Νόμος του Torricelli:Κατανόηση της ταχύτητας εκκένωσης υγρού

Ο νόμος του Torricelli (θεώρημα Torricelli) δηλώνει ότι η ταχύτητα εκκένωσης ενός υγρού ισούται με μια ελεύθερη πτώση του υγρού από την επιφάνεια του υγρού στο άνοιγμα της δεξαμενής.

Ταχύτητα εκροής (ταχύτητα εκφόρτισης)

Παραγωγή

Είναι σχετικά εύκολο να προσδιοριστεί η ταχύτητα με την οποία ένα υγρό σε ένα δοχείο ρέει έξω από ένα άνοιγμα λόγω της υδροστατικής πίεσης. Για αυτό θεωρούμε ένα δοχείο γεμάτο με νερό. Κοντά στο κάτω μέρος, υπάρχει ένα στόμιο που δείχνει προς τα πάνω. Το νερό ρέει έτσι προς τα πάνω με μια συγκεκριμένη ταχύτητα, την οποία θα θέλαμε να γνωρίζουμε. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να απαντηθεί το εξής ερώτημα:Με ποια μέγιστη ταχύτητα μπορεί να ρέει καθόλου το νερό, ώστε να μην παραβιάζεται ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας;

Εικόνα:Υπολογισμός της ταχύτητας εκροής ενός υγρού μέσω ενός στομίου (νόμος του Torricelli)

Η απάντηση είναι:Το νερό μπορεί να ρέει τόσο δυνατά που ο πίδακας δεν είναι υψηλότερος από την επιφάνεια του νερού (παραμελώντας την τριβή). Εάν συνέβαινε αυτό, ένα υψηλότερο σκάφος θα μπορούσε να γεμίσει με αυτόν τον πίδακα. Κάποιος θα μπορούσε πλέον να γεμίσει ένα άλλο, ακόμη υψηλότερο σκάφος. Το νερό πρακτικά θα κινούνταν μόνο του προς τα πάνω. Αλλά αυτό θα έρχονταν σε αντίθεση με τον νόμο διατήρησης της ενέργειας . Αντίθετα, η ενέργεια θα καταστρεφόταν εάν το νερό έφτανε μόνο σε χαμηλότερο ύψος από την αρχική επιφάνεια του νερού.

Από ενεργειακή άποψη είναι επομένως σαφές ότι η κινητική ενέργεια ενός σωματιδίου νερού (Wkin=½⋅m⋅vd2) μπορεί να μετατραπεί το πολύ πλήρως σε δυναμική ενέργεια (Wpot=m⋅g⋅h). Το ύψος h αντιστοιχεί στο ύψος της επιφάνειας του νερού πάνω από το άνοιγμα (ή το βάθος του ανοίγματος κάτω από την επιφάνεια του νερού) και το m στη μάζα ενός σωματιδίου νερού. Έτσι, η ταχύτητα ενός ρευστού που ρέει από ένα στόμιο μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
W_{L} &=W_{kin} \\[5 px]
\bcancel{m} \cdot g \cdot h &=\frac{1}{2} \cdot \bcancel{m} \cdot v_d^2 \\[5px]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
\label{tl}
&\boxed{v_d=\sqrt{2gh}} \\[5px]
\end{align}

Σημειώστε ότι αυτός ο τύπος ισχύει μόνο υπό την προϋπόθεση ότι το υγρό μπορεί να ρέει ελεύθερα. Εάν συσσωρευτεί αντίρροπη πίεση κατά τη διάρκεια της εκροής, αυτός ο τύπος δεν είναι πλέον έγκυρος επειδή στη συνέχεια εμποδίζεται η εκροή του υγρού. Αυτό θα συμβεί, για παράδειγμα, εάν το υγρό που εκρέει οδηγηθεί μέσω ενός εύκαμπτου σωλήνα σε ένα κλειστό δοχείο. Καθώς η στάθμη του υγρού στο κλειστό δοχείο ανεβαίνει, ο αέρας μέσα σε αυτό συμπιέζεται και δημιουργείται αντίρροπη πίεση. Η ταχύτητα εκροής (ταχύτητα εκφόρτισης) είναι τότε μικρότερη από αυτή που υποδηλώνει η εξίσωση (\ref{tl}).

Ερμηνεία του τύπου

Όπως φαίνεται από την εξίσωση, η ταχύτητα με την οποία ένα ρευστό ρέει έξω από ένα δοχείο με μια οπή εξαρτάται μόνο από τη διαφορά ύψους μεταξύ του ανοίγματος και της επιφάνειας του υγρού. Δεν έχει επίσης σημασία η ταχύτητα εκφόρτισης (η οποία μετριέται απευθείας στο άνοιγμα) αν το άνοιγμα είναι στραμμένο προς τα πάνω, προς τα κάτω ή προς τα πλάγια.

Η εξίσωση (\ref{tl}) δείχνει επίσης ότι η ταχύτητα εκφόρτισης δεν εξαρτάται από την πυκνότητα του υγρού! Παραμελώντας την τριβή, δεν έχει σημασία ποιο υγρό βρίσκεται στο δοχείο. Αυτό φαίνεται παράδοξο στην αρχή, αφού η υδροστατική πίεση σε ένα πιο πυκνό υγρό είναι επίσης μεγαλύτερη. Ως αποτέλεσμα, θα μπορούσε κανείς να σκεφτεί ότι στη συνέχεια ένα πιο πυκνό υγρό πιέζεται μέσω του ανοίγματος με μεγαλύτερη πίεση και ως εκ τούτου φτάνει σε υψηλότερο ύψος. Το ότι η πίεση είναι μεγαλύτερη είναι απολύτως σωστό, αλλά έτσι ακριβώς φτάνει το «βαρύτερο» υγρό στο ίδιο ύψος!

Αυτή η ερμηνεία καθιστά επίσης σαφές ότι η εξίσωση (\ref{tl}) είναι έγκυρη μόνο εάν ο ρυθμός βύθισης της επιφάνειας του υγρού είναι αμελητέα μικρός σε σύγκριση με την ταχύτητα εκφόρτισης. Διαφορετικά ένα σωματίδιο στην επιφάνεια του νερού δεν θα είχε μόνο ενέργεια θέσης αλλά και κινητική ενέργεια. Αυτό θα πρέπει στη συνέχεια να ληφθεί επίσης υπόψη στην εξίσωση ενέργειας (περισσότερα για αυτό αργότερα).

