές οι προβλέψεις, όσο ακριβείς κι αν είναι, είναι προσεγγίσεις. Αν κάποιος επιδιώκει την απόλυτη ακρίβεια, η κβαντική θεωρία του σχολικού βιβλίου καταρρέει και δίνει άπειρες απαντήσεις —  παράλογα αποτελέσματα που πολλοί φυσικοί θεωρούν ότι είναι μαθηματικά σκουπίδια.

Μελετώντας τα vintage εγχειρίδια του Écalle, οι φυσικοί φτάνουν να υποψιαστούν ότι αυτές οι άπειρες απαντήσεις περιέχουν αμέτρητους θησαυρούς και ότι, με επαρκή προσπάθεια, τα μαθηματικά εργαλεία που ανέπτυξε θα τους αφήσουν να πάρουν οποιοδήποτε άπειρο και να ανακαλύψουν μια πεπερασμένη και άψογη απάντηση σε κάθε κβαντική ερώτηση.

«Πράγματι, λειτουργεί πολύ όμορφα» σε πολλές περιπτώσεις, είπε ο Μάρκο Σερόνε, ένας φυσικός που μελετά αυτή τη στρατηγική, η οποία ονομάζεται «αναβίωση». "Κάποια στιγμή αυτή η διαδικασία τελειώνει και αυτό που έχετε μπροστά στα μάτια σας είναι η ακριβής λύση στο αρχικό σας πρόβλημα."

Η κοινότητα της αναζωπύρωσης είναι μικρή, αλλά έχει σημειώσει σταθερή πρόοδο όλα αυτά τα χρόνια. Μια πρωτότυπη έκδοση της τεχνικής που ελήφθη με ακριβή αποτελέσματα στην κβαντομηχανική, η οποία περιορίζεται στη συμπεριφορά των σωματιδίων. Και πιο περίπλοκες ενσαρκώσεις επέτρεψαν σε ορισμένους φυσικούς να τολμήσουν περαιτέρω στα θολά νερά της κβαντικής θεωρίας πεδίου, και πρόσφατα στη θεωρία χορδών. Αλλά αυτή είναι μόνο η αρχή των μεγάλων ονείρων που τρέφουν οι επαγγελματίες της αναζωπύρωσης. Στοχεύουν σε έναν νέο τρόπο σκέψης για τα άπειρα στις φυσικές θεωρίες — έναν τρόπο που ταιριάζει καλύτερα με τον πεπερασμένο κόσμο μας στη θεωρία και, ίσως, και στην πράξη.

Εκρηκτικές δυνατότητες

Η θεωρία του κβαντικού πεδίου - η αντίληψη ότι σωματίδια όπως τα ηλεκτρόνια είναι πραγματικά διατηρητέοι κυματισμοί σε ένα υποκείμενο κβαντικό πεδίο - ανάγκασε τους μεταπολεμικούς φυσικούς να αντιμετωπίσουν το άπειρο κατάματα.

Αυτά τα κβαντικά πεδία είναι αφάνταστα περίπλοκα θηρία — με παροδικούς κυματισμούς και συνεκτικά κύματα που κυλάουν φαινομενικά κενό χώρο. Αυτοί οι διερχόμενοι κυματισμοί μπορούν, κατ' αρχήν, να εμφανιστούν ανά πάσα στιγμή, σε οποιονδήποτε αριθμό και με οποιαδήποτε ενέργεια — προκαλώντας τους φυσικούς να εξηγήσουν μια ατελείωτη σειρά υποατομικής ανάμειξης προκειμένου να κατανοήσουν το ακριβές αποτέλεσμα ακόμη και απλών πειραμάτων.

Στη δεκαετία του 1940, ο Shin’ichiō Tomonaga, ο Julian Schwinger και ο Richard Feynman επεξεργάστηκαν όλοι ισοδύναμοι τρόποι για να πάρουν πεπερασμένες απαντήσεις από την άπειρη πολυπλοκότητα του κβαντικού ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Ο πιο γνωστός σήμερα στην παρουσίαση του Feynman, ο υπολογισμός πήρε τη μορφή μιας άπειρης σειράς «διαγραμμάτων Feynman» που αντιπροσωπεύουν μια παρέλαση ολοένα και πιο βυζαντινών κβαντικών δυνατοτήτων. Ξεκινάτε με το διάγραμμα για το απλούστερο δυνατό γεγονός - ένα ηλεκτρόνιο που κινείται στο διάστημα, ας πούμε - και υπολογίζετε κάποια μετρήσιμη ιδιότητα, όπως πόσο ταλαντεύεται το ηλεκτρόνιο σε ένα μαγνητικό πεδίο. Στη συνέχεια, προσθέτετε το αποτέλεσμα από ένα πιο περίπλοκο σενάριο, όπως η σύντομη αποβολή του ηλεκτρονίου και στη συνέχεια η επαναρρόφηση ενός φωτονίου εν κινήσει. Στη συνέχεια, προσθέτετε υποατομικό δράμα που περιλαμβάνει δύο παροδικούς κυματισμούς, μετά τρεις και ούτω καθεξής, σε μια ευρέως χρησιμοποιούμενη μαθηματική τεχνική γνωστή ως θεωρία διαταραχών.

Στα χαρτιά, ένας υπολογισμός αυτής της ιδιότητας δημιουργεί μια ατελείωτη "σειρά ισχύος":μια εξίσωση που περιλαμβάνει μια ορισμένη κρίσιμη τιμή, την οποία θα ονομάσουμε x , μετά x τετράγωνο, x σε κύβους και υψηλότερες και υψηλότερες δυνάμεις του x , πολλαπλασιάζονται όλα με διαφορετικούς συντελεστές:

F(x ) =a 0 + a 1x + a 2x 2 + a 3x 3 + … + a 1.000.000x 1.000.000 + ….

Για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, η τιμή x είναι μια σταθερά της φύσης, η άλφα, η οποία είναι κοντά στο 1/137. Είναι ένας μικρός αριθμός που ταιριάζει στη σχετική αδυναμία της δύναμης και η αύξηση αυτού του μικροσκοπικού αριθμού σε μεγαλύτερες δυνάμεις κάνει τους όρους να συρρικνώνονται γρήγορα.

