Κατανόηση του Βαρομετρικού Τύπου:Υψόμετρο και πίεση αέρα

Ο βαρομετρικός τύπος περιγράφει τη μείωση της πίεσης του αέρα με την αύξηση του υψομέτρου.

Εισαγωγή

Στο επίπεδο της θάλασσας η ατμοσφαιρική πίεση είναι περίπου 1 bar. Ωστόσο, η πρακτική δείχνει ότι η πίεση του αέρα μειώνεται όλο και περισσότερο με την αύξηση του υψομέτρου. Για παράδειγμα, σε ένα βουνό ύψους 2000 μέτρων, η ατμοσφαιρική πίεση είναι μόνο περίπου 0,8 bar. Στο Έβερεστ σε υψόμετρο 8848 μέτρων, ο αέρας ασκεί ακόμη και πίεση μόλις 0,3 bar.

Εικόνα:Μείωση της πυκνότητας αέρα με την αύξηση του ύψους

Με τη βοήθεια του μοντέλου σωματιδίων, αυτό το φαινόμενο μπορεί να γίνει ξεκάθαρα κατανοητό. Εξάλλου, όλα τα μόρια αερίου έχουν μάζα, όσο μικρή κι αν είναι. Αυτό οδηγεί στο γεγονός ότι τα σωματίδια αερίου υπόκεινται επίσης στη βαρύτητα. Υπάρχουν μόνιμες συγκρούσεις μεταξύ των σωματιδίων και τα μόρια φαινομενικά πετούν μακριά σε τυχαίες κατευθύνσεις. Ωστόσο, ειδικά με πολύ μεγάλες διαστάσεις, μπορεί να φανεί ότι τα μόρια του αέρα είναι μάλλον κοντά στην επιφάνεια της γης λόγω της δύναμης της βαρύτητας. Εξαιτίας αυτής της βαρυτικής δύναμης της γης, τα μόρια του αέρα έλκονται προς τα κάτω, ας πούμε έτσι, όπου στη συνέχεια συγκρούονται με άλλα σωματίδια αέρα και εκτοξεύονται ξανά στον αέρα.

Αυτή η συμπεριφορά μπορεί να αναπαραχθεί ζωντανά σε ένα μοντέλο. Για το σκοπό αυτό, οι μπάλες γεμίζονται σε έναν κατακόρυφο γυάλινο σωλήνα. Ο γυάλινος σωλήνας στέκεται σε μια ταλαντευόμενη πλάκα. Η δόνηση δίνει στις μπάλες μια τυχαία ταχύτητα. Αυτό κάνει τις μπάλες να συγκρούονται μόνιμα μεταξύ τους, όπως και τα μόρια στον αέρα. Οι μπάλες εκτοξεύονται σε τυχαία ύψη ακριβώς όπως τα πραγματικά μόρια του αέρα.

Εικόνα:Μπάλες σε δονούμενη πλάκα

Τέλος, μπορεί να παρατηρηθεί ότι η πλειοψηφία των σφαιρών βρίσκεται κοντά στη δονούμενη πλάκα. Με την αύξηση του ύψους, η πυκνότητα των σφαιρών μειώνεται, αφού μόνο μερικές μπάλες συγκρούονται με τέτοιο τρόπο ώστε να εκτοξεύονται πολλές φορές στον αέρα. Τέτοια κατανομή πυκνότητας στο ύψος συναντάμε και με τα μόρια του αέρα! Η πυκνότητα του αέρα επίσης μειώνεται όλο και περισσότερο με την αύξηση του υψομέτρου, καθώς όλο και λιγότερα μόρια αέρα μπορούν να φτάσουν σε τόσο μεγάλα ύψη. Αυτός είναι και ο λόγος που πολλοί ορειβάτες μεταφέρουν επιπλέον οξυγόνο σε φιάλες πεπιεσμένου αέρα σε μεγάλα υψόμετρα. Επειδή ο μικρός αριθμός μορίων αέρα δεν επαρκεί πλέον για να τροφοδοτήσει το σώμα με οξυγόνο.

Κινούμενα σχέδια:Μπάλες σε μια ταλαντευόμενη πλάκα

Η μειωμένη πυκνότητα αέρα είναι επίσης άμεσα υπεύθυνη για τη μείωση της πίεσης του αέρα. Στο άρθρο Πίεση στα αέρια είχε ήδη εξηγηθεί λεπτομερώς ότι η πίεση στα αέρια προκαλείται από συγκρούσεις μορίων με διεπαφές όπως το τοίχωμα ενός δοχείου ή ένα έμβολο. Μια μειωμένη πυκνότητα σωματιδίων σημαίνει επομένως και μικρότερο αριθμό συγκρούσεων. Αυτό με τη σειρά του οδηγεί σε χαμηλότερη πίεση αερίου.