Θεώρημα Torricelli

Η εξαγωγή της ταχύτητας εκφόρτισης, ωστόσο, επιτρέπει μια άλλη ενδιαφέρουσα ερμηνεία. Για αυτό δεν εξετάζουμε τη διαδικασία εκροής εκτός του σκάφους, αλλά τις διεργασίες μέσα. Το νερό ρέει από την επιφάνεια προς τα κάτω και μετά έξω από το άνοιγμα. Θεωρούμε λοιπόν μια μικρή ποσότητα υγρού μάζας m στο ύψος h πάνω από το άνοιγμα (επίπεδο αναφοράς). Σε αυτή τη μάζα μπορεί επομένως να αποδοθεί η ενέργεια θέσης Wpot=m⋅g⋅h. Στο δρόμο προς το άνοιγμα, αυτή η ενέργεια θέσης μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Στο άνοιγμα, η κινητική ενέργεια μετατρέπεται πλήρως σε κινητική ενέργεια Wkin=½⋅m⋅vd2. Η εξίσωση των ενεργειών δίνει το ίδιο αποτέλεσμα με την εξίσωση (\ref{tl}).

Εικόνα:Υπολογισμός της ταχύτητας εκροής ενός υγρού μέσω ενός στομίου (νόμος του Torricelli)

Στην παρούσα προσέγγιση, προφανώς θεωρείται ότι μια μάζα νερού που εξετάζεται στην επιφάνεια εκτελεί ελεύθερη πτώση στο άνοιγμα. Ακόμα κι αν τα σωματίδια του νερού στην πραγματικότητα δεν πέφτουν ελεύθερη, αυτό εξακολουθεί να είναι το ίδιο από ενεργειακή άποψη. Επειδή με κάθε εκροή συγκεκριμένης μάζας από το άνοιγμα, το νερό πρέπει να βυθίζεται στον ίδιο βαθμό, δηλαδή να πέφτει κάτω.

Μια τέτοια συνεχής διαδικασία μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως μια ασυνεχής διαδικασία. Φανταστείτε να κλείσετε το άνοιγμα με ένα δάχτυλο. Για μικρό χρονικό διάστημα ανοίγει η έξοδος, ώστε ξαφνικά να τρέξει αμέσως μια μικρή ποσότητα νερού. Αυτό προκαλεί απότομη πτώση της στάθμης του νερού. Πέφτει κάτω για μικρή απόσταση σε ελεύθερη πτώση. Επομένως, μπορεί κανείς να φανταστεί τη βύθιση της επιφάνειας του υγρού όταν το νερό ρέει έξω από το άνοιγμα καθώς πολλές μικρές ελεύθερες πτώσεις.

Η φανταστική ελεύθερη πτώση μιας ποσότητας υγρού καθώς ρέει έξω από ένα στόμιο ονομάζεται επίσης νόμος του Torricelli από το θεώρημα του Torricelli .

Σκάφη επικοινωνίας

Η εξίσωση (\ref{tl}) μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει γιατί προκύπτει μια κοινή στάθμη υγρού όταν συνδέονται δοχεία με διαφορετική πλήρωση μεταξύ τους. Αυτό είναι επίσης γνωστό ως η αρχή των αγγείων επικοινωνίας .

Εικόνα:Εξισορρόπηση στην ίδια στάθμη του νερού (σκάφη επικοινωνίας)

Το δοχείο με τη χαμηλότερη στάθμη υγρού μπορεί να θεωρηθεί ως το άνοιγμα του άλλου δοχείου. Το νερό ρέει έξω από αυτό το άνοιγμα με την ταχύτητα v σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{tl}). Όσο λοιπόν υπάρχει διαφορά ύψους στη στάθμη του νερού, το νερό ρέει προς τα πάνω. Μόνο όταν δεν υπάρχει άλλη διαφορά στη στάθμη του νερού, το νερό σταματά να ρέει έξω, επειδή η ταχύτητα εκκένωσης είναι τότε μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, έχουν επιτευχθεί τα ίδια επίπεδα νερού.

Χρόνος αποστράγγισης (χρόνος εκφόρτισης)

Όταν ένα υγρό αποστραγγίζεται από μια δεξαμενή, τίθεται συχνά το ερώτημα πόσος χρόνος θα χρειαστεί για να αδειάσει τελείως η δεξαμενή. Μια τέτοια περίπτωση θα μπορούσε να είναι, για παράδειγμα, όταν αδειάσει μια μπανιέρα γεμάτη νερό. Στη συνέχεια, θα θέλαμε επομένως να καθορίσουμε τέτοιους χρόνους εκφόρτισης για απλά γεωμετρικά δοχεία. Για απλοποίηση, υποθέτουμε ότι το ύψος του ανοίγματος εξόδου (διάμετρος στομίου) είναι μικρό σε σύγκριση με το επίπεδο πλήρωσης της δεξαμενής.

Το πόσο γρήγορα στραγγίζεται ένα δοχείο εξαρτάται, μεταξύ άλλων, από το πόσο γρήγορα ρέει το υγρό. Εξάλλου, μια υψηλή ταχύτητα εκροής σημαίνει μεγάλη εκροή μάζας ανά χρόνο. Σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{tl}), η ταχύτητα εκροής εξαρτάται από την κεφαλή h (βάθος ροής). Στην αρχή, όταν η στάθμη του υγρού είναι υψηλή, πολύ υγρό ρέει έξω από τη δεξαμενή ανά μονάδα χρόνου. Έτσι, το επίπεδο πέφτει σχετικά γρήγορα στην αρχή. Καθώς η στάθμη πέφτει, ωστόσο, η ταχύτητα εκφόρτισης μειώνεται όλο και περισσότερο και η δεξαμενή αποστραγγίζεται πιο αργά.

Σημασία για την καθημερινή ζωή και την τεχνολογία

Ένα σημαντικό συμπέρασμα μπορεί ήδη να εξαχθεί σε αυτό το σημείο. Όσο υψηλότερη είναι η στάθμη του υγρού, τόσο πιο γρήγορα μπορεί να αδειάσει μια δεξαμενή. Αυτός είναι και ο λόγος που μια μπανιέρα στραγγίζει πιο γρήγορα αν ξαπλώσετε μέσα της. Επειδή με αυτόν τον τρόπο κάποιος εκτοπίζει το περιβάλλον νερό και το επίπεδο πλήρωσης είναι μεγαλύτερο σε υψηλότερο επίπεδο από ό,τι αν βγει από την μπανιέρα.