Τα διαγράμματα Feynman δίνουν στους φυσικούς τους συντελεστές για κάθε όρο — το a ’s — ποια είναι τα δύσκολα μέρη για τον υπολογισμό. Ακολουθήστε τον υπολογισμό του «παράγοντα g» του ηλεκτρονίου, έναν αριθμό που σχετίζεται με τον τρόπο με τον οποίο το σωματίδιο ταλαντεύεται σε ένα μαγνητικό πεδίο. Το απλούστερο διάγραμμα Feynman σας δίνει a 0, που ισούται ακριβώς με 2. Αλλά αν σκεφτείτε ένα ελαφρώς πιο περίπλοκο διάγραμμα Feynman, ένα όπου εμφανίζεται ο πρώτος προσωρινός κυματισμός, πρέπει να υπολογίσετε το a 1 όρος, και εκεί σηκώνει το κεφάλι του το άπειρο. Ο Tomonaga, ο Schwinger και ο Feynman επεξεργάστηκαν έναν τρόπο να κάνουν αυτόν τον όρο πεπερασμένο. Ο υπολογισμός τους περίπου 2.002 για τον παράγοντα g του ηλεκτρονίου ταίριαξε με τις πειραματικές μετρήσεις αυτής της γενιάς, απέδειξε ότι η κβαντική θεωρία πεδίου μπορούσε να έχει νόημα και κέρδισε και στους τρεις τους το βραβείο Νόμπελ Φυσικής το 1965.

Η προσέγγισή τους ξεκίνησε επίσης μια νέα εποχή, όπου οι φυσικοί έπρεπε να κλιμακώσουν τα ολοένα ψηλότερα βουνά με διαγράμματα Feynman για να υπολογίσουν περισσότερα a s. Αυτά τα βουνά γίνονται απότομα και γρήγορα. Το 2017, ένας φυσικός ολοκλήρωσε μια εργασία αγάπης δύο δεκαετιών, έναν ακριβή υπολογισμό του παράγοντα g του ηλεκτρονίου που απαιτούσε τον υπολογισμό τριχωτών εξισώσεων από 891 διαγράμματα Feynman. Το αποτέλεσμα αποκάλυψε μόλις τον πέμπτο όρο της σειράς.

Τα διαγράμματα Feynman παραμένουν εξαιρετικά σημαντικά στη σύγχρονη φυσική. Μια συλλογή παρόμοιων, αλλά ακόμη πιο εμπλεκόμενων υπολογισμών για το μιόνιο, τον βασικό ξάδερφο του ηλεκτρονίου, έγινε πρωτοσέλιδο το 2021. Ένα πείραμα αποκάλυψε μια όγδοη δεκαδική απόκλιση από τις θεωρητικές προβλέψεις. Η μέτρια ανωμαλία αντιπροσωπεύει μια από τις καλύτερες ελπίδες για να δούμε τι βρίσκεται πέρα από το πανύψηλο οικοδόμημα που έχει αναπτυχθεί από το έργο του Feynman και των συναδέλφων του.

Αλλά αυτή η σειρά πειραματικών νικών έχει κρύψει το γεγονός ότι, κατά βάθος, αυτός ο τρόπος προσέγγισης της κβαντικής θεωρίας πεδίου δεν λειτουργεί πραγματικά καθόλου.

Διαγράμματα The Fall of Feynman

Ο Freeman Dyson, ένας άλλος μεταπολεμικός πρωτοπόρος, ήταν ο πρώτος φυσικός που εκτίμησε ότι η διαταραχή κβαντικής θεωρίας ήταν πιθανώς καταδικασμένη. Το έτος ήταν το 1952 και ενώ άλλοι γιόρταζαν το γεγονός ότι οι πρώτοι δύο όροι στη σειρά power του Feynman θα μπορούσαν να γίνουν μικροί και πεπερασμένοι, ο Dyson ανησυχούσε για την υπόλοιπη σειρά.

Οι φυσικοί ήλπιζαν αφελώς ότι η επεξεργασία του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στο διάγραμμα Feynman θα αποδεικνυόταν αυτό που οι μαθηματικοί αποκαλούν «συγκλίνοντα». Σε μια συγκλίνουσα σειρά, κάθε επόμενος όρος είναι πολύ μικρότερος από τον προηγούμενο όρο και όσο περισσότεροι όροι υπάρχουν, τόσο περισσότερο το άθροισμα συγκλίνει σε έναν μόνο πεπερασμένο αριθμό. Αντίθετα, μια σειρά μπορεί επίσης να είναι "αποκλίνουσα" - οι μεταγενέστεροι όροι είναι μεγαλύτεροι από τους προηγούμενους όρους και η σειρά μεγαλώνει χωρίς όριο. Το άθροισμα "αποκλίνει", χωρίς προφανή ουσιαστική απάντηση.

Οι πρώτοι όροι του αθροίσματος του Φάινμαν πράγματι συρρικνώθηκαν - συνέπεια της μικροσκοπικής τιμής του άλφα - και ο ίδιος ο Ντάισον κατέληγε αρχικά στο συμπέρασμα ότι ο διαταραγμένος κβαντικός ηλεκτρομαγνητισμός πρέπει να είναι συγκλίνοντας συνολικά.

Αλλά στη συνέχεια ο Dyson συνδύασε μαθηματική και φυσική λογική για να κάνει μια πιο περίπλοκη εικασία για την τύχη της σειράς. Σκεπτόμενος μαθηματικά, ο Dyson γνώριζε ότι μια συγκλίνουσα σειρά ισχύος συγκλίνει πιο γρήγορα όταν x γίνεται μικρότερος, επειδή οι υψηλότεροι όροι (που περιλαμβάνουν δυνάμεις x ) συρρικνώνεται πιο γρήγορα.

Όταν όμως επέτρεψε το x για να περάσει από το μηδέν, όλα κατέρρευσαν.

Ο λόγος έχει να κάνει με το κενό μας, το οποίο παράγει συνεχώς παροδικά ζεύγη κυματισμών με θετικά και αρνητικά φορτία. Αυτοί οι κυματισμοί συνήθως ελκύουν ο ένας τον άλλον και εξαφανίζονται. Αλλά αν το άλφα γινόταν αρνητικό, αυτοί οι κυματισμοί θα ωθούσαν ο ένας τον άλλον και θα γίνονταν πραγματικά σωματίδια. Η συνεχής έκρηξη σωματιδίων από το τίποτα θα πυροδοτούσε μια κοσμική τήξη, μια «εκρηκτική αποσύνθεση του κενού», όπως το έθεσε ο Dyson.

Φυσικά, κάθε αρνητικό άλφα είναι πρόβλημα. Ωστόσο, μαθηματικά, το πρόσημο του x είναι άσχετο:Εάν μια σειρά αποκλίνει για ένα μικρό αρνητικό x τότε θα πρέπει επίσης να αποκλίνει για ένα μικρό θετικό x . Επομένως, για ένα μικρό θετικό άλφα (δηλαδή, 1/137), η σειρά θα πρέπει επίσης να αποκλίνει. Η καταστροφική φυσική κατάσταση του Dyson υπονοούσε ότι ο περίφημος τρόπος χειρισμού του κβαντικού ηλεκτρομαγνητισμού από τον Feynman προέβλεπε, τελικά, το άπειρο.

