Παραγωγή Βαρομετρικού Τύπου:Επεξήγηση της Αδιαβατικής Ατμόσφαιρας

Ο βαρομετρικός τύπος για μια αδιαβατική ατμόσφαιρα λαμβάνει υπόψη τη μείωση της θερμοκρασίας με την αύξηση του υψομέτρου και τις σχετικές επιπτώσεις στην πίεση του αέρα.

Βαρομετρικός τύπος για ισοθερμική ατμόσφαιρα

Στο άρθρο Βαρομετρικός τύπος για ισοθερμική ατμόσφαιρα ο βαρομετρικός τύπος προέκυψε λεπτομερώς με την παραδοχή μιας σταθερής θερμοκρασίας. Επομένως, εδώ θα δοθεί μόνο μια σύντομη έκδοση της προέλευσης.

Ένα στρώμα αέρα (που ονομάζεται δέμα αέρα ) με το απειροελάχιστο πάχος dh, που βρίσκεται σε ισορροπία με το περιβάλλον, θεωρείται. Αυτό το δέμα αέρα βρίσκεται σε αυθαίρετο υψόμετρο h στο οποίο η πυκνότητα αέρα είναι ϱ. Στην περίπτωση αυτή έχουμε να κάνουμε με τρεις δυνάμεις που βρίσκονται όλες σε ισορροπία. Πρώτον, μια πίεση p δρα στην κάτω πλευρά του στρώματος αέρα. Από την άλλη πλευρά, λόγω της φθίνουσας πυκνότητας αέρα, μια χαμηλή πίεση αέρα δρα στην επάνω πλευρά. Η πίεση εκεί είναι μικρότερη κατά ένα ποσό dp. Οι αντίστοιχες δυνάμεις και στις δύο πλευρές του δέματος αέρα μπορούν να προσδιοριστούν από το γινόμενο της πίεσης και του εμβαδού βάσης Α. Η τρίτη δύναμη είναι το βάρος Fg του δέματος αέρα.

Σχήμα:Παραγωγή του βαρομετρικού τύπου

\αρχή{στοίχιση}
F_b &=p \cdot A &\text{δύναμη στο κάτω μέρος του στρώματος αέρα} \\[5px]
F_t &=\left(p-\text{d} p \right) \cdot A &\text{δύναμη στο επάνω μέρος του στρώματος αέρα } \\[5px]
F_g&=A \cdot \text{d} h \cdot \rho \cdot g &\text{βάρος του στρώματος αέρα} \\[5 px]
\end{align}

Η προς τα κάτω κατευθυνόμενη δύναμη της πίεσης του αέρα στην επάνω πλευρά του στρώματος αέρα Ft και το βάρος Fg που ενεργεί επίσης προς τα κάτω είναι επομένως σε ισορροπία με την προς τα πάνω κατευθυνόμενη δύναμη στην κάτω πλευρά του στρώματος αέρα Fb.

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&F_b \overset{!}{=} F_g + F_t \\[5px]
&p \cdot \bcancel{A} =\bcancel{A} \cdot \text{d}h \cdot \rho \cdot g + \left(p-\text{d}p \right) \cdot \bcancel{A} \\[5px]
&\bcancel{p} =\text{d}h \cdot \rho \cdot g + \bcancel{p} – \text{d}p \\[5px]
&\text{d}p =\rho \cdot g \cdot \text{d}h \\[5px]
\end{align}

Για να ληφθεί υπόψη το γεγονός ότι η πίεση μειώνεται με την αύξηση του υψομέτρου (dh>0) και δεν αυξάνεται (dp<0), προστίθεται ένα αρνητικό πρόσημο στην παραπάνω εξίσωση:

\αρχή{στοίχιση}
\label{dp}
&\boxed{\text{d}p =- \rho \cdot g \cdot \text{d}h} \\[5px]
\end{align}

Αυτή η εξίσωση δείχνει έτσι τη σχέση μεταξύ μιας (απειροελάχιστης) μεταβολής στο υψόμετρο dh και της προκύπτουσας (απειροελάχιστης) μεταβολής της πίεσης dp. Ωστόσο, το γεγονός ότι η ίδια η πυκνότητα του αέρα είναι συνάρτηση της πίεσης είναι κάπως ανησυχητικό σε αυτό το σημείο. Όσο μεγαλύτερη είναι η πίεση, τόσο πιο συμπιεσμένος είναι ο αέρας και τόσο πιο πυκνός είναι. Είναι επομένως απαραίτητο να εκφραστεί η πυκνότητα ως συνάρτηση της πίεσης. Αυτό είναι σχετικά εύκολο να γίνει αν θεωρείτε ότι ο αέρας είναι ιδανικό αέριο. Σύμφωνα με τον νόμο του ιδανικού αερίου, η πυκνότητα σχετίζεται με την πίεση με τη θερμοκρασία T (όπου Rs υποδηλώνει τη συγκεκριμένη σταθερά αερίου):

\αρχή{στοίχιση}
\label{ιδανικό}
&p=R_s \cdot \rho \cdot T~~~~~\text{νόμος ιδανικού αερίου} \\[5px]
\label{rho}
&\boxed{\rho=\frac{p}{ R_s \cdot T }}\\[5px]
\end{align}

Εάν η εξίσωση (\ref{rho}) χρησιμοποιείται στην εξίσωση (\ref{dp}), τελικά προκύπτει η ακόλουθη σχέση μεταξύ μιας (απειροελάχιστης) αλλαγής στο υψόμετρο και της προκύπτουσας αλλαγής στην πίεση:

\αρχή{στοίχιση}
\label{c}
&\boxed{\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h} \\[5px]
\end{align}