Εικόνα:Στάθμη νερού σε μπανιέρα με και χωρίς άτομο μέσα Κινούμενα σχέδια:Στάθμη νερού σε μπανιέρα με και χωρίς άτομο μέσα

Σε τεχνικούς όρους, αυτό σημαίνει ότι οι δεξαμενές που πρέπει να αποστραγγίζονται πολύ γρήγορα πρέπει να κατασκευάζονται σε ύψος και όχι σε πλάτος. Μια απλή εναλλακτική λύση είναι απλώς να τοποθετήσετε την έξοδο όσο πιο χαμηλά γίνεται με έναν εύκαμπτο σωλήνα. Όσο πιο βαθιά είναι τοποθετημένος ο εύκαμπτος σωλήνας, τόσο πιο γρήγορα ρέει το νερό και τόσο μικρότερος είναι ο χρόνος εκφόρτισης.

Εξίσωση συνέχειας (διατήρηση μάζας)

Ο προσδιορισμός του χρόνου εκφόρτισης γενικά δεν είναι τόσο εύκολος, καθώς αυτό εξαρτάται και από το σχήμα της δεξαμενής. Στην τεχνική πρακτική, ωστόσο, χρησιμοποιούνται κυρίως σκάφη με σταθερή διατομή. Αυτό σημαίνει ότι η επιφάνεια του υγρού παραμένει σταθερή ακόμα και όταν πέφτει η στάθμη του υγρού. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, βαρέλια βροχής ή δεξαμενές ποτών στη βιομηχανία τροφίμων. Ακόμη και στην περίπτωση της μπανιέρας, η επιφάνεια του νερού δεν αλλάζει σχεδόν καθόλου στο ύψος (εκτός από το τέλος, όταν το νερό έχει σχεδόν αποστραγγιστεί εντελώς).

Στη συνέχεια λοιπόν θεωρούμε μια δεξαμενή της οποίας το εμβαδόν διατομής Α παραμένει πάντα σταθερό. Στο κάτω μέρος του δοχείου το υγρό ρέει έξω μέσω μιας οπής με την περιοχή διατομής Ad. Πρώτα απ 'όλα πρέπει να βρούμε μια σύνδεση μεταξύ της ταχύτητας εκφόρτισης του υγρού από τη δεξαμενή και την ταχύτητα καθόδου της επιφάνειας του υγρού στη δεξαμενή. Αυτό γίνεται με την απλή συνθήκη ότι η μάζα που ρέει έξω από την τρύπα αντιστοιχεί ακριβώς στη μάζα κατά την οποία μειώνεται το υγρό μέσα στη δεξαμενή (διατήρηση μάζας ). Για ασυμπίεστα υγρά , αυτό σημαίνει ότι ο όγκος του υγρού μέσα στη δεξαμενή μειώνεται ακριβώς κατά την ποσότητα του όγκου που εκκενώνεται.

Σχήμα:Εξίσωση συνέχειας (διατήρηση μάζας)

Για αυτό θεωρούμε μια πολύ μικρή χρονική περίοδο ⋅Δt σε μια αυθαίρετη κεφαλή h. Το υγρό θα στραγγιζόταν μέσω του ανοίγματος με σταθερή ταχύτητα vd και έτσι θα κάλυπτε την απόσταση Δs=vd⋅Δt. Η διατομή της οπής Ad μπορεί τώρα να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του όγκου του εκφορτισμένου υγρού ΔV:

\αρχή{στοίχιση}
\label{v1}
&\Delta V =\Delta s \cdot A_d =v_d \cdot \Delta t \cdot A_d \\[5px]
\end{align}

Το υγρό εκκένωσης προκαλεί πτώση της στάθμης του υγρού μέσα στη δεξαμενή. Εντός της εξεταζόμενης χρονικής περιόδου Δt), η ταχύτητα καθόδου θεωρείται σταθερή και συμβολίζεται με v. Έτσι η στάθμη του υγρού πέφτει εντός αυτού του χρόνου κατά την απόσταση Δh=v⋅Δt. Έτσι, ο όγκος του υγρού στη δεξαμενή μειώνεται κατά μια ποσότητα ΔV ανάλογη με την παραπάνω εξίσωση:

\αρχή{στοίχιση}
\label{v2}
&\Delta V =\Delta h \cdot A =v \cdot \Delta t \cdot A \\[5px]
\end{align}

Λόγω της ήδη αναφερθείσας διατήρησης μάζας , ο όγκος εκκένωσης σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{v1}) αντιστοιχεί στον όγκο του υγρού που αφαιρέθηκε από το δοχείο σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{v2}). Και οι δύο εξισώσεις μπορούν επομένως να εξισωθούν και μια σχέση μεταξύ της ταχύτητας εκφόρτισης vd και την ταχύτητα καθόδου λαμβάνεται v:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&v \cdot \bcancel{\Delta t} \cdot A =v_d \cdot \bcancel{\Delta t} \cdot A_d \\[5px]
\label{k}
&\boxed{v =\frac{A_d}{A} \cdot v_d} ~~~~~\text{εξίσωση συνέχειας για ασυμπίεστες ουσίες} \\[5 px]
\end{align}

Η εξίσωση (\ref{k}) ονομάζεται επίσης εξίσωση συνέχειας και τελικά περιγράφει τη διατήρηση της μάζας. Συγκεκριμένα, αυτό σημαίνει ότι όσο μικρότερη είναι η διατομή, τόσο πιο γρήγορα πρέπει να ρέει ένα υγρό, αφού η ίδια μάζα πρέπει να μετακινηθεί μέσα από αυτό μέσα στον ίδιο χρόνο. Από αυτή την άποψη, η δεξαμενή μπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύστημα σωλήνων του οποίου η διατομή λεπταίνει από το Α στο Ad.

Σε αυτό το σημείο, καθίσταται σαφές γιατί η υπόθεση μιας σταθερής διατομής δοχείου A πάνω από το ύψος απλοποιεί πολύ στα ακόλουθα. Αυτό συμβαίνει επειδή η ταχύτητα καθόδου και η ταχύτητα εκφόρτισης είναι πάντα στην ίδια αναλογία, ανεξάρτητα από το επίπεδο πλήρωσης.

Νόμος του Τοριτσέλι

Μόλις διευκρινιστεί η σχέση μεταξύ της ταχύτητας καθόδου και της ταχύτητας εκφόρτισης, πρέπει να βρεθεί η εξάρτηση της ταχύτητας εκφόρτισης από την κεφαλή. Το θεώρημα του Torricelli βοηθά με τη μορφή μιας εξίσωσης (\ref{tl}), η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί απευθείας στην εξίσωση (\ref{k}):

\αρχή{στοίχιση}
\label{vv}
&\boxed {v =\frac{A_d}{A} \cdot \sqrt{2gh}} ~~~\text{ταχύτητα καθόδου} \\[5 px]
\end{align}

Σε αυτό το σημείο μπορούμε να δούμε σε μαθηματική μορφή αυτό που έχει ήδη εξηγηθεί. Η ταχύτητα καθόδου εξαρτάται από τη στάθμη του υγρού, η οποία με τη σειρά της επηρεάζει την ίδια τη στάθμη και έτσι επηρεάζει ξανά την ταχύτητα καθόδου. Ωστόσο, η ταχύτητα καθόδου δεν είναι τίποτα άλλο παρά ο ρυθμός μεταβολής της στάθμης του υγρού. Δηλ. η ταχύτητα καθόδου αντιστοιχεί στη μεταβολή της στάθμης dh ανά χρόνο dt. Το αρνητικό πρόσημο υποδεικνύει ότι το επίπεδο μειώνεται με μια θετική ταχύτητα καθόδου.