Merrill Sherman/Quanta Magazine

Σήμερα, οι φυσικοί αναμένουν ότι η κβαντική ηλεκτροδυναμική (όπως ονομάζεται η θεωρία του κβαντικού πεδίου του ηλεκτρομαγνητισμού) θα αρχίσει να αποκλίνει κάπου γύρω στον 137ο όρο. Δηλαδή, ίσως, a 138x Το 138 μπορεί να είναι μεγαλύτερο από a 137x 137, και η συμπερίληψή του στο άθροισμα θα κάνει την πρόβλεψη λιγότερο — παρά πιο ακριβή.

Το πρόβλημα είναι ότι υψηλότεροι όροι οδηγούν σε εκρηκτική ανάπτυξη — παραγοντική αύξηση — στον αριθμό των διαγραμμάτων Feynman. Αυτό σημαίνει υπολογισμός a Το 9 θα απαιτήσει περίπου 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (περίπου 362.880) διαγράμματα και a 10 θα απαιτήσει περίπου 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 (3.628.800) διαγράμματα. Αυτή η παραγοντική αύξηση στα διαγράμματα συμβάλλει στο a Τα ’s θα νικήσουν τελικά τη συρρίκνωση των δυνάμεων του άλφα και το άθροισμα θα αυξηθεί ακάθεκτο προς το άπειρο.

Για τους περισσότερους φυσικούς, η αναπόφευκτη απόκλιση ακόμη και της πιο απλής κβαντικής θεωρίας πεδίου παραμένει ένα αφηρημένο πρόβλημα, όπως ο θάνατος του ήλιου μας σε ένα δισεκατομμύριο περίπου χρόνια. Σε μια εποχή που ο υπολογισμός — πολύ λιγότερο δοκιμαστικός — ακόμη και ο 10ος όρος της σειράς μοιάζει με επιστημονική φαντασία, γιατί να ανησυχείτε για κινδύνους που ελλοχεύουν πολύ πέρα από το 100ο;

Αλλά σε λίγους εκλεκτούς, το γεγονός ότι η καλύτερα κατανοητή θεωρία στη σύγχρονη φυσική δίνει τεχνικά άπειρες απαντήσεις σε οποιαδήποτε ερώτηση που μπορεί να θέλετε να κάνετε παραμένει βαθιά ανησυχητικό. "Δεν ξέρουμε πώς να προσομοιώσουμε τον κόσμο, ακόμη και κατ' αρχήν, ακόμη και με απεριόριστους υπολογιστικούς πόρους", δήλωσε ο Emanuel Katz, ένας φυσικός στο Πανεπιστήμιο της Βοστώνης που μελετά νέες μεθόδους για να προχωρήσουμε πέρα από τα διαγράμματα Feynman.

The Devil’s Divergence

Οι μαθηματικοί, εν τω μεταξύ, μπερδεύονταν με αποκλίνουσες σειρές για περισσότερο από έναν αιώνα προτού ο Dyson αρχίσει να ανησυχεί για την κβαντική θεωρία.

"Οι αποκλίνουσες σειρές είναι η εφεύρεση του διαβόλου και είναι ντροπή να βασίζει κανείς οποιαδήποτε επίδειξη σε αυτές", ειρωνευόταν ο Niels Henrik Abel το 1828. "Στο μεγαλύτερο μέρος τα αποτελέσματα είναι έγκυρα, είναι αλήθεια, αλλά είναι περίεργο. Ψάχνω τον λόγο."

Ο Άμπελ πέθανε τον επόμενο χρόνο, σε ηλικία 26 ετών. Όμως, κοντά στα τέλη του αιώνα, ο Ανρί Πουανκαρέ έκανε ένα σημαντικό βήμα προς την κατανόηση του τι έκανε τις αποκλίνουσες σειρές τόσο ολισθηρές:Δεν ήταν σατανικές, απλώς ελλιπείς.

Ο Πουανκαρέ επέλεγε μια παλιά ερώτηση:Πώς θα μπορούσαν τρία ουράνια σώματα να περιφέρονται το ένα γύρω από το άλλο; Ξεκίνησε να αντιμετωπίσει το πρόβλημα χρησιμοποιώντας τη θεωρία των διαταραχών, όπως ακριβώς θα έκαναν ο Feynman και ο Dyson όταν αντιμετώπισαν κβαντικά πεδία έναν αιώνα αργότερα. Ο Πουανκαρέ προσπάθησε να κατασκευάσει τη μυστηριώδη, πιθανώς περίπλοκη λειτουργία που περιγράφει τις τροχιές των τριών σωμάτων χρησιμοποιώντας ένα απείρως μεγάλο άθροισμα απλούστερων μονάδων - μια διαδικασία παρόμοια με την κατασκευή ενός αυτοκινήτου από απλά κομμάτια Lego. Η ελπίδα ήταν ότι η σειρά θα συγκλίνει σε μια πεπερασμένη απάντηση, ένα σημάδι ότι η σειρά ήταν μια τέλεια αναπαράσταση μιας μοναδικής συνάρτησης.

Αρχικά, νόμιζε ότι τα κατάφερε. Το 1890, ο βασιλιάς Όσκαρ Β' της Σουηδίας και της Νορβηγίας απένειμε στον Πουανκαρέ ένα βραβείο για την πρόοδό του στο διάσημο πρόβλημα. Αλλά λίγο πριν δημοσιευθεί η λύση του, κάλεσε τον βασιλιά να σταματήσει τα πιεστήρια. Η σειρά ήταν διαφορετική. Περαιτέρω ανάλυση (η οποία θα έθεσε τα θεμέλια για τη θεωρία του χάους) αποκάλυψε ότι ταίριαζε όχι με μία αλλά δύο διακριτές συναρτήσεις. Ήταν μια επιπλοκή με την οποία οι φυσικοί είναι πλέον πολύ εξοικειωμένοι.

Ο Carl Bender, ένας μαθηματικός φυσικός στο Πανεπιστήμιο της Ουάσιγκτον στο Σεντ Λούις, έχει υπολογίσει πολλούς όρους διαταραχών σειρών στη φυσική και μελέτησε τη συμπεριφορά τους.

Ευγενική προσφορά του Carl Bender

«Θα ήταν ένα απόλυτο θαύμα εάν το πρόβλημα της φυσικής που σας ενδιαφέρει συνδέεται στην πραγματικότητα με μια συγκλίνουσα σειρά», είπε ο Carl Bender, ένας εξέχων μαθηματικός φυσικός στο Πανεπιστήμιο της Ουάσιγκτον στο Σεντ Λούις. (Σήμερα, οι φυσικοί γνωρίζουν ότι τρία ουράνια σώματα μπορούν να αλληλεπιδράσουν με έναν αμέτρητο αριθμό πολύ διαφορετικών τρόπων και καμία απλή εξίσωση δεν μπορεί να περιέχει όλες τις πιθανότητες.)