Είναι πλέον αμέσως εμφανές ότι η αλλαγή της πίεσης επηρεάζεται άμεσα από την ίδια την πίεση. Όσο χαμηλότερη είναι η πίεση, τόσο μικρότερη θα είναι η μεταβολή της πίεσης (υποθέτοντας την ίδια αλλαγή στο υψόμετρο dh. Επομένως, μπορεί να υποτεθεί ότι η πίεση του αέρα θα μειώνεται λιγότερο με την αύξηση του υψομέτρου. Εάν αντιπροσωπεύουμε τη μείωση της πίεσης σε υψόμετρο, λαμβάνουμε συνεπώς μια καμπύλη που γίνεται όλο και πιο επίπεδη. Καθώς η αλλαγή πίεσης είναι ανάλογη της πίεσης, προκύπτει μια εκθετική μείωση

Σχήμα:Μείωση πίεσης (κλίση πίεσης) σε μεγάλα και χαμηλά υψόμετρα

Κάποιος λαμβάνει αυτή την καμπύλη ολοκληρώνοντας την εξίσωση (\ref{c}) αφού διαχωρίσει τις μεταβλητές. Η ολοκλήρωση προϋποθέτει σταθερή θερμοκρασία. Το αποτέλεσμα είναι ο κλασικός βαρομετρικός τύπος (δείτε το συνδεδεμένο άρθρο για μια λεπτομερή παραγωγή με περισσότερες εξηγήσεις):

\αρχή{στοίχιση}
&\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
&\frac{ \text{d}p }{p} =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
&\int_{p_0}^{p}\frac{ \text{d}p }{p} =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \int_{0}^h \text{d} h \\[5px]
&\left[\ln{\left( p\right)}\right]_{p_0}^p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \left[~h~\right]_{0}^{h}\\[5px]
&\ln{(p)}-\ln{(p_0)}=-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot {\left(h-0\right)}\\[5px]
&\ln{\left(\frac{p}{p_0}\right)}=-\frac{g \cdot h}{R_s \cdot T} \\[5px]
&\text{e}^{\Large{\ln{\left(\frac{p}{p_0}\right)}}}=\text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot h}{R_s \cdot T} }}\\[5px]
&\frac{p}{p_0}=\text{e}^{-\frac{g \cdot h}{R_s \cdot T} }\\[5px]
\label{bar}
&\boxed{p(h)=p_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot h}{R_s \cdot T}}}} ~~~~~\text{βαρομετρικός τύπος για ισοθερμική ατμόσφαιρα} \\[5 px]
\end{align}

Σε αυτήν την εξίσωση, το p0 υποδηλώνει την πίεση στο επίπεδο αναφοράς ("μηδέν ύψος") και το p αντιστοιχεί στην πίεση σε οποιοδήποτε ύψος h πάνω από το επίπεδο αναφοράς.

Επίδραση μιας αλλαγής θερμοκρασίας στον βαρομετρικό τύπο (αδιαβατική ατμόσφαιρα)

Όπως ήδη αναφέρθηκε, ο βαρομετρικός τύπος σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{bar}) προέκυψε με την συνθήκη της σταθερής θερμοκρασίας. Επομένως, αυτός ο τύπος ισχύει μόνο εάν υποτεθεί ότι η θερμοκρασία της ατμόσφαιρας δεν αλλάζει με το υψόμετρο. Σε αυτό το πλαίσιο μιλάμε για μια λεγόμενη ισόθερμη ατμόσφαιρα .

Ο "κλασικός" βαρομετρικός τύπος ισχύει μόνο για μια ισοθερμική ατμόσφαιρα, δηλαδή υπό την προϋπόθεση ότι η θερμοκρασία δεν αλλάζει με την αύξηση του υψομέτρου.

Ωστόσο, ειδικά όταν εξετάζουμε μεγάλες αλλαγές στο υψόμετρο, η πρακτική δείχνει ότι η θερμοκρασία δεν παραμένει σταθερή, αλλά συνήθως μειώνεται με την αύξηση του υψομέτρου. Για το λόγο αυτό, είναι γενικά πιο κρύο στα ψηλά βουνά από ότι στις γύρω κοιλάδες. Αυτό μπορεί να αποδοθεί, μεταξύ άλλων, στο γεγονός ότι ο θερμός αέρας που ανεβαίνει στην κορυφή λόγω των θερμικών, ψύχεται λόγω της φθίνουσας πίεσης. Ένα τέτοιο φαινόμενο μπορεί να παρατηρηθεί και με δοχεία ψεκασμού. Το πεπιεσμένο αέριο θα κρυώσει σημαντικά όταν διαστέλλεται στο περιβάλλον, δηλαδή όταν εκτονώνεται σε χαμηλότερη πίεση.

Για μια πιο ακριβή περιγραφή του προφίλ πίεσης, πρέπει επομένως να ληφθεί υπόψη η αλλαγή της θερμοκρασίας. Για να μοντελοποιήσουμε την αλλαγή θερμοκρασίας, θα εξετάσουμε παρακάτω ένα δέμα αέρα, το οποίο ανεβαίνει και διαστέλλεται λόγω της φθίνουσας πίεσης και ως αποτέλεσμα ψύχεται. Για λόγους απλότητας, θεωρείται ότι το δέμα αέρα δεν εκπέμπει καμία θερμότητα στο περιβάλλον και δεν απορροφά καθόλου από αυτό. Είναι λοιπόν ένα αδιαβατικό σύστημα. Σε αυτό το πλαίσιο, μιλά κανείς και για μια λεγόμενη αδιαβατική ατμόσφαιρα .