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed {v =– \frac{\text{d}h}{\text{d}t}} \\[5px]
\end{align}

Αν κάποιος συνδυάσει και τις δύο εξισώσεις, λαμβάνει τελικά την ακόλουθη διαφορική εξίσωση , που πρέπει να λυθεί:

\αρχή{στοίχιση}
&-{\frac{\text{d}h}{\text{d}t} =\frac{A_d}{A} \cdot \sqrt{2gh}} \\[5px]
\end{align}

Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης

Για να γίνουν οι υπολογισμοί πιο σαφείς, τα σταθερά μεγέθη στη διαφορική εξίσωση συνδυάζονται με τη σταθερά C):

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{-\frac{\text{d}h}{\text{d}t} =C \cdot \sqrt{h}} ~~~\text{and } \boxed{C=\sqrt{2g} \cdot \frac{A_d}{A}}=\text{konstant} \\[5 px]
\end{align}

Για να λύσετε αυτή τη διαφορική εξίσωση, διαχωρίστε τις μεταβλητές h και t. Δηλ. Όλες οι μεταβλητές που εξαρτώνται από τη μεταβλητή h βρίσκονται στη μία πλευρά της εξίσωσης και όλες οι μεταβλητές που εξαρτώνται από τη μεταβλητή t βρίσκονται στην άλλη πλευρά της εξίσωσης. Δεν έχει σημασία σε ποια πλευρά βρίσκεται η σταθερά C, γιατί δεν εξαρτάται από καμία από τις δύο μεταβλητές.

\αρχή{στοίχιση}
&-\frac{\text{d}h}{ \sqrt{h}} =C \cdot \text{d}t \\[5px]
\end{align}

Και οι δύο πλευρές της εξίσωσης μπορούν τώρα να ενσωματωθούν ανεξάρτητα. Τα όρια ολοκλήρωσης προκύπτουν από την ακόλουθη θεώρηση. Τη χρονική στιγμή 0 η κεφαλή είναι H και οποιαδήποτε άλλη στιγμή t η κεφαλή είναι h.

\αρχή{στοίχιση}
&-\int\limits_H^h \frac{\text{d}h}{ \sqrt{h}} =\int\limits_0^t C \cdot \text{d}t \\[5px]
&-\left[2\sqrt{h}\right]_H^h =C \cdot \left[ t \right]_0^t \\[5px]
&-2\left(\sqrt{h}-\sqrt{H}\right) =C \cdot t \\[5px]
&t =\frac{2}{C} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)\\[5px]
\end{align}

Για λόγους πληρότητας, η σταθερά C εφαρμόζεται στην παραπάνω εξίσωση. Ο χρόνος t που απαιτείται για την αποστράγγιση ενός δοχείου από το επίπεδο H στο επίπεδο h μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή{στοίχιση}
&t =\frac{2}{ \underbrace{\sqrt{2g} \cdot \tfrac{A_d}{A}}_{=C} } \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)\\[5px]
\label{gl}
&\boxed{t =\frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)} \\[5px]
\end{align}

Για πλήρες άδειασμα της δεξαμενής h ισούται με 0 και χρόνος εκφόρτισης Το t μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή{στοίχιση}
&t_d =\frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \sqrt{H}\\[5 px]
&\boxed{t_d =\frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2H}{g}}} ~~~\text{time discharge} \\[5px]
\end{align}

Σημείωση

Εξηγήθηκε στην αρχή ότι μια υψηλή δεξαμενή με τον ίδιο όγκο πλήρωσης αποστραγγίζεται πιο γρήγορα από μια ευρύτερη. Ο τύπος για τον υπολογισμό του χρόνου εκφόρτισης φαίνεται να είναι αντιφατικός. Σύμφωνα με αυτή την εξίσωση, ο χρόνος εκφόρτισης αυξάνεται όταν η στάθμη του υγρού είναι υψηλότερη.

Φυσικά, αυτό δεν αποτελεί αντίφαση από άποψη, γιατί με τον ίδιο όγκο πλήρωσης, το εμβαδόν διατομής του δοχείου μειώνεται στον ίδιο βαθμό που αυξάνεται το επίπεδο πλήρωσης. Εάν, για παράδειγμα, το εμβαδόν της διατομής μειωθεί στο μισό, η κεφαλή διπλασιάζεται. Ωστόσο, για τον υπολογισμό του χρόνου εκφόρτισης, η κεφαλή λαμβάνεται υπόψη από την τετραγωνική της ρίζα. Εάν η κεφαλή διπλασιαστεί, αυτό θα αντιστοιχεί σε συντελεστή 1,4 (=√2). Μειώνοντας στο μισό το εμβαδόν της διατομής, αυτό μειώνει τον χρόνο εκφόρτισης κατά 0,7 (=√2⋅ 0,5).

Μείωση της στάθμης του υγρού με την πάροδο του χρόνου

Αν κάποιος θέλει να υπολογίσει τη μείωση της στάθμης του υγρού ως συνάρτηση του χρόνου, η εξίσωση (\ref{gl}) πρέπει να αναδιαταχθεί για τη στάθμη υγρού h:

\αρχή{στοίχιση}
t &=\frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right) \\[5px]
\frac{A_d}{A} \sqrt{\frac{g}{2}} \cdot t &=\sqrt{H}-\sqrt{h} \\[5px]
\sqrt{h} &=\sqrt{H} – \frac{A_d}{A} \sqrt{\frac{g}{2}} \cdot t \\[5px]
h &=\left(\sqrt{H} – \frac{A_d}{A} \sqrt{\frac{g}{2}} \cdot t \right)^2 \\[5px]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{h(t) =\left(\sqrt{H} – \frac{A_d}{A} \sqrt{\frac{g}{2}} \cdot t \right)^2} \\[5px]
\end{align}

Το επίπεδο έτσι μειώνεται τετραγωνικά με την πάροδο του χρόνου. Η κορυφή της παραβολής αντιστοιχεί στον χρόνο κατά τον οποίο το δοχείο αποφορτίζεται πλήρως.