Ο Bender παρομοιάζει το είδος της αποκλίνουσας σειράς που συνάντησε ο Poincaré με μια θολή άποψη μιας συνάρτησης. Το θάμπωμα προσαρμόζεται σε πολλές πιθανές λειτουργίες, όπως ακριβώς η μπλοκαρισμένη σιλουέτα ενός οχήματος Lego θα μπορούσε να ταιριάζει με οποιοδήποτε αριθμό σπορ αυτοκινήτων. Όταν επεκτείνετε μια περίπλοκη συνάρτηση σε μια τέτοια «ασυμπτωτική» σειρά, «έχετε χάσει πληροφορίες», είπε ο Bender.

Από την εποχή του Πουανκαρέ, οι μαθηματικοί και οι φυσικοί έχουν καταλάβει ότι υπάρχουν και άλλοι τύποι όρων, αυτοί που είναι «πέρα από κάθε τάξη», οι οποίοι είναι ακόμη πιο μικροί από τον πιο μικροσκοπικό όρο ισχύος. Αυτοί οι "εκθετικά μικροί" όροι μπορούν να έρχονται με τη μορφή e (−1/x ), για παράδειγμα, και παρέχουν τις χαμένες πληροφορίες. Εάν τα συμπεριλάβετε στη σειρά σας και επιλέξετε μια κατάλληλη διαδικασία «επαναφοράς» για να κάνετε τη σειρά πεπερασμένη, μπορείτε να απαλλαγείτε από μερικά — αν όχι όλα — από το θάμπωμα. Είναι τα μπλοκ nano-Lego που χρειάζονται για να ξεχωρίσεις μια Ferrari από μια Lamborghini.

Οι φυσικοί αποκαλούν αυτούς τους επιπλέον όρους «μη διαταραγμένους», επειδή είναι πέρα από την εμβέλεια της θεωρίας των διαταραχών. Μπορείτε να περάσετε ένα τρισεκατομμύριο χρόνια σχεδιάζοντας διαγράμματα Feynman και υπολογίζοντας a και δεν θα μάθετε ποτέ για ορισμένα φυσικά γεγονότα που κωδικοποιούνται με αυτούς τους μη διαταραγμένους όρους. Αν και τα αποτελέσματα που περιγράφονται από αυτούς τους μικροσκοπικούς όρους μπορεί να είναι σπάνια ή διακριτικά, μπορούν να κάνουν μια δραματική διαφορά στον πραγματικό κόσμο.

Πάρτε για παράδειγμα την εξίσωση Schrödinger της κβαντικής μηχανικής, η οποία περιγράφει την κυματοειδή συμπεριφορά των σωματιδίων. Είναι μια περίπλοκη εξίσωση που οι φυσικοί συχνά προσεγγίζουν χρησιμοποιώντας τη θεωρία των διαταραχών. Αν και η προκύπτουσα άπειρη σειρά προβλέπει όμορφα πολλά πειράματα, χάνει τελείως ένα εξαιρετικά απίθανο (αλλά όχι αδύνατο) γεγονός γνωστό ως σήραγγα, στο οποίο το σωματίδιο ουσιαστικά τηλεμεταφέρει μέσω ενός φραγμού.

Η διάνοιξη σήραγγας είναι ένα από τα πολλά μη διαταραχή φαινόμενα στην κβαντική φυσική, αλλά τα μη διαταραχές είναι παντού:Η διακλαδούμενη ανάπτυξη νιφάδων χιονιού, η ροή ενός υγρού μέσω ενός σωλήνα με τρύπες, οι τροχιές των πλανητών σε ένα ηλιακό σύστημα, ο κυματισμός των κυμάτων παγιδευμένων μεταξύ στρογγυλών νησιών και αμέτρητα άλλα μη φυσικά φαινόμενα.

«Είναι εκεί και είναι ζωτικής σημασίας», είπε ο Daniele Dorigoni, φυσικός στο Πανεπιστήμιο Durham. "Η θεωρία των διαταραχών από μόνη της δεν αρκεί."

Λόγω της καθολικής φύσης του, ορδές μαθηματικών και φυσικών έχουν εργαστεί σε διάφορες πτυχές του μετα-προβλήματος του τρόπου υπολογισμού των μη διαταραχών όρων. Και προς τα τέλη του 20ου αιώνα, μια ποικιλία ερευνητών άρχισε να βρίσκει δελεαστικές ενδείξεις ότι οι διαταραγμένες σειρές φαινόταν να γνωρίζουν περισσότερα από όσα θα έπρεπε.

Μεταξύ αυτών των ερευνητών, μια ομάδα στο Κέντρο Πυρηνικών Ερευνών Saclay στη Γαλλία τη δεκαετία του 1980 βοήθησε στην ανάπτυξη ενός τρόπου συνδυασμού όρων διαταραχής ισχύος με μη διαταραγμένους εκθετικούς όρους για να ληφθούν ακριβή αποτελέσματα για τη διάνοιξη σήραγγας στην κβαντική μηχανική. Η τεχνική τους λειτούργησε στο βαθμό που μπορούσαν να βασιστούν σε μια κρίσιμη μαθηματική τεχνολογία από τις αρχές του αιώνα, γνωστή ως επανάληψη Borel. Η επανάληψη του Borel ήταν το πιο ισχυρό εργαλείο της ημέρας για την εξαγωγή πεπερασμένων αριθμών από αποκλίνουσες σειρές, αλλά είχε τα όριά της. Περιστασιακά έδινε λανθασμένα ή αντικρουόμενα αποτελέσματα, απογοητεύοντας τους φυσικούς που ήλπιζαν ότι μια σειρά θα προέβλεπε σωστά το αποτέλεσμα ενός πειράματος.

«Όταν οι φυσικοί έβρισκαν μια σειρά που δεν μπορούσε να αθροιστεί από τον Borel, ουσιαστικά θα τα παρατούσαν», είπε ο Mariño.

Εν αγνοία τους, ένας εκκεντρικός μαθηματικός που εργαζόταν σε απομόνωση μόλις μίλια από την ομάδα στο Saclay είχε ήδη ξεκινήσει μια άνευ προηγουμένου εξερεύνηση των απείρως ψηλών κορυφών των ασυμπτωτικών σειρών.

Διαγράμματα Feynman αντεπιτίθενται

Ο Jean Écalle ένιωθε γοητευμένος από τα μαθηματικά του άπειρου από τότε που ήταν έφηβος. Θυμάται ότι χαλαρώνει στις όχθες ενός ορεινού ρέματος ένα καλοκαίρι στο γυμνάσιο και αναρωτιέται μήπως υπάρχει μια πιο γενική εκδοχή της πράξης της παραγώγου — μια άσκηση στα απειροελάχιστα που οι μαθητές μαθαίνουν πρώτα στον στοιχειώδη λογισμό.