Σχέση μεταξύ της αλλαγής του υψομέτρου και της αλλαγής της θερμοκρασίας (ποσοστό καθυστέρησης)

Σημειώστε ότι το ότι δεν μεταφέρεται θερμότητα κατά τη διάρκεια μιας αδιαβατικής αλλαγής κατάστασης δεν σημαίνει ότι η θερμοκρασία δεν αλλάζει. Σε αυτή την περίπτωση, η αλλαγή θερμοκρασίας οφείλεται μόνο στην αλλαγή της πίεσης ή του όγκου κατά την άνοδο και όχι σε εξωτερική μεταφορά θερμότητας, η οποία απλοποιεί ανάλογα τη μοντελοποίηση.

Εικόνα:Ανοδικό δέμα αέρα σε αδιαβατική ατμόσφαιρα

Για το δέμα αέρα που θεωρείται αδιαβατικό σύστημα, πρέπει να βρεθεί πρώτα μια σχέση μεταξύ της αλλαγής της πίεσης (η οποία συνδέεται με την αλλαγή στο υψόμετρο) και της προκύπτουσας αλλαγής στη θερμοκρασία. Με αυτόν τον τρόπο, η μείωση της θερμοκρασίας μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά και στη συνέχεια να ενσωματωθεί στον βαρομετρικό τύπο.

Για το σκοπό αυτό, είναι απαραίτητος ο πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής στη διαφορική σημειογραφία. Αυτή η εξίσωση δηλώνει ότι μια (απειροελάχιστη) παροχή εργασίας dW και θερμότητας dQ οδηγεί σε αλλαγή στην εσωτερική ενέργεια dU:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\text{d}W + \text{d}Q =\text{d}U}~~~~~\text{πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής} \\[5 px]
\end{align}

Ωστόσο, λόγω του δέματος αέρα που υποτίθεται ότι είναι αδιαβατικό, δεν μεταφέρεται θερμότητα σε αυτήν την περίπτωση εξ ορισμού (dQ=0). Η αλλαγή της εσωτερικής ενέργειας προκαλείται λοιπόν αποκλειστικά από το έργο:

\αρχή{στοίχιση}
\label{erst}
&\text{d}U =\text{d}W~~~~~\text{ισχύει μόνο για ένα αδιαβατικό σύστημα} \\[5px]
\end{align}

Η εργασία οφείλεται στην αύξηση του όγκου του δέματος αέρα λόγω της φθίνουσας πίεσης. Η αύξηση του όγκου του αέρα σε σχέση με την ενεργό πίεση του αέρα απαιτεί εργασία και επομένως ονομάζεται επίσης εργασία πίεσης-όγκου . Το έργο πίεσης-όγκου σε μια δεδομένη πίεση αέρα p εξαρτάται μόνο από τη μεταβολή του όγκου dV (το αρνητικό πρόσημο στην παρακάτω εξίσωση προκύπτει από τη σύμβαση ότι όταν αυξάνεται ο όγκος, η εργασία γίνεται από το αέριο και επομένως πρέπει να μετρηθεί αρνητικά):

\αρχή{στοίχιση}
\label{dw}
&\boxed{\text{d}W =– p \cdot \text{d}V}~~~~~\text{εργασία πίεσης-όγκου} \\[5px]
\end{align}

Σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{erst}), η ενέργεια που απαιτείται για την αύξηση του όγκου λαμβάνεται από την εσωτερική ενέργεια, η οποία για ένα ιδανικό αέριο μάζας m με τη σειρά της εξαρτάται μόνο από τη μεταβολή της θερμοκρασίας dT (το cv υποδηλώνει τη συγκεκριμένη ισοχωρική θερμοχωρητικότητα):

\αρχή{στοίχιση}
\label{du}
&\boxed{\text{d}U =c_v \cdot m \cdot \text{d}T}~~~~~\text{αλλαγή εσωτερικής ενέργειας} \\[5px]
\end{align}

Εάν οι εξισώσεις (\ref{du}) και (\ref{dw}) χρησιμοποιούνται στην εξίσωση (\ref{erst}), τότε μπορεί να φανεί ότι η αύξηση του όγκου (dV>0) σε μεγάλα υψόμετρα οδηγεί άμεσα σε μείωση της θερμοκρασίας (dT<0):

\αρχή{στοίχιση}
&\text{d}W =\text{d}U \\[5px]
&c_v \cdot m \cdot \text{d}T =– p \cdot \text{d}V \\[5px]
\label{dt}
&\underline{\text{d}T =– \frac{p}{c_v \cdot m} \cdot \text{d}V } \\[5px]
\end{align}

Ο όγκος, η πίεση και η θερμοκρασία, με τη σειρά τους, σχετίζονται με τον νόμο του ιδανικού αερίου, ο οποίος στην περίπτωση αυτή δεν εκφράζεται ως προς την πυκνότητα αλλά ως προς τον όγκο και τη μάζα του δέματος αέρα. Αυτό οδηγεί στην ακόλουθη σχέση:

\αρχή{στοίχιση}
\label{i}
&\boxed{p \cdot V =R_s \cdot m \cdot T}~~~~~\text{νόμος ιδανικού αερίου} \\[5px]
&T =\frac{p \cdot V}{R_s \cdot m} \\[5px]
\end{align}

Η θερμοκρασία επομένως αλλάζει καθώς αλλάζει η πίεση και/ή ο όγκος. Στην περίπτωσή μας, και οι δύο μεταβλητές θα αλλάξουν. Σύμφωνα με τον κανόνα του προϊόντος, επομένως, μια απειροελάχιστη αλλαγή στη θερμοκρασία dT σχετίζεται με μια αλλαγή της πίεσης dp ή του όγκου dV ("νόμος ιδανικού αερίου σε διαφορική μορφή"):

\αρχή{στοίχιση}
&\text{d}T =\frac{\text{d}p \cdot V}{R_s \cdot m} + \frac{p \cdot \text{d}V}{R_s \cdot m} ~~~~~\text{νόμος ιδανικών αερίων σε διαφορική μορφή} \\[5px]
\end{align}

