Εξίσωση Συνέχειας:Παραγωγή &Διατήρηση Μάζας στη Μηχανική Ρευστών

Στη μηχανική των ρευστών, η εξίσωση για την εξισορρόπηση των ροών μάζας και τη σχετική αλλαγή στην πυκνότητα (διατήρηση της μάζας) ονομάζεται εξίσωση συνέχειας.

Εξίσωση συνέχειας για μονοδιάστατες ροές

Η εμπειρία δείχνει ότι η μάζα δεν μπορεί ούτε να δημιουργηθεί από το τίποτα ούτε να εκμηδενιστεί. Μαθηματικά, αυτή η διατήρηση της μάζας στις ροές διατυπώνεται στη λεγόμενη εξίσωση συνέχειας .

Ροή μάζας σε στοιχείο πεπερασμένου όγκου

Για να εξαγάγουμε την εξίσωση συνέχειας, εξετάζουμε πρώτα ένα πολύ μικρό στοιχείο όγκου (όγκος ελέγχου). Το μήκος του όγκου ελέγχου συμβολίζεται με Δx και έχει πλάτος Δy και ύψος Δz. Ένα συμπιέσιμο ρευστό ρέει μέσα από αυτό το πεπερασμένο στοιχείο όγκου. Το υγρό μπορεί να εισέλθει στο στοιχείο όγκου μέσω των πλευρικών επιφανειών και να το αφήσει μέσω άλλων επιφανειών.

Σχήμα:Έλεγχος όγκου για την παραγωγή της ροής μάζας

Για λόγους απλότητας, θα εξετάσουμε πρώτα μόνο μια ροή προς την κατεύθυνση x. Μέσα σε έναν απειροελάχιστο χρόνο dt μια ορισμένη μάζα dmx,in ρέει στο στοιχείο όγκου. Στην αντίθετη πλευρά, μια ορισμένη μάζα dmx,out φεύγει από το στοιχείο έντασης την ίδια στιγμή.

Η εισερχόμενη ή η εκροή μάζα προκύπτει από την ταχύτητα με την οποία η ροή εισέρχεται ή εξέρχεται από το στοιχείο όγκου. Εάν η ροή εισέλθει στο στοιχείο όγκου με ταχύτητα vx,in, διανύει την απειροελάχιστη απόσταση dxx,in=vx,in⋅dt εντός του χρόνου dt. Έτσι, ο ακόλουθος όγκος dVx,in ρέει στον τόμο ελέγχου:

\αρχή{στοίχιση}
&\text{d}V_\text{x,in}=\Delta A \cdot \text{d}x_\text{x,in} =\Delta A \cdot v_\text{x,in} \cdot \text{d}t\\[5px]
\end{align}

Εφόσον θεωρούμε μια απειροελάχιστη απόσταση dxx,ein, μπορεί να θεωρηθεί σταθερή πυκνότητα εντός του εισερχόμενου όγκου. Εάν η πυκνότητα του ρευστού είναι ϱx,in στο σημείο εισόδου στο στοιχείο όγκου, η μάζα εισροής dmx,in υπολογίζεται ως εξής:

\αρχή{στοίχιση}
&\text{d}m_\text{x,in}=\text{d}V_\text{x,in} \cdot \rho_\text{x,in} =\Delta A \cdot \rho_\text{x,in} \cdot v_\text{x,in} \cdot \text{d]
\end{align}

Η μάζα που ρέει στον όγκο ελέγχου ανά μονάδα επιφάνειας εξαρτάται επομένως μόνο από την πυκνότητα και την ταχύτητα. Αυτός ο ρυθμός ροής μάζας για συγκεκριμένη περιοχή \(\dot m^\text{*}\) ονομάζεται επίσης ροή μάζας και σημειώνεται με έναν αστερίσκο (*) για καλύτερη διαφοροποίηση από τον ρυθμό ροής μάζας:

\αρχή{στοίχιση}
&\dot m_\text{x,in}^\text{*} =\frac{\text{d}m_\text{x,in}}{\Delta A \cdot \text{d}t} =\rho_\text{x,in} \cdot v_\text{x,in} \\[5px]
\label{m_ein}
&\υπογράμμισε{\dot m_\text{x,in}^\text{*} =\rho_\text{x,in} \cdot v_\text{x,in}} \\[5px]
&\boxed{\dot m^\text{*} =\rho \cdot v}~~~\text{mas flow} \\[5px]
\end{align}

Το γινόμενο της πυκνότητας και της ταχύτητας ροής σε ένα πεδίο ροής ενός ρευστού ονομάζεται ροή μάζας. Υποδεικνύει τη μάζα που ρέει στην κατεύθυνση ροής ανά μονάδα χρόνου και μονάδα επιφάνειας!