Καθώς συνέχισε την εκπαίδευσή του, ο Écalle ανέπτυξε μια γεύση να εργάζεται μόνος. Προσπάθησε ακόμη και να αποφύγει να διαβάσει το έργο των συναδέλφων του μαθηματικών, φοβούμενος ότι η σκέψη τους θα τον έδιωχνε σε καθιερωμένα χάλια.

«Δεν έχω ιδιοσυγκρασία να χάσω τον εαυτό μου στη λογοτεχνία των μαθηματικών», είπε η Écalle. "Μπορούσα επίσης να παρατηρήσω, ξανά και ξανά, πόσο βαθιά η εμβάπτιση στη λογοτεχνία των μαθηματικών έτεινε να καταπνίξει τη δημιουργικότητα."

Ο Jean Écalle, ο πατέρας της σύγχρονης θεωρίας της αναζωπύρωσης, πλαισιώνεται από δύο από τους κορυφαίους επαγγελματίες της — τον Mithat Ünsal (αριστερά) και τον Ricardo Schiappa — το 2014.

Mikhail Shifman

Στις αρχές της δεκαετίας του 1970, η περιέργεια του Écalle τον ώθησε να ακολουθήσει τα βήματα του Poincaré. Άρχισε να αναλύει ακόμη πιο αφηρημένα μαθηματικά αντικείμενα που προέκυψαν στη μελέτη των ουράνιων σωμάτων. Οι ασυμπτωτικές σειρές εμφανίστηκαν στην πορεία, όπως και η πιο γενική παράγωγη για την οποία είχε εικασίες στο γυμνάσιο. Ο Écalle θα ανέπτυξε τελικά αυτό που περιέγραψε ως «μια ακριβή δομή με αιχμηρά περιγράμματα - εξωγήινο λογισμό - που θα προέκυπτε αυθόρμητα από αυτό που φαινόταν να είναι το πιο απρόβλεπτο και άμορφο περιβάλλον:η απόκλιση.»

Ο εξωγήινος λογισμός του Écalle είναι αφηρημένος και πολύπλευρος. Αλλά το μήνυμα που κράτησε για τους φυσικούς που θα συναντούσαν τελικά ήταν ξεκάθαρο. Μια διαταραχή σειρά, παρόλο που αποκλίνει, κρύβει μια πλήρη βιβλιοθήκη μη διαταραχών πληροφοριών. Η σειρά περιέχει όλα όσα χρειάζονται για την αναβάθμισή της με τρόπο που αφαιρεί το θάμπωμα, αποκαθιστώντας μια καθαρή εικόνα μιας μοναδικής αντίστοιχης λειτουργίας. Τα μπλοκαρισμένα τουβλάκια Lego, ίσως, είναι αρκετά τελικά.

Παρά τις βαθιές συνέπειές του, το έργο της Écalle μαράζωσε στην αρχή. Ήταν πολύ σκοτεινό και πολύ αφηρημένο για τους φυσικούς (ακόμη και τους γαλλόφωνους). Και δεν ήταν αρκετά αυστηρό για να τραβήξει τα βλέμματα των μαθηματικών.

"Είναι μία από αυτές τις ιδιοφυΐες που πιστεύει ότι οι λεπτομερείς αποδείξεις, με όλες τις περιπτώσεις, δεν είναι σημαντικές. Αυτό που είναι πραγματικά σημαντικό είναι η μεγάλη άποψη", είπε ο Mariño.

Ο Écalle σκιαγράφησε για πρώτη φορά τις βασικές έννοιες της αναζωπύρωσης σε τρεις εργασίες το 1976, και μεταξύ 1981 και 1985 έγραψε τα τρία σχολικά του βιβλία, στα οποία παρουσίασε διεξοδικά τον εξωγήινο λογισμό της αναζωπύρωσης. Δεν εμφανίστηκαν ποτέ σε μαθηματικό περιοδικό. Αντίθετα, δημοσίευσε την τριλογία μέσω του τμήματος μαθηματικών του πανεπιστημίου του, συμπληρώνοντας τις εξισώσεις με το χέρι.

Αν οι φυσικοί είχαν καταφέρει να σκάψουν τα βιβλία του αμέσως, η εμπειρία τους δεν θα ήταν διαφορετική από την επαφή με έναν ευφυή εξωγήινο πολιτισμό. Θα είχαν συναντήσει μαθηματικές μηχανές έτη φωτός μπροστά από αυτό που είχαν συνηθίσει.

«Το Resurgence είναι πολύ φανταχτερό», είπε ο Bender. Αλλά, για να το θέσω όσο πιο απλά γίνεται, επιτρέπει στους επαγγελματίες να σκάβουν τους μακρινούς όρους μιας ασυμπτωτικής σειράς (που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας διαγράμματα Feynman, για παράδειγμα) και να αποκαλύπτουν τα κομμάτια που λείπουν που είναι απαραίτητα για τον καθορισμό μιας μοναδικής συνάρτησης (π.χ. αυτή που περιγράφει τη δημιουργία σήραγγας). Εν ολίγοις, αποκαλύπτει μια γέφυρα που συνδέει φυσικά γεγονότα που περιγράφονται από τη θεωρία διαταραχών με εκείνα που περιγράφονται από τους μη διαταραγμένους όρους. «Είναι μια πολύ περίπλοκη σχέση», είπε ο Μπέντερ, πριν αρνηθεί ευγενικά να προσπαθήσει να το εξηγήσει.

Όταν η Écalle, τώρα 76 ετών, επικοινώνησε από το Quanta Magazine με ερωτήσεις σχετικά με την ιστορία της αναζωπύρωσης, απάντησε συνθέτοντας μια πραγματεία 24 σελίδων για το θέμα σε έξι ημέρες - μια απόλαυση για ερευνητές που διψούν για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με την αναζωπύρωση και την ανάπτυξή της. «Είναι ένας θησαυρός», είπε ο David Sauzin, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Ουράνιας Μηχανικής στο Παρίσι και διάσημος αποκωδικοποιητής Écalle.