Εάν αυτή η εξίσωση λυθεί σε σχέση με τη μεταβολή του όγκου dV, μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην εξίσωση (\ref{dt}):

\αρχή{στοίχιση}
&\text{d}T =\frac{\text{d}p \cdot V}{R_s \cdot m} + \frac{p \cdot \text{d}V}{R_s \cdot m} \\[5px]
&R_s \cdot m \cdot \text{d}T =\text{d}p \cdot V + p \cdot \text{d}V \\[5px]
&\underline{\text{d}V=\frac{ R_s\cdot m\cdot\text{d}T}{p}- \frac{\text{d}p\cdot V}{p} } \\[5px]
\end{align}

Χρησιμοποιώντας αυτήν την εξίσωση στην εξίσωση (\ref{dt}), προκύπτει η ακόλουθη σχέση μεταξύ μιας απειροελάχιστης αλλαγής πίεσης dp και της σχετικής αλλαγής θερμοκρασίας dT:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&\text{d}T =– \frac{p}{c_v \cdot m} \cdot \color{red}{\text{d}V} =– \frac{p}{c_v \cdot m} \cdot \color{red}{\left( \frac{ R_s\cdot m\cdot\text}{\text{d}Text V}{p} \right) } \\[5 px]
&\text{d}T =-\frac{R_s \cdot \bcancel{m} \cdot \text{d}T \cdot \bcancel{p}}{c_v \cdot \bcancel{m} \cdot \bcancel{p}}
+ \frac{\bcancel{p} \cdot \text{d}p \cdot V}{c_v \cdot m \cdot \bcancel{p}} \\[5px]
&\text{d}T =-\frac{R_s \cdot \text{d}T}{c_v}+\frac{\text{d}p \cdot V}{c_v \cdot m} \\[5px]
&\text{d}T \cdot c_v =-R_s \cdot \text{d}T+\frac{V}{m} \cdot \text{d}p\\[5px]
&\text{d}T \cdot (c_v+R_s) =\frac{V}{m} \cdot \text{d}p\\[5px]
\end{align}

Σε αυτό το σημείο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ότι το άθροισμα της ειδικής ισοχωρικής θερμοχωρητικότητας cv και την ειδική σταθερά αερίου Το Rs αντιστοιχεί απλώς στην ειδική ισοβαρική θερμοχωρητικότητα cp. Επιπλέον, σύμφωνα με τον νόμο του ιδανικού αερίου (\ref{i}) το πηλίκο V/m μπορεί να αντικατασταθεί από την έκφραση Rs⋅T/p. Επομένως, η ακόλουθη σχέση ισχύει μεταξύ μιας αλλαγής πίεσης dp σε μια δεδομένη πίεση p και της προκύπτουσας αλλαγής θερμοκρασίας dT σε μια δεδομένη θερμοκρασία T:

\αρχή{στοίχιση}
&\text{d}T \cdot \underbrace{(c_v+R_s)}_{c_p} =\underbrace{\frac{V}{m}}_{ \frac{R_s \cdot T}{p} } \cdot \text{d}p\\[5px]
&\text{d}T \cdot c_p=\frac{R_s \cdot T}{p} \cdot \text{d}p \\[5px]
\label{zz}
&\boxed{\frac{\text{d}T}{T} =\frac{R_s}{c_p} \cdot \frac{\text{d}p}{p}} \\[5px]
\end{align}

Η ανώτερη εξίσωση (\ref{zz}) περιγράφει την αλλαγή θερμοκρασίας με μια αλλαγή πίεσης. Σε αυτή την περίπτωση, όμως, η μεταβολή της θερμοκρασίας δεν πρέπει να περιγράφεται από την αλλαγή πίεσης, αλλά από την αλλαγή υψομέτρου. Για το σκοπό αυτό, απαιτείται η εξίσωση (\ref{c}) που συνδέει την αλλαγή πίεσης dp με την αλλαγή υψομέτρου dh:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&\frac{\text{d}T}{T}=\frac{R_s}{c_p}\cdot\frac{\overbrace{-\frac{g}{R_S \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h}^{\text{d}p} {p}\\[5 px]
&\frac{\text{d}T}{ \bcancel{T}}=-\frac{ \bcancel{R_s} \cdot g \cdot \bcancel{p} \cdot \text{d}h}{c_p \cdot \bcancel{R_s} \cdot \bcancel{T} \cdot \bcancel{T} \cdot \b}
\label{grad}
&\boxed{\frac{\text{d}T}{ \text{d}h } =-\frac{g}{c_p}}:=\Gamma ~~~~~\text{ρυθμός παρέλευσης (βαθμίδα θερμοκρασίας)} \\[5px]
\end{align}

Σε αυτή τη μορφή, η παραπάνω εξίσωση περιγράφει τη μεταβολή θερμοκρασίας dT ανά αλλαγή υψομέτρου dh, δηλαδή τη μείωση της θερμοκρασίας σε Kelvin ανά μονάδα υψομέτρου. Αυτή η έκφραση ονομάζεται επίσης βαθμίδα θερμοκρασίας ή ποσοστό καθυστέρησης Γ. Όπως δείχνει η παραπάνω εξίσωση, ο ρυθμός παρέλευσης προκύπτει μόνο από σταθερές. Επομένως, στην ατμόσφαιρα που υποτίθεται ότι είναι αδιαβατική, προκύπτει μια γραμμική μείωση της θερμοκρασίας.