Εικόνα:Μείωση του επιπέδου πλήρωσης με την πάροδο του χρόνου

Ογκομετρικός ρυθμός ροής εκφόρτισης (ρυθμός εκροής)

Σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{vv}) η ταχύτητα εκφόρτισης v μπορεί να υπολογιστεί για κάθε κεφαλή h. Επομένως, είναι επίσης δυνατός ο υπολογισμός του ογκομετρικού ρυθμού ροής εκφόρτισης V* (αναφέρεται επίσης ως ρυθμός εκροής ή απλώς ποσοστό εκφόρτισης ) του ρευστού που ρέει μέσω της εξόδου. Ο ογκομετρικός ρυθμός ροής είναι ο όγκος του υγρού ΔV ανά φορά Δt που εξέρχεται από τη δεξαμενή:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\dot V =\frac{\Delta V}{\Delta t}} ~~~\left[\dot V \right] =\frac{\text{m³}}{\text{s}}~~~\text{ογκομετρικός ρυθμός ροής εκφόρτισης} \\[5px]
\end{align}

Ο ρυθμός εκφόρτισης V* μπορεί να προσδιοριστεί σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό αναδιατάσσοντας την εξίσωση (\ref{v1}):

\αρχή{στοίχιση}
&\Delta V =A_d \cdot v_d \cdot \Delta t \\[5px]
\label{vd}
&\frac{ \Delta V }{\Delta t} =\boxed{\dot V =A_d \cdot v_d} \\[5px]
\end{align}

Τέλος, η ταχύτητα εκφόρτισης λόγω της εξίσωσης (\ref{tl}) μπορεί τώρα να χρησιμοποιηθεί στην εξίσωση (\ref{vd}) για τον υπολογισμό του ρυθμού εκφόρτισης ως συνάρτηση της κεφαλής:

\αρχή{στοίχιση}
\label{dV}
&\boxed{\dot V =A_d \cdot \sqrt{2gh} } \\[5px]
\end{align}

Επίδραση της ταχύτητας καθόδου στην ταχύτητα εκφόρτισης

Έχει ήδη ειπωθεί ότι οι παραγόμενοι τύποι ισχύουν μόνο εφόσον η ταχύτητα καθόδου είναι αμελητέα μικρή σε σύγκριση με την ταχύτητα εκφόρτισης. Ειδικά με μεγάλα ανοίγματα όμως μπορεί να ρέει πολύ υγρό. Στη συνέχεια, το επίπεδο πέφτει σχετικά γρήγορα. Σύμφωνα με το θεώρημα του Torricelli, αυτή δεν είναι πλέον μια απλή ελεύθερη πτώση, αλλά μια ελεύθερη πτώση με αρχική ταχύτητα. Η αρχική ταχύτητα αντιστοιχεί στην ταχύτητα καθόδου της στάθμης του υγρού την τρέχουσα στιγμή.

Εικόνα:Επίδραση του ρυθμού μείωσης στην ταχύτητα εκροής

Από ενεργειακή άποψη, μια θεωρούμενη ποσότητα υγρού στην επιφάνεια έχει επομένως όχι μόνο ενέργεια θέσης (m⋅g⋅h) αλλά και κινητική ενέργεια (½⋅m⋅v2). Σε αυτή τη γενική περίπτωση προκύπτει ο ακόλουθος τύπος για την ταχύτητα εκφόρτισης vd:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&\bcancel{m} \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot \bcancel{m} \cdot v^2 =\frac{1}{2} \cdot \bcancel{m} \cdot v_d^2 \\[5px]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{v_d=\sqrt{v^2+2gh}} \\[5px]
\end{align}

Η ταχύτητα εκφόρτισης είναι μεγαλύτερη όταν η επιφάνεια του υγρού βυθίζεται γρήγορα. Το υγρό που εκρέει αντλεί πρόσθετη κινητική ενέργεια από την πτώση της στάθμης του υγρού, ούτως ή άλλως. Φυσικά, η εξίσωση συνέχειας σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{k}) εξακολουθεί να ισχύει. Έτσι, η ταχύτητα καθόδου v και η ταχύτητα εκφόρτισης vd σχετίζονται τώρα με τον ακόλουθο τρόπο:

\αρχή{στοίχιση}
&v =\frac{A_d}{A} \cdot v_d \\[5px]
&v =\frac{A_d}{A} \cdot \sqrt{v^2+2gh} \\[5px]
\end{align}

Επίλυση αυτής της εξίσωσης για την ταχύτητα καθόδου v:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{v =\color{red}{\tfrac{1}{\sqrt{ 1- \left(\tfrac{A_d}{A}\right)^2 }}} \cdot \frac{A_d}{A} \cdot \sqrt{2gh} } \\[5px]
\end{align}

Αν κάποιος συγκρίνει αυτόν τον τύπο με τον τύπο (\ref{vv}) (ο οποίος προέκυψε παραβλέποντας την ταχύτητα καθόδου), οι δύο τύποι διαφέρουν μόνο από τον όρο που σημειώνεται με κόκκινο. Αυτός ο γεωμετρικός όρος καθορίζεται τελικά μόνο από την αναλογία των επιφανειών διατομής του ανοίγματος και της δεξαμενής. Το παρακάτω σχήμα δείχνει την πορεία αυτού του όρου ως συνάρτηση του λόγου. Εάν η διατομή του ανοίγματος είναι μικρότερη από το 10 % της διατομής του δοχείου, τότε αυτός ο συντελεστής είναι μόνο 1,005. Η επίδραση της ταχύτητας καθόδου παραμένει αμελητέα κάτω από μια αναλογία διατομής 0,1! Αυτό θα πρέπει να ισχύει για πολλές περιπτώσεις.