Για συμπιέσιμα ρευστά, η πυκνότητα σε ένα πεδίο ροής γενικά δεν είναι σταθερή, αλλά συνήθως διαφέρει από το ένα σημείο στο άλλο. Για παράδειγμα, εάν το ρευστό συσσωρευτεί στον εξεταζόμενο όγκο ελέγχου, η πυκνότητα και η ταχύτητα ροής στην εκροή του όγκου ελέγχου θα διαφέρουν από την εισροή του όγκου ελέγχου. Η ροή μάζας στην εκροή υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως η ροή μάζας στην εισροή [βλέπε εξίσωση (\ref{m_ein})]:

\αρχή{στοίχιση}
&\υπογράμμιση{\dot m_\text{x,out}^\text{*} =\rho_\text{x,out} \cdot v_\text{x,out}} \\[5px]
\end{align}

Εάν ρέει περισσότερη μάζα στον όγκο ελέγχου από ό,τι ρέει προς τα έξω, η μάζα στο εσωτερικό αυξάνεται (δείτε την κινούμενη εικόνα παρακάτω). Ο ρυθμός μεταβολής της μάζας \(\dot m_\text{CV}\) στον όγκο ελέγχου (CV) προκύπτει από τη διαφορά της μάζας που ρέει προς τα μέσα και προς τα έξω (ο δείκτης x δείχνει μόνο ότι η αλλαγή της μάζας στον όγκο ελέγχου οφείλεται σε ροή προς την κατεύθυνση x - αργότερα θα εξετάσουμε τα στοιχεία ροής σε κατεύθυνση y και z):

\αρχή{στοίχιση}
\label{m}
&\underbrace{~~\dot m_\text{CV}~~}_\text{αλλαγή μάζας μέσα στο CV} =\underbrace{~~\dot m_\text{x,in}~~}_\text{εισερχόμενη μάζα στο βιογραφικό} – \underbrace{~~\dot m_\text m_\text{x} \\[5 εικονοστοιχεία]
&\dot m_\text{CV} ~~=~~ \dot m_\text{x,in}^\text{*} \cdot \Delta A~~ -~~ \dot m_\text{x,out}^\text{*} \cdot \Delta A \\[5px]
&\boxed{\dot m_\text{CV} ~~=~~ \dot m_\text{x,in}^\text{*} \cdot \Delta y\cdot \Delta z~~ -~~ \dot m_\text{x,out}^\text{*} \cdot zta \cp\Delta
\end{align}

Κινούμενα σχέδια:Μονοδιάστατη ροή μέσω ενός στοιχείου όγκου (όγκος ελέγχου)

Ροή μάζας σε απειροελάχιστο στοιχείο όγκου

Ας εξετάσουμε τώρα ένα απειροελάχιστο στοιχείο όγκου (όγκος ελέγχου) σε μια συμπιεστή ροή, όπου η ροή μάζας και επομένως το γινόμενο της πυκνότητας και της ταχύτητας αλλάζει κατά μήκος της συντεταγμένης x. Έτσι, κατά μήκος αυτής της συντεταγμένης x μπορούμε να ορίσουμε μια κλίση ροής μάζας:∂(ϱ⋅vx)/∂x. Στην απόσταση dx (μήκος του απειροελάχιστου στοιχείου όγκου) η ακόλουθη αλλαγή στη ροή μάζας \(\text{d} \dot m_\text{x}^\text{*}\) έχει ως αποτέλεσμα x κατεύθυνση:

\αρχή{στοίχιση}
&\underline{\text{d} \dot m_\text{x}^\text{*} =\frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}x} ~~~~~\text{αλλαγή της ροής μάζας κατά μήκος } \text{d} \x]x
\end{align}

Εικόνα:Εξισορρόπηση της ροής μάζας στον όγκο ελέγχου

Κατά την εκροή του όγκου ελέγχου, η ροή μάζας προσδιορίζεται ως εξής:

\αρχή{στοίχιση}
&\dot m_\text{x,out}^\text{*} =\dot m_\text{x,in}^\text{*} +\text{d} \dot m_\text{x} \\[5px]
&\underline{\dot m_\text{x,out}^\text{*} =\dot m_\text{x,in}^\text{*} + \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}x} ~~~~~\text{d}x} ~~~~~\text{d}x} ~~~~~\text
\end{align}

Η προκύπτουσα χρονική αλλαγή της μάζας \(\dot m_\text{CV}\) εντός του όγκου ελέγχου μπορεί να προσδιοριστεί με την εξίσωση (\ref{m}), όπου οι απειροελάχιστες διαστάσεις dy και dz χρησιμοποιούνται σε αυτό το σημείο:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&\dot m_\text{CV} =\dot m_\text{x,in}^\text{*} \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z ~-~ \dot m_\text{x,out}^\text{*} \cdot \text{d}y \cdot \text{d}y
&\dot m_\text{CV} =\dot m_\text{x,in}^\text{*}\cdot \text{d}y \cdot \text{d}z ~-~ \left(\dot m_\text{x,in}^\text{*}+ \frac{\partial (\t{partial x) \text{d}x \right) \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z \\[5px]
&\dot m_\text{CV} =\cancel{\dot m_\text{x,in}^\text{*}\cdot \text{d}y \cdot \text{d}z} ~-~ \cancel{\dot m_\text{x,in}^\text{*} \cdot \cdot \text{d}z} \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}x \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z \\[5px]
&\dot m_\text{CV} =~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \underbrace{\text{d}x \cdot \text{d}y \cdot \text{d}z}_{\text{d}Vx] \\[5
\label{a}
&\υπογράμμιση{\dot m_\text{CV} =~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}V } \\[5px]
\end{align}

Το αρνητικό πρόσημο υποδεικνύει ότι σε περίπτωση θετικής κλίσης η μάζα στο στοιχείο όγκου μειώνεται με την πάροδο του χρόνου, γιατί προφανώς η εξερχόμενη ροή μάζας είναι μεγαλύτερη από την εισερχόμενη ροή μάζας. Ωστόσο, εάν η μάζα στο στοιχείο όγκου γενικά αλλάζει με την πάροδο του χρόνου, τότε η πυκνότητά του ϱ αλλάζει επίσης με την πάροδο του χρόνου:

\αρχή{στοίχιση}
\label{b}
&\υπογράμμιση{\dot m_\text{CV} =\frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot \text{d}V} \\[5px]
\end{align}

Σημειώστε ότι εξετάζουμε ένα απειροελάχιστο στοιχείο όγκου, στο οποίο μπορεί να εκχωρηθεί μια ενιαία πυκνότητα, που αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Στο επόμενο βήμα, θα δούμε ότι το μέγεθος του στοιχείου όγκου δεν έχει σημασία ούτως ή άλλως και έτσι μπορεί πράγματι να επιλεγεί απειροελάχιστα μικρό. Επιπλέον, σημειώστε ότι η πυκνότητα στις ροές γενικά ποικίλλει όχι μόνο με την πάροδο του χρόνου (π.χ. σε ασταθείς ροές), αλλά επίσης αλλάζει από το ένα σημείο στο άλλο (π.χ. σε έναν μειωτήρα σωλήνων). Η χρονική αλλαγή της πυκνότητας είναι επομένως μερική παράγωγος της συνάρτησης πυκνότητας σε σχέση με το χρόνο.