Για ξηρό αέρα με ειδική θερμοχωρητικότητα cp=1005 J/(kg⋅K), αυτό έχει ως αποτέλεσμα μείωση θερμοκρασίας περίπου 1 Kelvin (1 °C) ανά 100 μέτρα υψόμετρο:

\αρχή{στοίχιση}
&\Gamma =-\frac{g}{c_p} =-\frac{9,81 \frac{\text{N}}{\text{kg}} }{ 1005 \frac{\text{ J}}{\text{kg K}} } \approx \underline{\underline{\text{0}{text{0}{\text{0} m}}}}\\[5 εικονοστοιχεία]
\end{align}

Υποθέτοντας μια αδιαβατική ατμόσφαιρα, η θερμοκρασία στον ξηρό αέρα μειώνεται γραμμικά κατά περίπου 1 °C ανά 100 μέτρα υψόμετρο (ονομάζεται ξηρός ρυθμός αδιαβατικής παρέλευσης)!

Εάν η θερμοκρασία T0 στο επίπεδο αναφοράς είναι γνωστή, τότε η θερμοκρασία T σε οποιοδήποτε υψόμετρο h μπορεί να προσδιοριστεί σύμφωνα με την ακόλουθη εξίσωση:

\αρχή{στοίχιση}
\label{th}
&\boxed{T(h) =T_0 + \Gamma \cdot h} ~~~\text{mit}~~~ \boxed{\Gamma=-\tfrac{g}{c_p}} \\[5px]
\end{align}

Εναλλακτική εξαγωγή του ποσοστού παρέλευσης

Μια εναλλακτική εξαγωγή του ρυθμού καθυστέρησης βασίζεται στην αδιαβατική διεργασία, η οποία συσχετίζει την πίεση και τη θερμοκρασία σύμφωνα με την ακόλουθη εξίσωση γ υποδηλώνει τον λόγο θερμικής ικανότητας :γ=cp/cv):

\αρχή{στοίχιση}
&T_1^{\gamma } \cdot p_1^{1-\gamma} =T_2^{\gamma} \cdot p_2^{1-\gamma} \\[5px]
&\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{-\gamma } =\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1-\gamma} \\[5px]
\end{align}

Εάν λογαριθμήσετε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης και χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι το λογαριθμικό πηλίκο μπορεί επίσης να γραφτεί ως αφαίρεση, θα λάβετε την ακόλουθη εξίσωση:

\αρχή{στοίχιση}
&\ln\left[\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{-\gamma}\right] =\ln\left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1-\gamma}\right] \\[5px]
&-\gamma \cdot \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) =(1-\gamma) \cdot \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) \\[5px]
&-\gamma \cdot \left[\ln\left(T_2\right) – \ln\left(T_2\right) \right] =(1-\gamma) \cdot \left[ \ln\left(p_2\right) – \ln\left(p_1\right) \right] \\[5px]
\end{align}

Αυτή η εξίσωση μπορεί τελικά να ληφθεί με την ακόλουθη ολοκλήρωση:

\αρχή{στοίχιση}
&-\gamma \cdot \int_{T_1}^{T_2} \frac{1}{T}~ \text{d}T=(1-\gamma) \cdot \int_{p_1}^{p_2} \frac{1}{p} ~ \text{d}p \\[5px]
\end{align}

Αν τώρα κάποιος εξάγει και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης, τότε τα ολοκληρώματα μπορούν απλά να παραληφθούν. Με αυτόν τον τρόπο, λαμβάνεται η ακόλουθη διαφορική σχέση μεταξύ μιας αλλαγής πίεσης και της προκύπτουσας αλλαγής θερμοκρασίας:

\αρχή{στοίχιση}
&-\gamma \cdot \frac{1}{T} ~\text{d}T =(1-\gamma) \cdot \frac{1}{p} ~ \text{d}p \\[5px]
\label{z}
&\boxed{ \frac{ \text{d}T }{T} ~ =\frac{\gamma-1}{\gamma} \cdot \frac{\text{d}p}{p} } \\[5px]
\end{align}

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του λόγου θερμοχωρητικότητας γ=cp/cv, ο όρος (γ-1)/γ μπορεί επίσης να εκφραστεί από την ειδική σταθερά αερίου Rs και την ειδική ισοβαρική θερμοχωρητικότητα cp:

\αρχή{στοίχιση}
\frac{\gamma-1}{\gamma}&=\frac{\tfrac{c_p}{c_v} -1}{\tfrac{c_p}{c_v}} ~~~\text{πολλαπλασιάζοντας με τον όρο}\tfrac{c_v}{c_v} \text{ οδηγεί σε:} \\[5x]
&=\frac{c_p-c_v}{c_p} ~~~\text{χρησιμοποιώντας } c_p-c_c =R_s \text{ οδηγεί σε:} \\[5px]
&=\frac{R_s}{c_p} \\[5px]
\end{align}

Έτσι, αν αντικαταστήσετε στην εξίσωση (\ref{z}) την έκφραση (γ-1)/γ με τον όρο Rs/cp, τότε τελικά θα έχετε την ίδια εξίσωση όπως στην ενότητα πριν από [βλ. εξίσωση (\ref{zz})]:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\frac{\text{d}T}{T} =\frac{R_s}{c_p} \cdot \frac{\text{d}p}{p}} \\[5px]
\end{align}

Η περαιτέρω εξαγωγή του ποσοστού παρέλευσης είναι πανομοιότυπη με την παραγωγή στην προηγούμενη ενότητα. Για το σκοπό αυτό, και πάλι η αλλαγή πίεσης σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{c}) πρέπει να χρησιμοποιηθεί στην παραπάνω εξίσωση:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&\frac{\text{d}T}{T}=\frac{R_s}{c_p}\cdot\frac{\overbrace{-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h}^{\text{d}p} {p}\\[5 px]
&\frac{\text{d}T}{ \bcancel{T}}=-\frac{ \bcancel{R_s} \cdot g \cdot \bcancel{p} \cdot \text{d}h}{c_p \cdot \bcancel{R_s} \cdot \bcancel{T} \cdot \bcancel{T} \cdot \b}
\label{grad2}
&\boxed{\frac{\text{d}T}{ \text{d}h } =-\frac{g}{c_p}} \\[5px]
\end{align}

Επίδραση της υγρασίας του αέρα στον ρυθμό παρέλευσης

Η διαβάθμιση θερμοκρασίας περίπου -1 K/(100m) ισχύει αυστηρά μόνο για ξηρό αέρα που δεν περιέχει αέριο νερό. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο αυτή η διαβάθμιση θερμοκρασίας ονομάζεται επίσης ρυθμός ξηρού αδιαβατικού σφάλματος .