Εικόνα:Επίδραση του λόγου των επιφανειών διατομής στη διαδικασία εκφόρτισης

Σε περιπτώσεις που αυτό δεν ισχύει, αυτός ο παράγοντας πρέπει να λαμβάνεται υπόψη. Αντίστοιχα, αυτό έχει επίδραση στην ταχύτητα εκφόρτισης vd, στον χρόνο εκφόρτισης t και στον ρυθμό ροής εκφόρτισης V* (ο πρόσθετος όρος σημειώνεται με κόκκινο σε σύγκριση με την παράβλεψη του ρυθμού βύθισης):

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{v_d =\color{red}{\tfrac{1}{\sqrt{1-\left(\tfrac{A_d}{A}\right)^2}}} \cdot \sqrt{2gh} } \\[5px]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\dot V =\color{red}{\tfrac{1}{\sqrt{1-\left(\tfrac{A_d}{A}\right)^2}}} \cdot A_d \cdot \sqrt{2gh} } \\[5px]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{t =\color{red}{\sqrt{1-\left(\tfrac{A_d}{A}\right)^2}} \cdot \frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)} \\[5
\end{align}

Αποφόρτιση από μεγάλα ανοίγματα

Μέχρι στιγμής εικαζόταν ότι η διάσταση του ανοίγματος ήταν μικρή σε σύγκριση με το κεφάλι. Αυτή η υπόθεση είναι ιδιαίτερα πλεονεκτική για πλάγιες εκκενώσεις. Αυτό δίνει μια (σχεδόν) σταθερή πίεση σε όλο το άνοιγμα και επομένως μια σχεδόν σταθερή ταχύτητα εκφόρτισης. Εάν, από την άλλη πλευρά, το άνοιγμα είναι σχετικά υψηλό, η υδροστατική πίεση στο άνω άκρο είναι χαμηλότερη από ό,τι στο κάτω άκρο. Κατά συνέπεια, οι ταχύτητες εκφόρτισης διαφέρουν επίσης κατά μήκος του ανοίγματος.

Εικόνα:Παραγωγή του ρυθμού εκφόρτισης για μεγάλα ανοίγματα

Για λόγους απλότητας, εξετάζεται μια ορθογώνια διατομή εκκένωσης στο πλάι μιας δεξαμενής (βλ. παραπάνω σχήμα). Φανταστείτε το άνοιγμα να αποτελείται από πολλές μικρές «κουλοχέρηδες». Το εμβαδόν διατομής dAd μιας τέτοιας σχισμής προκύπτει από το γινόμενο του πλάτους της σχισμής b και του ύψους της σχισμής dh. Σε κάθε σχισμή στο βάθος h μπορεί να υπολογιστεί ο αντίστοιχος ογκομετρικός ρυθμός ροής dV* σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{dV}):

\αρχή{στοίχιση}
&\text{d} \dot V =\text{d}A_d \cdot \sqrt{2gh} =b \cdot \text{d} h \cdot \sqrt{2gh} \\[5px]
&\text{d} \dot V =b \cdot \sqrt{2gh} \cdot \text{d}h \\[5px]
\end{align}

Σύμφωνα με το καθορισμένο σύστημα συντεταγμένων, αυτή η εξίσωση πρέπει να ενσωματωθεί εντός των ορίων hu (άνω άκρη ανοίγματος) και hl (κάτω άκρο ανοίγματος) και έτσι παρέχει τη συνολική ταχύτητα εκφόρτισης V* σε ολόκληρο το άνοιγμα:

\αρχή{στοίχιση}
\dot V &=\int\limits_{h_u}^{h_l} b \cdot \sqrt{2gh} \cdot \text{d}h \\[5px]
&=\sqrt{2g} \cdot b \int\limits_{h_u}^{h_l} \sqrt{h} \cdot \text{d}h \\[5px]
&=\sqrt{2g} \cdot b \int\limits_{h_u}^{h_l} h^{\frac{1}{2}} \cdot \text{d}h \\[5px]
&=\tfrac{2}{3} \sqrt{2g} \cdot b \cdot |h^{\frac{3}{2}}| _{h_u}^{h_l} \\[5 px]
&=\tfrac{2}{3} \sqrt{2g} \cdot b \cdot \left(h_u^{\frac{3}{2}} – h_l^{\frac{3}{2}} \right) \\[5px]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\dot V =\tfrac{2}{3} \sqrt{2g} \cdot b \cdot \left(\sqrt{h_l^3} – \sqrt{h_u^3} \right)} \\[5px]
\end{align}

Σημειώστε ότι τα υποδεικνυόμενα βάθη hu και hl δεν αναφέρονται στον πυθμένα της δεξαμενής, αλλά στην επιφάνεια του υγρού!

Πραγματικές διαδικασίες εκφόρτισης

Συντελεστής εκφόρτισης

Αν συγκρίνει κανείς τις θεωρητικές προβλέψεις για τη διαδικασία εκφόρτισης μιας δεξαμενής με μια πραγματική μέτρηση, μπορούν να βρεθούν πολύ μεγάλες διαφορές σε ορισμένες περιπτώσεις. Στην πραγματικότητα, η δεξαμενή συνήθως στραγγίζει πολύ πιο αργά.

Εικόνα:Σύγκριση της θεωρητικής πρόβλεψης με μια πραγματική μέτρηση

Ο ρυθμός εξερχόμενης ροής σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{dV}) είναι επομένως χαμηλότερος στην πράξη. Η μείωση του ιδανικού ρυθμού εκφόρτισης μπορεί να εξεταστεί με τον λεγόμενο συντελεστή εκφόρτισης Cd<1:

\αρχή{στοίχιση}
&\dot V_{\text{real}} =C_d \cdot V_{\text{ideal}} \\[5px]
\label{t}
&\boxed{\dot V_\text{real} =C_d \cdot A_d \sqrt{2gh} ~} ~~~\text{και } C_d <1 ~~~\text{coefficient of discharge}\\[5px]
\end{align}

Ο συντελεστής εκφόρτισης δείχνει τον παράγοντα με τον οποίο μειώνεται ο πραγματικός ρυθμός εκφόρτισης σε σύγκριση με τον ιδανικό ρυθμό! Δύο φαινόμενα έχουν σημαντική επίδραση στον συντελεστή εκφόρτισης και θα συζητηθούν λεπτομερέστερα παρακάτω.

Ιξώδες (εσωτερική τριβή)

Κατά την αποστράγγιση μέσω ενός στομίου, εμφανίζονται ρεύματα μέσα στο υγρό. Αυτό σημαίνει ότι τα στρώματα υγρού κινούνται πιο γρήγορα από άλλα. Αυτό συμβαίνει ιδιαίτερα στην περιοχή της εκκένωσης, όπου το υγρό που ρέει προς το στόμιο ψαλιδίζεται στα γύρω στρώματα. Η τριβή των υγρών στρωμάτων οφείλεται στις δυνάμεις σύνδεσης μεταξύ των μορίων εντός των στρωμάτων. Αυτές είναι είτε δυνάμεις Van-der-Waals (αλληλεπιδράσεις διπόλου-διπόλου ) ή δεσμούς υδρογόνου .