Ακολουθεί μια εξαιρετικά πρόχειρη έκδοση κινουμένων σχεδίων της προσέγγισης:

Πρώτα, γράψτε την τυπική διαταραχή σειρά. Οι όροι συρρικνώνονται στην αρχή, αλλά τελικά αναπτύσσονται γρήγορα ως a γίνεται πολύ μεγάλο. Σχεδιάστε την ανάπτυξη του a και θα δείτε ότι εκτοξεύονται προς τα πάνω με ταχύτητα που σχεδόν —αλλά όχι ακριβώς— ταιριάζει με την παραγοντική ανάπτυξη. Μελετήστε τη διαφορά μεταξύ της γραμμής που χαράσσεται από το a ’s και μια καμπύλη που αναπτύσσεται εργοστασιακά για να μάθουμε τον πρώτο μη διαταραγμένο όρο — τον μεγαλύτερο από τα τουβλάκια νανο-Lego.

Αλλά αυτό είναι μόνο η αρχή. Εφαρμόστε το πρώτο βήμα μιας επανάληψης Borel. Αυτό εξαλείφει την παραγοντική ανάπτυξη, επιτρέποντάς σας να δείτε τη συμπεριφορά των διαταραχών με περισσότερες λεπτομέρειες. Η προκύπτουσα γραφική παράσταση του τροποποιημένου a θα πρέπει να αυξάνονται εκθετικά. Αλλά μελετήστε το προσεκτικά και θα δείτε ότι τα ταραχώδη δεδομένα είναι λίγο μακριά. Αυτή η απόκλιση προέρχεται από μια εντελώς νέα ασυμπτωτική σειρά, την οποία πολλαπλασιάζεις με τον πρώτο μη διαταραγμένο όρο.

Η διαδικασία συνεχίζεται. Απογυμνώστε την εκθετική αύξηση από τα διαταραγτικά δεδομένα και, αν έχετε έντονο μάτι, μπορεί να εντοπίσετε περαιτέρω αποκλίσεις που αποκαλύπτουν έναν δεύτερο μη διαταραγμένο όρο. Κοιτάξτε πιο προσεκτικά και θα διαπιστώσετε ότι αυτός ο μη διαταραγμένος όρος συνοδεύεται από μια ακόμη ασυμπτωτική σειρά.

Στο τέλος της ημέρας, μπορεί να υπάρχει οποιοσδήποτε αριθμός μη ενοχλητικών όρων με συνημμένες ασυμπτωτικές σειρές. Βρείτε τόσα από αυτά όσα έχετε το στομάχι και θα έχετε ένα αντικείμενο που ονομάζεται trans-series στα χέρια σας. Η trans-series ξεκινά με τη γνωστή διαταραχή σειρά. Έπειτα έρχεται ένας μη διαταραγμένος όρος (με μια σειρά) και μετά ένας άλλος και ένας άλλος.

Η trans-series της Écalle ξεπέρασε τις δυσκολίες με την επανάληψη του Borel που προηγουμένως είχε παραξενέψει τους φυσικούς. Εάν γνωρίζετε τη διαδοχική σειρά που περιγράφει κάποια μέτρηση, όπως ο παράγοντας g του ηλεκτρονίου, η επανάληψη του Borel θα σας δώσει μια ενιαία, σωστή απάντηση. Επιπλέον, το resurgence βεβαιώνει ότι οι ανεπαίσθητες αποκλίσεις στη γνωστή διαταραχή σειρά στην κορυφή της trans-series σας λένε όλα όσα χρειάζεται να γνωρίζετε για την δυνητικά άπειρη παρέλαση που ακολουθεί.

Αυτή η μαθηματική εικόνα έχει δύο εντυπωσιακές συνέπειες για τους φυσικούς. Πρώτον, προτείνει ότι ακριβή αποτελέσματα —όχι απλώς προσεγγίσεις— θα μπορούσαν να υπάρχουν για κβαντικά πεδία και άλλα πολύπλοκα συστήματα. Αν ναι, θα καθιέρωνε την κβαντική θεωρία ως πεπερασμένη και λογική.

"Η διαπίστωση ότι στην κβαντική θεωρία πεδίου πράγματι τα πράγματα υπόκεινται σε αναζωπύρωση θα ήταν μια σημαντική πρόοδος", είπε ο Serone.

Δεύτερον, προτείνει ότι η δυνητικά άπειρη ποικιλία των μη διαταραχών κομματιών μπορεί να συναχθεί εξ ολοκλήρου από τη διαταραχή σειρά της οποίας η απόκλιση προβλημάτισε τον Dyson. Αυτό που για δεκαετίες φαινόταν σαν ανεξάρτητες σφαίρες της φυσικής είναι στην πραγματικότητα στενά συνδεδεμένες.

"Αντί να σκέφτεστε τη διαταρακτική σειρά ως κάτι που θα αποκλίνει και θα σας δημιουργήσει ένα σωρό προβλήματα", είπε ο Mariño, "είναι απλώς η είσοδος σε έναν πολύ περίπλοκο και συναρπαστικό κόσμο."

Πράγματι, από εκεί προέρχεται το όνομα αναζωπύρωση, είπε ο Gökçe Başar, φυσικός στο Πανεπιστήμιο της Βόρειας Καρολίνας, στο Chapel Hill:«Η συμπεριφορά των όψιμων όρων στη διαταραγμένη σειρά «αναβιώνει» με αυτούς τους μη διαταραγμένους όρους». Είναι περίπλοκο, είπε, αλλά «είναι μάλλον όμορφο».

Έξοδος στη Φυσική

Η επίγνωση της ανακάλυψης του Écalle - ότι η μη διαταραχή γνώση θα μπορούσε να προσεγγιστεί κρυφά μέσω της θεωρίας των διαταραχών - έχει σιγά σιγά εισχωρήσει στον κόσμο της μαθηματικής φυσικής. Εκεί, οι φυσικοί το έχουν ήδη χρησιμοποιήσει για να εντοπίσουν νέα κομμάτια που κρύβονται σε δύο από τις πιο έντονα μελετημένες θεωρίες του 21ου αιώνα:τη θεωρία της ισχυρής δύναμης και τη θεωρία χορδών.

Ο Mithat Ünsal, ένας φυσικός στο Κρατικό Πανεπιστήμιο της Βόρειας Καρολίνας, έχει αφιερώσει μεγάλο μέρος της καριέρας του στην προσπάθεια κατανόησης της ισχυρής δύναμης, η οποία συγκρατεί τα κουάρκ μαζί για να σχηματίσουν πρωτόνια και άλλα σωματίδια. Το 2008, αφού διάβασε για την αναζωπύρωση σε ένα άρθρο του 1993 για τις αποκλίνουσες σειρές, αναζήτησε μια επισκόπηση του έργου της Écalle. «Τα γαλλικά μου είναι πολύ σκουριασμένα, αλλά υπήρχε ένας αγγλικός πρόλογος με προτεινόμενη ορολογία», θυμάται ο Ünsal. "Το κατέκτησα και προσπάθησα να το καταλάβω."