Ωστόσο, ο αέρας περιέχει πάντα μια ορισμένη ποσότητα υγρασίας, δηλαδή υπάρχει αέριο νερό στον αέρα (που ονομάζεται υδροατμός ). Έτσι, η ειδική θερμοχωρητικότητα cp αλλάζει και ως εκ τούτου ο ρυθμός παρέλευσης. Ωστόσο, η επίδραση της αλλαγμένης θερμικής χωρητικότητας στον ρυθμό παρέλευσης είναι συχνά αμελητέα, καθώς ο αέρας περιέχει μόνο περίπου 1% υδρατμούς.

Μια πιθανή συμπύκνωση των υδρατμών που περιέχονται στο δέμα αέρα έχει πολύ μεγαλύτερη επίδραση στον ρυθμό παρέλευσης. Καθώς η θερμοκρασία μειώνεται, μέρος του αέριου νερού τελικά θα συμπυκνωθεί, δηλαδή θα ξαναγίνει υγρό. Αυτό συμβαίνει επειδή ο κρύος αέρας μπορεί να κρατήσει λιγότερο νερό από τον ζεστό αέρα. Στους 20 °C, ένα κυβικό μέτρο αέρα περιέχει το πολύ περίπου 17 g υδρατμών. στους -20 °C, ωστόσο, μόνο περίπου 1 g.

Εάν η θερμοκρασία πέσει με την αύξηση του υψομέτρου, το ανερχόμενο δέμα αέρα δεν μπορεί πλέον να αποθηκεύεται πλήρως το νερό που περιέχει. Αυτό οδηγεί σε συμπύκνωση του νερού και σταγονίδια υγρού νερού καθιζάνουν από το δέμα υπερκορεσμένου αέρα. Σε αυτή την κατάσταση, η θερμοκρασία του αέρα αντιστοιχεί ακριβώς στο σημείο δρόσου.

Η συμπύκνωση του νερού μπορεί να παρατηρηθεί πολύ καλά ως σχηματισμός νεφών. Το υψόμετρο όπου λαμβάνει χώρα η συμπύκνωση και συνεπώς ο σχηματισμός νέφους ονομάζεται επίσης βάση σύννεφων . Το υψόμετρο στο οποίο βρίσκεται η βάση σύννεφων εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από το περιβάλλον και τις καιρικές συνθήκες. Για παράδειγμα, η βάση του νέφους μπορεί να σχηματιστεί σε υψόμετρο 3 km, αλλά σύννεφα μπορούν επίσης να σχηματιστούν ακριβώς πάνω από το έδαφος. αυτό το φαινόμενο ονομάζεται τότε ομίχλη .

Εικόνα:Ξηρός αδιαβατικός και υγρός αδιαβατικός ρυθμός καθυστέρησης (κλίση θερμοκρασίας)

Από θερμοδυναμική άποψη, ο σχηματισμός νεφών συνοδεύεται από ένα σημαντικό φαινόμενο. Η θερμότητα της συμπύκνωσης (ονομάζεται επίσης λανθάνουσα θερμότητα ) που απελευθερώνεται κατά τη συμπύκνωση του νερού εξουδετερώνει την ψύξη του αέρα. Έτσι, πάνω από τη βάση του νέφους, ένα ανερχόμενο δέμα αέρα δεν ψύχεται τόσο πολύ όσο κάτω από τη βάση του νέφους. Κατά συνέπεια, ο ρυθμός παρέλευσης κατά τη συμπύκνωση είναι χαμηλότερος από ό,τι χωρίς σχηματισμό νέφους. Κατά συνέπεια, γίνεται διάκριση μεταξύ του ρυθμού ξηρής αδιαβατικής καθυστέρησης (χωρίς συμπύκνωση) και τον ρυθμό υγρού αδιαβατικού σφάλματος (με συμπύκνωση).

Σε αντίθεση με τον ξηρό αδιαβατικό ρυθμό παρέλευσης, ο ρυθμός υγρού αδιαβατικού σφάλματος λαμβάνει υπόψη τη συμπύκνωση των υδρατμών με την αύξηση του υψομέτρου! Λόγω της εκλυόμενης θερμότητας συμπύκνωσης, ο ρυθμός υγρής αδιαβατικής διακοπής είναι χαμηλότερος από τον ξηρό αδιαβατικό.

Για τη λεγόμενη τυπική ατμόσφαιρα , ο ρυθμός υγρής αδιαβατικής παρέλευσης θεωρείται ότι είναι 0,65 °C/100m για τα πρώτα 11 km πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας. Περισσότερα για την τυπική ατμόσφαιρα αργότερα σε ξεχωριστή ενότητα.

Προφίλ πίεσης για αδιαβατική ατμόσφαιρα

Επειδή τώρα η θερμοκρασία ως συνάρτηση του υψομέτρου είναι γνωστή σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{th}), αυτή η συνάρτηση μπορεί να ληφθεί υπόψη κατά την εξαγωγή του προφίλ πίεσης από την εξίσωση (\ref{c}).