Κινούμενα σχέδια:Υγρό με υψηλό ιξώδες (αριστερά) και χαμηλό ιξώδες (δεξιά)

Για να μετατοπίσει κανείς ένα στρώμα υγρού ενάντια σε ένα άλλο, πρέπει να ξεπεράσει αυτές τις δυνάμεις δέσμευσης. Επομένως, τα υγρά στρώματα εμποδίζονται να αποκοπούν το ένα από το άλλο από αυτές τις δυνάμεις δέσμευσης, ανάλογες με τις δυνάμεις τριβής στη μηχανική. Γι' αυτό και στην περίπτωση των υγρών μιλάμε για εσωτερική τριβή . Όσο ισχυρότερες είναι οι δυνάμεις σύνδεσης, τόσο μεγαλύτερη είναι η εσωτερική τριβή όταν μετατοπίζονται τα υγρά στρώματα. Το μέγεθος της εσωτερικής τριβής περιγράφεται από το ιξώδες του υγρού.

Συντελεστής ταχύτητας

Το ιξώδες είναι ο λόγος για τον οποίο στην πραγματικότητα ένα υγρό ρέει μέσω μιας εξόδου με χαμηλότερη ταχύτητα από την θεωρητικά αναμενόμενη. Η μείωση της ταχύτητας εκφόρτισης μπορεί να θεωρηθεί με τον λεγόμενο συντελεστή ταχύτητας Cv<1 στην εξίσωση (\ref{tl}):

\αρχή{στοίχιση}
&v_\text{d,real} =C_v \cdot v_\text{d,ideal} \\[5px]
\label{vvv}
&\boxed {v_\text{d,real} =C_v \cdot \sqrt{2gh}} ~~\text{και } C_v<1 ~\text{συντελεστής ταχύτητας} \\[5px]
\end{align}

Πειραματικός προσδιορισμός του συντελεστή ταχύτητας

Για οριζόντιες εκκενώσεις, ο συντελεστής ταχύτητας μπορεί να προσδιοριστεί από την τροχιά του πίδακα. Παραβλέποντας την τριβή του αέρα, ο πίδακας διατηρεί μια σταθερή ταχύτητα (εκφόρτισης) vd, πραγματική στην οριζόντια κατεύθυνση. Έτσι ο πίδακας καλύπτει την ακόλουθη απόσταση x μέσα σε ένα χρόνο t:

\αρχή{στοίχιση}
&x =v_{\text{d,real}} \cdot t \\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Πειραματικός προσδιορισμός του συντελεστή ταχύτητας

Μέσα στο χρόνο t η βαρύτητα προκαλεί μια επιταχυνόμενη προς τα κάτω κίνηση του πίδακα (ελεύθερη πτώση). Για την απόσταση πτώσης y σε κατακόρυφη κατεύθυνση, ισχύει ο παρακάτω τύπος. Αυτή η εξίσωση λύνεται στη συνέχεια για το χρόνο t και χρησιμοποιείται στην παραπάνω εξίσωση και λύνεται σε σχέση με την ταχύτητα εκφόρτισης vd,real.

\αρχή{στοίχιση}
&y =\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 ~~~~\Δεξί βέλος ~~~~t =\sqrt{\frac{2y}{g}} \\[5px]
&x =v_{\text{d,real}} \cdot t =v_{\text{d,real}} \cdot \sqrt{\frac{2y}{g}} \\[5px]
&\underline{v_{\text{d,real}} =x \cdot \sqrt{\frac{g}{2y}}} \\[5px]
\end{align}

Αυτή η εξίσωση πρέπει τώρα να εξισωθεί με την εξίσωση (\ref{vvv}) και να λυθεί σε σχέση με τον συντελεστή ταχύτητας Cv:

\αρχή{στοίχιση}
&C_v \cdot \sqrt{2gh} =x \cdot \sqrt{\frac{g}{2y}} \\[5px]
&\boxed{ C_v =\frac{x}{2 \sqrt{hy}}} \\[5px]
\end{align}

Για τον πειραματικό προσδιορισμό των συντελεστών ταχύτητας πρέπει να προσδιοριστεί μόνο ένα σημείο της τροχιάς (που περιγράφεται με x και y). Δοκιμές σε τέτοιες τροχιές δείχνουν ότι για υγρά χαμηλού ιξώδους όπως το νερό, οι συντελεστές ταχύτητας είναι περίπου 0,95 και υψηλότεροι.

Οι μικρές μειώσεις στην ταχύτητα εκφόρτισης δεν μπορούν επομένως να ευθύνονται αποκλειστικά για τις σχετικά μεγάλες αποκλίσεις μεταξύ του θεωρητικού ρυθμού εκφόρτισης και του παρατηρούμενου ρυθμού. Ένα πολύ μεγαλύτερο φαινόμενο πρέπει να επηρεάσει αυτό, το οποίο θα συζητήσουμε λεπτομερέστερα στην επόμενη ενότητα.

Συστολή γραμμών εξορθολογισμού

Βελτιωμένες γραμμές

Η πρακτική δείχνει ότι η θέση και το σχήμα της εκκένωσης είναι καθοριστικές για τις αποκλίσεις στον ογκομετρικό ρυθμό ροής. Η επίδραση είναι ιδιαίτερα εμφανής στις μεταβάσεις με αιχμηρές άκρες μεταξύ της δεξαμενής και του ανοίγματος εξόδου. Μια απλή τρύπα σε μια δεξαμενή είναι μια τόσο αιχμηρή άκρη. Το παρακάτω σχήμα δείχνει μια δεξαμενή στην οποία η εκκένωση πραγματοποιείται μέσω μιας στρογγυλής οπής στο κάτω μέρος. Οι διαδρομές ροής γίνονται ορατές από τις λεγόμενες εξορθολογιστικές γραμμές (λευκές γραμμές στο παρακάτω σχήμα). Τέτοιες γραμμές ροής είναι μονοπάτια στα οποία θα έρεαν σωματίδια χωρίς μάζα εάν τοποθετούνταν στο ρευστό.

Οι γραμμές ροής είναι τροχιές που θα ακολουθούσαν τα σωματίδια χωρίς μάζα όταν ρέουν με το ρευστό!

Εικόνα:Vena contracta (στένωση των απλών γραμμών)

Οι εξορθολογισμοί που έγιναν ορατές παρέχουν επίσης την απάντηση στο ερώτημα γιατί παρατηρείται στην πράξη χαμηλότερος ρυθμός εκφόρτισης από ό,τι προβλέπει το μέχρι στιγμής μοντέλο. Στην πράξη, το υγρό που εκρέει δεν εξέρχεται εντελώς κάθετα διαμέσου της διατομής, αλλά το άνοιγμα ρέει κυρίως από το πλάι. Από φυσική άποψη, οι διαδρομές ροής (ροές) δεν μπορούν να κάμπτονται σε ορθή γωνία. Για να γίνει αυτό, το ρευστό θα πρέπει να είναι χωρίς μάζα για να μπορεί να ακολουθεί τις δυνάμεις χωρίς αδράνεια.