Αργότερα συνάντησε τον Gerald Dunne από το Πανεπιστήμιο του Κονέκτικατ σε ένα συνέδριο και ενώ κουβέντιαζαν πίνοντας καφέ ανακάλυψαν ότι το ίδιο άρθρο τους είχε εμπνεύσει και τους δύο να αρχίσουν να διδάσκουν τον εαυτό τους αναζωπύρωση. Αποφάσισαν να ενώσουν τις δυνάμεις τους.

Και οι δύο φυσικοί παρακινήθηκαν από το γεγονός ότι προσπαθούσαν να καταλάβουν κάτι ακόμα πιο περίπλοκο από αυτό που αντιμετώπισαν ο Dyson και ο Feynman. Αυτοί οι φυσικοί είχαν την τύχη με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Είναι εξαιρετικά αδύναμο, με το άλφα να είναι μόλις 1/137. Μια άλλη θεμελιώδης δύναμη, η αδύναμη αλληλεπίδραση, αποδείχθηκε εξίσου εύκολο να δαμαστεί, με την εκδοχή του άλφα να είναι 10.000 φορές μικρότερη ακόμα. Η θεωρία των διαταραχών συμβαίνει να λειτουργεί για αυτές τις δύο δυνάμεις επειδή είναι τόσο αδύναμες που είναι σχεδόν σαν να μην υπάρχουν καθόλου.

Ο Gerald Dunne, ένας φυσικός στο Πανεπιστήμιο του Κονέκτικατ, ψάχνει τρόπους για να κάνει την αναζωπύρωση πρακτική για τους υπολογισμούς της κβαντικής θεωρίας πεδίου.

Bri Diaz

Αλλά αυτή η τύχη τελείωσε όταν οι φυσικοί προσπάθησαν να αντιμετωπίσουν την ισχυρή δύναμη. Η ισχυρή δύναμη είναι περίπου 100 φορές ισχυρότερη από την ηλεκτρομαγνητική δύναμη, με ανάλογο άλφα περίπου 1, και αρνείται να αγνοηθεί. Ο τετραγωνισμός ή ο κυβισμός 1 δεν δημιουργεί κανένα φαινόμενο συρρίκνωσης, επομένως η διαταραχή σειρά κατευθύνεται κατευθείαν προς το άπειρο από τους πρώτους όρους. Οι φυσικοί έχουν περάσει δεκαετίες αναπτύσσοντας έναν εναλλακτικό τρόπο χειρισμού της ισχυρής δύναμης χρησιμοποιώντας υπερυπολογιστές, επιτυγχάνοντας θεαματικά αποτελέσματα στην πορεία. Αλλά οι αριθμητικοί υπολογισμοί δεν δίνουν μεγάλη εικόνα για το πώς η ισχυρή δύναμη κάνει αυτό που κάνει.

Ο Ünsal και ο Dunne αναγνώρισαν ότι η αναζωπύρωση, με τη δύναμή του να εξημερώνει αποκλίνουσες σειρές, θα μπορούσε να τους κάνει ένα βήμα προς το όνειρο της κατανόησης της ισχυρής δύναμης με μολύβι και χαρτί. Συγκεκριμένα, ξεκίνησαν να λύσουν ένα μυστήριο που βασάνιζε τη θεωρία της ισχυρής δύναμης για 40 χρόνια.

Το 1979, οι φυσικοί Gerard ’t Hooft και Giorgio Parisi συμπέραναν την ύπαρξη μικροσκοπικών, παράξενων όρων σε υπολογισμούς ισχυρών δυνάμεων. Τα αποκαλούσαν renormalons και κανείς δεν ήξερε τι να τους κάνει. Τα Renormalons δεν φαινόταν να αντιστοιχούν σε κάποιο συγκεκριμένο κυματισμό ή άλλη συμπεριφορά πεδίου από σκυρόδεμα. Αλλά εκεί ήταν, παρόλα αυτά, μπέρδεψαν τους υπολογισμούς.

Ο Ünsal και ο Dunne αντιμετώπισαν τα renormalons με αναζωπύρωση. Παρόλο που δούλευαν σε ένα 2D ανάλογο της ισχυρής δύναμης, τους πήρε περίπου ένα χρόνο. Αλλά το 2012, έδειξαν ότι —τουλάχιστον στο απλουστευμένο τους μοντέλο— τα renormalons του Hooft και του Parisi δεν ταίριαζαν με συμπεριφορές που κατανοούσαν οι φυσικοί.

«Έλυσαν το μυστήριο και μπόρεσαν να βρουν σε τι αντιστοιχούσαν τα renormalons», είπε ο Jordan Cotler, φυσικός στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ, αν και προσθέτει ότι άλλα μυστήρια παραμένουν ακόμη. Αυτήν τη στιγμή κάνει μια παρόμοια προσπάθεια να κατανοήσει μερικά από αυτά τα μυστήρια σε μια πιο ρεαλιστική θεωρία της ισχυρής δύναμης.

Πέρυσι, ωστόσο, οι ερευνητές χρησιμοποίησαν την αναζωπύρωση για να προσθέσουν μια περαιτέρω ρυτίδα. Ο Mariño και οι συνεργάτες του έκαναν έναν πιο αυστηρό υπολογισμό (αν και σε μια απλουστευμένη θεωρία) και ανακάλυψαν νέα renormalons πέρα ​​από αυτό που η ομάδα αποκαλεί «the standard lore» των ’t Hooft και Parisi. Ο Mariño υποπτεύεται τώρα ότι τα renormalons είναι απλώς η κορυφή ενός μη διαταραγμένου παγόβουνου. Η αναζωπύρωση και άλλες μη διαταραχές μέθοδοι μπορεί να αποκαλύψουν ότι οι φυσικοί έχουν χαλάσει από την ιστορική τους επιτυχία στο να ταιριάζουν μεμονωμένους μαθηματικούς όρους με συγκεκριμένα γεγονότα. Αν έχει δίκιο, ο κβαντικός κόσμος μπορεί κάποια μέρα να γίνει ακόμα πιο δύσκολος στην οπτικοποίηση από ό,τι είναι ήδη.

"Έχω αμφιβολίες ότι αυτή η εικόνα - μια εκθετική [σε] ένα αντικείμενο - θα περάσει σε γενικές θεωρίες πεδίου", είπε. "Μπορεί να συμβεί ότι ο κόσμος των εκθετικών διορθώσεων είναι πραγματικά άγριος."

Ο Mariño υπήρξε επίσης βασικός παίκτης στην ανακάλυψη ενός νέου μη διαταρακτικού φαινομένου στη θεωρία χορδών, την εικαστική και αναπόδεικτη αντίληψη ότι το σύμπαν δεν αποτελείται από σημειακά σωματίδια αλλά αποτελείται από εκτεταμένα αντικείμενα όπως οι χορδές. Το κούνημα τέτοιων χορδών θα καθόριζε τις ιδιότητες των σωματιδίων που παρατηρούμε.