\αρχή{στοίχιση}
&\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T(h)} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
&\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot \left(T_0 + \Gamma \cdot h \right)} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
&\frac{\text{d}p}{p} =-\frac{g}{R_s} \cdot \frac{\text{d} h}{ T_0 +\Gamma \cdot h } \\[5px]
\end{align}

Και οι δύο πλευρές της εξίσωσης μπορούν πλέον να ενσωματωθούν εντός των αντίστοιχων ορίων. Τα κατώτερα όρια αναφέρονται στο επίπεδο αναφοράς, δηλαδή h0=0 και p0. Το ανώτερο όριο αντιστοιχεί σε οποιοδήποτε υψόμετρο h στο οποίο πρέπει να προσδιοριστεί η πίεση p.

\αρχή{στοίχιση}
\label{p0}
&\boxed{\int_{p_0}^p~\frac{\text{d}p}{p} =-\frac{g}{R_s} \cdot \int_{h_0=0}^h\frac{\text{d} h}{T_0+\Gamma \cdot h}} \\[5px]
\end{align}

Η αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης δίνει την ήδη γνωστή έκφραση ln(p/p0) [δείτε την παραγωγή της εξίσωσης (\ref{bar})]. Για την επίλυση του ολοκληρώματος στη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης βοηθάει μια ματιά στη συλλογή τύπων των μαθηματικών. Για την περίπτωση γραμμικής συνάρτησης στον παρονομαστή ενός κλάσματος προκύπτουν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρωτικά:

\αρχή{στοίχιση}
&\int \frac{\text{d}x}{b+a \cdot x} =\frac{1}{a} \cdot \ln\left(b+a\cdot x\right) \\[5px]
\end{align}

Αυτή η εξίσωση μπορεί τώρα να εφαρμοστεί στην περίπτωσή μας. Με x=h, b=T0 και a=Γ, προκύπτει η ακόλουθη λύση για το ολοκλήρωμα στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης (\ref{p0}):

\αρχή{στοίχιση}
\int_{0}^h\frac{\text{d} h}{T_0 +\Gamma \cdot h} &=\left[\frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(T_0+\Gamma \cdot h\right) \right]^h_0 \\[5px]
&=\frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(T_0+\Gamma \cdot h\right) – \frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(T_0\right) \\[5px]
&=\frac{1}{\Gamma} \cdot \left[ \ln\left(T_0+\Gamma \cdot h\right) -\ln\left(T_0\right)\right] \\[5px]
&=\frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(\frac{T_0+\Gamma \cdot h}{T_0}\right) \\[5px]
&=\frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right) \\[5px]
\end{align}

Έτσι, η εξίσωση (\ref{p0}) αναπαρίσταται ως εξής:

\αρχή{στοίχιση}
\color{red}{\int_{p_0}^p~\frac{\text{d}p}{p}} &=-\frac{g}{R_s} \cdot \color{blue}{\int_{h_0=0}^h\frac{\text{d} h}{T_0 +\Gamma \cdot h]
\color{red}{\ln\left(\frac{p}{p_0}\right) } &=-\frac{g}{R_s} \cdot \color{blue}{ \frac{1}{\Gamma} \cdot \ln\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot}\x)
\end{align}

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί σε σχέση με την πίεση p εφαρμόζοντας πρώτα την εκθετική συνάρτηση και στις δύο πλευρές και στη συνέχεια απλοποιώντας την εξίσωση που προκύπτει με τη βοήθεια διαφόρων λογαριθμικών ταυτοτήτων (π.χ.:eln(x)=x und \(\text{e}^{a \cdot b}=\left(\text{e})^{a

\αρχή{στοίχιση}
\text{e}^{\ln\left(\frac{p}{p_0}\right)} &=\text{e}^{-\frac{g}{R_s \cdot \Gamma} \cdot \ln\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\pright)x]\[
\frac{p}{p_0} &=\left(\text{e}^{\ln\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)} \right)^{ -\frac{g}{R_s \cdot \Gamma }}\\[5px]
\frac{p}{p_0} &=\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{R_s \cdot \Gamma }} \\[5px]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
\label{ext}
&\boxed{p(h) =p_0 \cdot \left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{R_s \cdot \Gamma }}}~~~\text{βαρομετρικός τύπος για μια αδιαβατική ατμόσφαιρα} \\[5 px]
\end{align}

Η παραπάνω εξίσωση δίνει την πίεση σε οποιοδήποτε ύψος h πάνω από ένα επίπεδο αναφοράς, λαμβάνοντας υπόψη ένα γραμμικό προφίλ θερμοκρασίας (αδιαβατική ατμόσφαιρα). Σημειώστε ότι ο ρυθμός παρέλευσης Γ πρέπει να χρησιμοποιηθεί αρνητικά σε αυτή την εξίσωση. Ο ρυθμός παρέλευσης πρέπει να δίνεται στη μονάδα K/m ("Kelvin ανά μέτρο") και η θερμοκρασία T0 σε Kelvin.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει τη σύγκριση του κλασικού βαρομετρικού τύπου για μια ισοθερμική ατμόσφαιρα με τον εκτεταμένο βαρομετρικό τύπο για μια αδιαβατική ατμόσφαιρα.