Συντελεστής συστολής

Στην πράξη, η διατομή του εκφορτιζόμενου πίδακα είναι επομένως μικρότερη από τη διατομή της εξόδου. Αυτή η διατομή, στην οποία οι γραμμές ροής στην πραγματικότητα κινούνται παράλληλα προς τα κάτω, βρίσκεται κατάντη του ανοίγματος. Αυτή είναι η πραγματική διατομή της εκφόρτισης Ad, πραγματική την οποία θα έπρεπε κανείς να λάβει ως βάση. Αυτή η διατομή ονομάζεται επίσης αποτελεσματική διατομή . Το φαινόμενο της στένωσης των γραμμών ροής και της συνακόλουθης μείωσης της διατομής του πίδακα είναι επίσης γνωστό ως συστολική φλέβα .

Ο όρος συστολή φλέβας αναφέρεται στη συστολή των γραμμών ροής λόγω αλλαγών στη διατομή, δηλαδή στο στένωση της διατομής του πίδακα μικρότερη από την πραγματική διατομή του σωλήνα.

Η μείωση της διατομής του πίδακα θεωρείται από τον λεγόμενο συντελεστή συστολής Κοιν. Υποδεικνύει την αναλογία της πραγματικής διαφήμισης διατομής εκτόξευσης, πραγματική προς τη διαφήμιση διατομής εκκένωσης:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed {A_\text{d,real} =C_c \cdot A_\text{d} } ~~~\text{και } C_c<1 ~~~\text{coefficient of contraction} \\[5px]
\end{align}

Σχέση μεταξύ του συντελεστή εκφόρτισης, του συντελεστή ταχύτητας και του συντελεστή συστολής

Τόσο το φαινόμενο της μείωσης της ταχύτητας όσο και η πολύ μεγαλύτερη επίδραση της συστολής του εξορθολογισμού επηρεάζουν τον ογκομετρικό ρυθμό ροής στην πράξη. Εάν ο ρυθμός ροής βασίζεται στις πραγματικές τιμές σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{vd}), τότε η ακόλουθη σχέση είναι εμφανής μεταξύ του συντελεστή εκφόρτισης Cd, του συντελεστή συστολής Cc και του συντελεστή ταχύτητας Cv:

\αρχή{στοίχιση}
\dot V_\text{d,real} &=A_\text{d,real} \cdot v_\text{d,real} \\[5px]
&=\underbrace{ C_c \dot A_d}_{ A_\text{d,real} } \cdot \underbrace{C_v v_d}_{ v_\text{d,real} } \\[5px]
&=C_c \cdot C_v \cdot A_d v_d ~~~\text{and }~~~ v_d=\sqrt{2gh} ~~~\text{:}\\[5px]
\label{u}
&=\underbrace{ C_c \cdot C_v }_{=C_d } \cdot A_d \sqrt{2gh} \\[5px]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\dot V_\text{d,real} =C_d \cdot A_d \sqrt{2gh}} ~~~\text{und}~~~ \boxed{ C_d =C_c \cdot C_v } \\[5px]
\end{align}

If one compares equation (\ref{u}) with equation (\ref{t}), then it becomes apparent that the discharge coefficient Cd results from the product of the contraction coefficient Cc and the velocity coefficient Cv. Since the coefficient of velocity for fluids commonly used in practice is usually negligible compared to the coefficient of contraction, the coefficient of discharge is decisively determined by the vena contracta. In practice, however, one is usually only interested in the discharge coefficient anyway, so that the velocity coefficient and the contraction coefficient are not determined separately.

Experimental determination of the coefficient of discharge

The coefficient of discharge directly influences the time required to empty a container. The discharge coefficient has therefore a direct impact on the equation (\ref{gl}) and increases the discharge time accordingly:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{t =\frac{1}{ C_d } \cdot \frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)} \\[5px]
\end{align}

In practice, one only has to determine the time t during which the liquid level decreased from the level H to the level h. Solving the above equation with respect to the discharge coefficient:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{ C_d =\frac{1}{t} \cdot \frac{A}{A_d} \sqrt{\frac{2}{g}} \left(\sqrt{H}-\sqrt{h}\right)} \\[5px]
\end{align}

Influence of the shape of the outlet on the coefficient of discharge

Round openings

In the case of a round hole in a tank, the coefficient of discharge for water is about 0.65. In practice, a high discharge coefficient is usually desirable in order to get as close as possible to the ideal (maximum) volumetric flow rate. This requires a adaptation of the opening shape.

Since the discharge coefficient is decisively determined by the vena contracta, the contraction of the streamlines must be kept as low as possible. This is achieved by adjusting the geometry of the opening. A simple possibility is to use pipe sockets . The liquid then does not flow out of the tank straight away, but is led through a short piece of pipe.This ensures that the streamlines can be arranged parallel again and can occupy the entire cross-section.

Figure:Discharge through a pipe socket

In order to achieve an optimal effect, pipe sockets should be about 2 to a maximum of 3 times as long as their diameter. Within this range, it is possible to increase the discharge rate by about 25 % compared to the discharge at sharp-edged openings leading directly into the environment. For reasons of increased pipe friction, the pipe sockets should be kept as short as possible.

A further increase in the discharge rate can be achieved by rounding out the edges (“fairing”) so that the streamlines are smoothly guided around these edges. In this way, discharge coefficients above 0.9 and higher are possible.

Figure:Discharge through a rounded pipe socket

In contrast, the discharge can also be made considerably less favourable than with a hole. For example, if a short pipe socket does not protrude from the tank, but into it. Then the streamlines make very strong changes with a more pronounced vena contracta. Such an unfavourable arrangement of a pipe socket is also called Borda’s opening . The coefficients of dicharge are about 0.53.

Figure:Discharge through a Borda opening

Rectangular openings

Until now, round openings were tacitly assumed. Above all, however, when liquids discharge sideways, the shape of the cross-section has a very strong influence on the coefficient of discharge. With rectangular openings, it is always unfavorable if liquid flows into the opening from the side. In this way the streamlines show very strong changes in direction. Therefore, the opening height should be kept as low as possible and the width should be greater than the height.

Figure:Discharge through rectangular openings

For square openings where the opening height corresponds to the opening width, the discharge coefficient is about 0.58. If the opening height is twice as large as the opening width, the discharge coefficient drops to about 0.44. If the opening height is only half the opening width, the discharge coefficient rises to 0.64. Although the opening height can be further reduced, a maximum discharge coefficient of 0.67 can be achieved with rectangular openings.