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (\ref{b}) στην εξίσωση (\ref{a}), προκύπτει τελικά η ακόλουθη σχέση μεταξύ της βαθμίδας της ροής μάζας και της προκύπτουσας χρονικής αλλαγής της πυκνότητας σε ένα σημείο της ροής:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&\frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot \cancel{\text{d}V} =~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \cancel{\text{d}V} \\[5px]
&\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} =~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x}}~~~\text{εξίσωση συνέχειας για μονοδιάστατες ροές} \\[5px]
\end{align}

Αυτή η εξίσωση ονομάζεται τελικά εξίσωση συνέχειας και ισχύει με αυτή τη μορφή για μονοδιάστατες ροές. Όπως φαίνεται, αυτή η εξίσωση προκύπτει από τη διατήρηση της μάζας. Η εξίσωση συνέχειας χρησιμεύει για τον προσδιορισμό της χρονικής μεταβολής της πυκνότητας σε αυθαίρετα σημεία μιας ροής μέσω του υπάρχοντος πεδίου ροής (που αντιπροσωπεύεται από τα διανύσματα της ροής μάζας). Έτσι είναι δυνατές δηλώσεις για την ανάπτυξη ασταθών ροών συμπιεστών ρευστών. Σύμφωνα με την εξίσωση συνέχειας, ισχύει η ακόλουθη πρόταση:

Η κλίση της ροής μάζας σε ένα σημείο της ροής αντιστοιχεί στη χρονική αλλαγή της πυκνότητας σε αυτό το σημείο!

Σημειώστε ότι η ροή μάζας είναι διάνυσμα και δείχνει προς την ίδια κατεύθυνση με την ταχύτητα ροής, αφού τελικά είναι γινόμενο ενός διανύσματος (ταχύτητα) και ενός βαθμωτού (πυκνότητα). Η ροή μάζας είναι βασικά μια ταχύτητα ροής σταθμισμένη με την πυκνότητα. Για να απεικονίσετε τα πεδία ροής, ανατρέξτε επίσης στο άρθρο Ροές, γραμμές διαδρομής, γραμμές γραμμών και χρονοδιαγράμματα.

Εξίσωση συνέχειας για τρισδιάστατες ροές

Η προηγούμενη θεώρηση περιοριζόταν σε μια μονοδιάστατη ροή σε κατεύθυνση x. Γενικά, ωστόσο, μια ροή είναι τρισδιάστατη, δηλαδή η ταχύτητα ροής έχει συνιστώσες και στις τρεις κατευθύνσεις. Επομένως, δεν μπορεί να ληφθεί υπόψη μόνο η ροή μάζας μέσω ενός στοιχείου όγκου προς την κατεύθυνση x, αλλά και οι συνιστώσες ροής στην κατεύθυνση y και z πρέπει να ληφθούν υπόψη. Η μάζα δεν ρέει μόνο μέσα και έξω από το στοιχείο όγκου μέσω της μπροστινής και πίσω επιφάνειας, αλλά και μέσω των πλευρικών επιφανειών (κατεύθυνση y) και της κάτω και πάνω επιφάνειας (κατεύθυνση z).

Κινούμενα σχέδια:Τρισδιάστατη ροή μέσω ενός στοιχείου όγκου (όγκος ελέγχου)

Για την κατεύθυνση y και z, οι αλλαγές της μάζας μέσα στον όγκο ελέγχου μπορούν να προσδιοριστούν με τον ίδιο τρόπο όπως στην εξίσωση (\ref{a}):

\αρχή{στοίχιση}
\label{aa}
&\dot m_\text{x} =~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x} \cdot \text{d}V \\[5px]
\label{c}
&\dot m_\text{y} =~- \frac{\partial (\rho v_\text{y})}{\partial y} \cdot \text{d}V \\[5px]
\label{d}
&\dot m_\text{z} =~- \frac{\partial (\rho v_\text{z})}{\partial z} \cdot \text{d}V \\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Η μάζα ρέει πέρα από τα όρια ενός στοιχείου όγκου

Σε αυτήν την εξίσωση, οι ταχύτητες vx, vy και vz δηλώνουν τις συνιστώσες του διανύσματος ροής v. Η προκύπτουσα μεταβολή της μάζας στον απειροελάχιστο όγκο ελέγχου δεν οφείλεται πλέον μόνο σε ροή προς την κατεύθυνση x, αλλά και στις συνιστώσες ροής στην κατεύθυνση y και z. Όπως και με την εξίσωση (\ref{b}) για μια μονοδιάστατη ροή, ο ακόλουθος τύπος ισχύει τώρα για μια τρισδιάστατη ροή:

\αρχή{στοίχιση}
&\underbrace{\frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot \text{d}V}_\text{αλλαγή της μάζας εντός της έντασης ελέγχου} =\underbrace{\dot m_\text{x}+\dot m_\text{y} +\dot m_\text{z}}_{text{z}}_{text \\[5 εικονοστοιχεία]
\end{align}

Οι εξισώσεις (\ref{aa}) έως (\ref{d}) που χρησιμοποιούνται σε αυτήν την εξίσωση παρέχουν τελικά την εξίσωση συνέχειας για τρισδιάστατες ροές:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&\frac{\partial \rho}{\partial t} \cdot \cancel{\text{d}V}=~- \frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x}\cdot \cancel{\text{d}V} – \frac{\terial (\rho v_}\cexty \cancel{\text{d}V} – \frac{\partial (\rho v_\text{z})}{\partial z}\cdot \cancel{\text{d}V} \\[5px]
&\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} =~- \left[\frac{\partial (\rho v_\text{x})}{\partial x}+ \frac{\partial (\rho v_\text{y})}{\partial y}+ \frac{\partial (\rho v_) z}\right]}~~~\text{εξίσωση συνέχειας} \\[5 px]
\end{align}

Το άθροισμα των μερικών παραγώγων ως προς τις διαφορετικές κατευθύνσεις (άθροισμα των κλίσεων της ροής μάζας) ονομάζεται επίσης απόκλιση (div) στα μαθηματικά. Η απόκλιση είναι ένας μαθηματικός τελεστής, ο οποίος εξισορροπεί τις ροές μέσω ενός στοιχείου όγκου σε περίπτωση πεδίου ροής. Η απόκλιση μπορεί επίσης να γραφτεί ως βαθμωτό γινόμενο του τελεστή del ∇ και του διανυσματικού πεδίου ροής μάζας ϱv:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} =~- \text{div}\left(\rho \vec v \right) }~~~\text{where}~~~\text{div}\left(\rho \vec v \right) =\vec \nabla \cdot\vec v \rho v_\text{x})}{\partial x}+ \frac{\partial (\rho v_\text{y})}{\partial y}+ \frac{\partial (\rho v_\text{z})}{\partial z} \\[5px]
\end{align}

Για ασυμπίεστα ρευστά η πυκνότητα δεν αλλάζει και επομένως είναι σταθερή με την πάροδο του χρόνου. Η μερική παράγωγος της πυκνότητας ως προς το χρόνο είναι επομένως μηδέν (∂ϱ/∂t=0). Επιπλέον, η πυκνότητα είναι επίσης χωρικά σταθερή και επομένως μπορεί να γραφτεί πριν από τον τελεστή απόκλισης. Για ασυμπίεστα ρευστά, η εξίσωση συνέχειας έχει επομένως την εξής μορφή:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\text{div}\left(\vec v \right) =0} ~~~\text{εξίσωση συνέχειας για ασυμπίεστα ρευστά} \\[5 px]
\end{align}

Ερμηνεία της απόκλισης

Τα διανυσματικά πεδία μπορούν να απεικονιστούν με βέλη. Το μήκος των βελών δείχνει το μέγεθος της ποσότητας και οι αιχμές των βελών δείχνουν την κατεύθυνση. Τα διανυσματικά πεδία μπορούν επίσης να απεικονιστούν με γραμμές πεδίου. Η πυκνότητα των γραμμών πεδίου δείχνει το μέγεθος της έντασης του πεδίου και η εφαπτομένη στις γραμμές πεδίου δείχνει την κατεύθυνση. Με παρόμοιο τρόπο το πεδίο ροής των ρευστών μπορεί να οπτικοποιηθεί με γραμμές ροής («γραμμές πεδίου»). Η πυκνότητα των γραμμών ροής είναι ένα μέτρο για την ταχύτητα ροής και η εφαπτομένη στις γραμμές ροής δείχνει την κατεύθυνση ροής.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει σχηματικά ένα δισδιάστατο πεδίο ροής. Μπορείτε να φανταστείτε να ρίχνετε νερό σε έναν νεροχύτη και να αφήνετε την αποχέτευση ανοιχτή ταυτόχρονα. Το προκύπτον πεδίο ταχύτητας θα αντιστοιχεί στη συνέχεια με απλοποιημένο τρόπο στο πεδίο ροής που εμφανίζεται.