Σχήμα:Σύγκριση του κλασικού βαρομετρικού τύπου (ισόθερμη ατμόσφαιρα) με τον εκτεταμένο τύπο (αδιαβατική ατμόσφαιρα)

Προφίλ πυκνότητας για αδιαβατική ατμόσφαιρα

Δεδομένου ότι, υποθέτοντας ένα αδιαβατικό σύστημα, η πίεση σχετίζεται άμεσα με τον όγκο και επομένως με την πυκνότητα. Με αυτόν τον τρόπο ο βαρομετρικός τύπος μπορεί επίσης να διαμορφωθεί για την πυκνότητα. Για μια αδιαβατική διαδικασία, η πίεση και ο όγκος δύο καταστάσεων σχετίζονται μεταξύ τους με την ακόλουθη εξίσωση:

\αρχή{στοίχιση}
&p \cdot V^\gamma =p_0 \cdot V_0^\gamma \\[5px]
\end{align}

Σε αυτήν την εξίσωση, η πίεση p0 και ο όγκος V0 αναφέρονται σε ένα θεωρούμενο δέμα αέρα στο επίπεδο αναφοράς και τα p και V αναφέρονται στην κατάσταση σε οποιοδήποτε ύψος h. Σε σταθερή μάζα – η μάζα του δέματος αέρα δεν αλλάζει ενώ αυξάνεται – ο όγκος και η πυκνότητα βρίσκονται σε αντίστροφη σχέση μεταξύ τους (ϱ=m/V). Επομένως, ισχύει η ακόλουθη σχέση μεταξύ πίεσης και πυκνότητας:

\αρχή{στοίχιση}
&p \cdot \frac{1}{\rho^\gamma} =p_0 \cdot \frac{1}{\rho_0^\gamma} \\[5px]
&\frac{p}{\rho^\gamma} =\frac{p_0}{\rho_0^\gamma} \\[5px]
&p =p_0 \cdot \left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^\gamma \\[5px]
\end{align}

Αυτός ο τύπος για την πίεση χρησιμοποιείται τώρα στην εξίσωση (\ref{ext}) και λύνεται σε σχέση με την πυκνότητα ϱ:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
p &=p_0 \cdot \left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{R_s \cdot \Gamma }} \\[5px]
\bcancel{p_0} \cdot \left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)^\gamma &=\bcancel{p_0} \cdot \left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{R_s]xma \cdo
\frac{\rho}{\rho_0} &=\left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{\gamma \cdot R_s \cdot \Gamma }} \\[5px]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
\boxed{\rho(h) =\rho_0 \cdot \left(1+\frac{\Gamma}{T_0} \cdot h\right)^{ -\frac{g}{\gamma \cdot R_s \cdot \Gamma }}} \\[5px]
\end{align}

Τυπικά, ο τύπος για την πυκνότητα διαφέρει από τον τύπο για την πίεση μόνο με τον εκθέτη, ο οποίος σε αυτό το σημείο διαιρείται με τον λόγο θερμοχωρητικότητας.

Η τυπική ατμόσφαιρα

Ο βαρομετρικός τύπος για μια αδιαβατική ατμόσφαιρα χρησιμοποιείται για να περιγράψει τη λεγόμενη τυπική ατμόσφαιρα μέχρι υψόμετρο περίπου 85 χλμ. Η ατμόσφαιρα χωρίζεται σε διαφορετικά στρώματα, με τα οποία υπολογίζεται ένας σταθερός ρυθμός διακοπής σε κάθε στρώμα.

Στάθμη της θάλασσας (χλμ) Ποσοστό καθυστέρησης (K/km) Θερμοκρασία (°C) 0-6,515,011+0,0-56,520+1,0-56,532+2,8-44,547+0,0-2,551-2,8-2,571-2,0-58,585-84,3

Πηγή:https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19770009539.pdf

Εικόνα:Θερμοκρασία και πίεση εντός της τυπικής ατμόσφαιρας (ρυθμός παρέλευσης)

Η αύξηση της θερμοκρασίας στη στρατόσφαιρα (από περίπου 20 km) οφείλεται κυρίως στην απορρόφηση της υπεριώδους ακτινοβολίας από το στρώμα του όζοντος. Στη συνέχεια, η θερμοκρασία πέφτει ξανά στους -86 °C περίπου στα 90 km. Από τα 100 km η θερμοκρασία ανεβαίνει ξανά γρήγορα και μάλιστα ξεπερνά τους 700 °C στα 300 km! Ο λόγος για αυτό είναι η χαμηλή πυκνότητα αέρα και η σχετική μεγάλη μέση ελεύθερη διαδρομή. Αυτό επιτρέπει στα μόρια να ταξιδεύουν μεγάλες αποστάσεις χωρίς συγκρούσεις. Αυτό οδηγεί σε σχετικά υψηλές μοριακές ταχύτητες και συνεπώς σε υψηλές θερμοκρασίες. Λόγω του γεγονότος ότι υπάρχουν μόνο λίγα μόρια, η σχετική εσωτερική ενέργεια του αερίου είναι επομένως πολύ χαμηλή παρά την υψηλή θερμοκρασία. Επομένως, κάποιος θα παγώσει μέχρι θανάτου παρά τις υψηλές θερμοκρασίες, γιατί μόνο πολύ λίγη θερμότητα μεταφέρεται!

Σημειώστε ότι κατά την περιγραφή της πίεσης σε ένα ισοθερμικό στρώμα, ο βαρομετρικός τύπος για μια αδιαβατική ατμόσφαιρα δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Ο ρυθμός παρέλευσης σε αυτή την περίπτωση είναι μηδέν, αλλά είναι ο παρονομαστής του κλάσματος στον εκθέτη. Δεν υπάρχει μαθηματική λύση για αυτό. Σε αυτήν την περίπτωση, είτε πρέπει να υποτεθεί ένας αρκετά μικρός ρυθμός παρέλευσης, ώστε το σφάλμα που έγινε να περιοριστεί στο ελάχιστο, είτε να χρησιμοποιηθεί ο «κλασικός» βαρομετρικός τύπος για μια ισοθερμική ατμόσφαιρα.