Η θεωρία χορδών, όπως και η κβαντική θεωρία, αντιμετωπίζεται συνήθως ως μια διαταραχή σειράς διαγραμμάτων τύπου Feynman που αναπαριστούν χορδές που συγχωνεύονται και χωρίζονται με ολοένα και πιο περίπλοκους τρόπους. Αλλά σε αντίθεση με τους κβαντικούς θεωρητικούς, οι θεωρητικοί των χορδών δεν διαθέτουν ακόμη και τους πιο αμυδρούς οδηγούς για τα μη διαταρακτικά αποτελέσματα της θεωρίας. Υποθέτουν ότι, όπως η κβαντική θεωρία περιέχει σήραγγες και ρεορμαλόνια, η πλήρης μη διαταρακτική διατύπωση της θεωρίας χορδών περιέχει επίσης δράκους.

One striking example of non-perturbative phenomena in string theory — sheetlike objects known as D-branes — was discovered in the 1990s. D-branes would later spur some of string theory’s biggest developments.

Mariño wondered what else might be out there.

He was part of a group that in 2010 noticed a series of negative counterparts hiding in the shadow of the D-brane terms. It wasn’t clear what physical phenomenon these partner terms might describe.

A clue came six years later, when Cumrun Vafa of Harvard and his collaborators explored a generalized string theory where certain quantities could go negative. They found D-branes with negative tension — the brane version of having negative mass. These exotic beasts warped the structure of reality around them, creating multiple dimensions of time and violating the fundamental principle that probabilities must always add up to 100%. But the group found no indication that these objects should escape from their bizarro world and show up in standard string theory.

Now Ricardo Schiappa, a friend of Mariño’s and a theoretical physicist at the University of Lisbon, believes he’s found evidence otherwise. In recent months, Schiappa and his collaborators  used resurgence to scrutinize a handful of simple string theory models. They found that Vafa’s negative-tension D-branes exactly matched the exponentially small terms that Mariño had found in 2010. Negative D-branes are unavoidable partners of D-branes, the group argued in a January preprint. “What we have discovered now is that they are fundamental for perturbation theory,” Schiappa said.

Other theorists aren’t yet sure what to make of the fresh finding. Vafa notes that Schiappa’s crew did their calculations in stripped-down string models, and that the result isn’t guaranteed to hold in more sophisticated formulations. But if it does, and if string theory actually describes our universe, it must contain some other way of stopping negative D-branes from forming.

“They shouldn’t be there as a regular object in that theory,” Vafa said. Otherwise, “this opens a whole Pandora’s box of puzzles.”

Black Swans and Other Anomalies

Despite their progress in spotting renormalons and negative branes, physicists cite two formidable obstacles to crowning resurgence the official successor to perturbation theory.

First, not all theories have been proved to have resurgent structure. The question is particularly acute for quantum field theories, which physicists have been checking on a case-by-case basis. It’s a painstaking process, a bit like studying mammals one species at a time. After observing humans, dolphins and cats, you might start to feel confident that live birth is a universal mammalian feature. But there’s always the chance that around the next corner you’ll find a platypus laying an egg.

That’s why Serone has devoted the last three years to stress-testing resurgence in certain quantum field theories. In 2021, he and his collaborators studied a theory that shares key features with the strong force but is still simple enough to allow them to calculate the many a ’s needed to perform resurgence. They calculated the energy of empty space in such a universe using resurgence and two other methods, showing that all three agreed. There have been qualitative arguments that resurgence should hold in quantum field theory, but this was one of the first concrete calculations, kindling further optimism.

“In most of the cases it has been tested so far, either resurgence works, or we have good reasons to believe we understand when it doesn’t,” Serone said.

The graver problem is that to spot nonperturbative pieces, you need to know a frightening number of perturbative terms. In his recent research, for instance, Serone picked quantum field theories with mathematical backdoors that let him generate thousands of terms. But for the strong force, calculating just eight or nine is currently out of the question. Even pioneers of the method don’t mince their words about when they expect to see it produce a real number like the mass of the proton (a mathematical feat worth a million-dollar prize).

“It’s extremely difficult,” Ünsal said, sighing. “I don’t see an immediate way.”

“What Écalle was saying is that the answer is rigorously there in principle. But to actually get the answer is really, really hard,” Bender said. “My advice would be, don’t stand on one foot while you’re waiting.”

A New Hope

But the daunting difficulty hasn’t killed the dream of trying to get real predictions out of resurgence. For one thing, the technique has already produced otherwise unobtainable results in quantum mechanics. Back in the 1980s, the French mathematical physicists at Saclay used proto-resurgent methods to make an exact prediction for particle tunneling — a problem that physicists had previously only been able to approximate. Dunne and Ünsal have done similar pen-and-paper calculations using the more refined tools of Écalle. Another group has checked these results using standard methods. They were only able to get as far as six decimal places — a Herculean effort that took months of time and substantial computer power.

Such dramatic examples have motivated Dunne to develop hyper-efficient ways of practicing resurgence, in the hopes of someday porting them to quantum field theories. Over the last five years, together with Ovidiu Costin, a mathematician at Ohio State University, he has found techniques that get more bang for the perturbative buck. In some cases (which are still far from the real-world theories), they’ve found that just 10 to 15 terms suffice. “That number could have come out to be 1,000, and I would have given up and gone somewhere else,” he said. “It’s kind of tantalizing.”

Dunne and Costin’s work has even managed to catch the eye of Écalle himself. The founder of resurgence hasn’t closely followed the waves his work set off, calling himself “an accomplished ignoramus in theoretical physics.” Nevertheless, while worrying that any work on speculative models such as string theory may be “built on quicksand,” he praises the researchers’ efforts to give resurgence a mathematical tune-up.

“Even if the physical ground gives way, the impressive math results of, say, O. Costin and G. Dunne are there to stay,” he said.

For Écalle, resurgence is something of a past chapter. Nearly 40 years have passed since his original trilogy. He continued to develop alien calculus until around 2000, and he has spent the last 20 years exploring a more algebraic offshoot. Should he ever decide to publish a sequel trilogy gathering all his findings in one place, who knows what treasures physicists will find within.

“I think he has discovered many tools that are still to be explored,” Mariño said.

Correction: April 7, 2023
Jean Écalle is 76 years old, not 73.

Το ενημερωτικό δελτίο Quanta

Λάβετε highlights από τις πιο σημαντικές ειδήσεις που παραδίδονται στα εισερχόμενά σας στο email σας

Επίσης στη Φυσική

Σχόλιο σε αυτό το άρθρο

Επόμενο άρθρο

Animal Mutation Rates Reveal Traits That Speed Evolution