Σχήμα:Απόκλιση ενός διανυσματικού πεδίου ως μέτρο για την ισχύ μιας πηγής

Στο σημείο όπου το νερό συναντά τον νεροχύτη, υπάρχει μια πηγή νερού . Σε αυτό το σημείο το νερό δημιουργείται στο επίπεδο ροής, ας πούμε έτσι (σημειώστε ότι εδώ εξετάζουμε τη δισδιάστατη περίπτωση και όχι την τρισδιάστατη περίπτωση, όπου προφανώς δεν μπορεί να δημιουργηθεί νερό από το τίποτα). Στο σημείο που βρίσκεται η αποχέτευση, το νερό εξαφανίζεται από δισδιάστατη προοπτική. Σε αυτό το σημείο, το νερό στο επίπεδο ροής εκμηδενίζεται , να το πω έτσι.

Εάν εφαρμόσατε τον τελεστή απόκλισης σε αυτό το διανυσματικό πεδίο, θα λάβατε μια θετική τιμή στο σημείο όπου δημιουργείται το νερό . Στο σημείο που το νερό εκμηδενίζεται , θα έπαιρνες μια αρνητική τιμή. Εφαρμόζοντας τον τελεστή απόκλισης σε ένα διανυσματικό πεδίο, μπορείτε να απεικονίσετε τις πηγές και νεροχύτες διανυσματικών πεδίων με ζωντανό τρόπο. Οι γραμμές πεδίου ή οι γραμμές ροής ξεκινούν από σημεία θετικής απόκλισης (πηγές) και τελειώνουν σε σημεία αρνητικής απόκλισης (καταβόθρες). Το γεγονός ότι οι γραμμές πεδίου ή οι γραμμές ροής αποκλίνουν έντονα στις πηγές ή τις καταβόθρες, είναι τελικά ο λόγος για το όνομα του χειριστή.

Ο τελεστής απόκλισης μετατρέπει ένα διανυσματικό πεδίο σε βαθμωτό πεδίο και τα βαθμωτά μεγέθη είναι ένα μέτρο για την ισχύ μιας πηγής πεδίου! Οι θετικές τιμές υποδεικνύουν πηγές και οι αρνητικές τιμές υποδηλώνουν καταβόθρες γραμμών πεδίου!

Αντί για το πεδίο ροής που φαίνεται παραπάνω μπορείτε επίσης να φανταστείτε δύο ηλεκτρικά φορτία. Οι προκύπτουσες γραμμές πεδίου θα μοιάζουν πολύ. Στην πραγματικότητα, η απόκλιση ως μέτρο για την ισχύ μιας πηγής (μέτρο ηλεκτρικού φορτίου) παίζει σημαντικό ρόλο και σε αυτό το πεδίο. Ο τελεστής απόκλισης έχει επομένως μεγάλη σημασία για πολλά διανυσματικά πεδία.

Εικόνα:Εικόνα γραμμής πεδίου ηλεκτρικού πεδίου

Αλλά υπάρχουν επίσης διανυσματικά πεδία που δεν έχουν πηγές ή καταβόθρες και επομένως είναι χωρίς πηγή . Αυτά περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, μαγνητικά πεδία των οποίων οι γραμμές πεδίου δεν έχουν αρχή και τέλος, αλλά είναι πάντα κλειστές. Ακόμη και οι ασυμπίεστες ροές είναι προφανώς απαλλαγμένες από πηγές λόγω του γεγονότος ότι η μάζα δεν μπορεί να δημιουργηθεί ή να εκμηδενιστεί (σημείωση:το παραπάνω παράδειγμα του πεδίου 2D ροής χρησίμευσε μόνο ως ενδεικτικό παράδειγμα).