Η μείωση της ατμοσφαιρικής πίεσης με την αύξηση του υψομέτρου οφείλεται στη μειωμένη πυκνότητα αέρα. Η μείωση της πυκνότητας του αέρα οφείλεται στο γεγονός ότι τα σωματίδια του αέρα υπόκεινται επίσης στη βαρύτητα της γης και επομένως παραμένουν πιο κοντά στην επιφάνεια της γης!

Η μείωση της πίεσης με την αύξηση του υψομέτρου μπορεί να προκύψει μαθηματικά από μια ισορροπία δυνάμεων . Για το σκοπό αυτό, ένα λεπτό στρώμα αέρα με το εμβαδόν βάσης Α και το πάχος Δh θεωρείται σε αυθαίρετο υψόμετρο h. Ο αέρας μέσα σε αυτό το στρώμα έχει μια ορισμένη μάζα Δm. Μπορεί κανείς να φανταστεί το στρώμα αέρα σαν να περιβάλλεται από έναν αόρατο φάκελο, δηλαδή σαν ένα είδος δέματος αέρα . Εάν θεωρείτε ότι αυτό το στρώμα αέρα βρίσκεται σε ηρεμία, είναι σε ισορροπία με τον περιβάλλοντα αέρα. Κατ' αρχήν, μια τέτοια ισορροπία δυνάμεων θα ίσχυε επίσης εάν το εναέριο δέμα κινείται προς τα πάνω ή προς τα κάτω με σταθερή ταχύτητα, αν και οι δυνάμεις τριβής θα πρέπει στη συνέχεια να ληφθούν υπόψη.

Εικόνα:Μείωση της ατμοσφαιρικής πίεσης με την αύξηση του υψομέτρου

Με βάση αυτή την ισορροπία, είναι πλέον δυνατό να κατανοήσουμε ξεκάθαρα γιατί η πίεση αέρα κάτω από το υπό εξέταση δέμα αέρα πρέπει αναπόφευκτα να είναι υψηλότερη από την παραπάνω. Τα περιβάλλοντα μόρια του αέρα ασκούν πίεση με συγκρούσεις με το δέμα αέρα τόσο από κάτω όσο και από πάνω. Μόνο όταν η ανοδική δράση Η πίεση στην κάτω πλευρά είναι μεγαλύτερη από την καθοδική δράση πίεση στην επάνω πλευρά, μια δύναμη μπορεί να δράσει αποτελεσματικά προς τα πάνω. Αυτή η ανοδική δύναμη εξουδετερώνει το βάρος του δέματος αέρα και έτσι το διατηρεί σταθερό στον αέρα (δηλαδή σε ισορροπία).

Η πίεση στην κάτω πλευρά ενός θεωρούμενου στρώματος αέρα πρέπει να είναι υψηλότερη από ό,τι στην επάνω πλευρά, έτσι ώστε το βάρος του στρώματος αέρα να μπορεί να εξισορροπηθεί από την ανοδική δύναμη!

Η ατμόσφαιρα μπορεί τώρα να φανταστεί κανείς ότι αποτελείται από αμέτρητα λεπτά στρώματα αέρα. Έτσι, από στρώμα σε στρώμα, η πίεση του αέρα πρέπει να μειώνεται μόνιμα, έτσι ώστε κάθε στρώμα να μπορεί να διατηρείται σε ισορροπία με ισχυρότερες δυνάμεις στην κάτω πλευρά. Για μια πιο ακριβή μαθηματική περιγραφή, οι δυνάμεις που ασκούνται στα στρώματα αέρα πρέπει τώρα να εξεταστούν πιο προσεκτικά.

Σχέση μεταξύ της αλλαγής του υψομέτρου και της αλλαγής της πίεσης σε μια δεδομένη πυκνότητα

Για το σκοπό αυτό, η πίεση στην κάτω πλευρά ενός δέματος αέρα εξετάζεται πρώτα πιο προσεκτικά. Η ανοδική δύναμη Fb στην κάτω πλευρά, η οποία δημιουργείται από την πίεση του αέρα p που ενεργεί εκεί, προκύπτει από το γινόμενο της πίεσης και του εμβαδού βάσης Α του δέματος αέρα:

\αρχή{στοίχιση}
&F_b =p \cdot A ~~~~~\text{δύναμη στην κάτω πλευρά του δέματος αέρα} \\[5px]
\end{align}

Σχήμα:Ισορροπία δυνάμεων σε ένα αυθαίρετο στρώμα αέρα

Στην κορυφή του δέματος αέρα, η πίεση του αέρα θα έχει μειωθεί κατά ένα ορισμένο ποσό Δp. Επομένως, η ισχύς προς τα κάτω που ασκεί αυτή η πίεση στο επάνω μέρος του δέματος αέρα είναι:

\αρχή{στοίχιση}
&F_t =\left(p-\Delta p \right) \cdot A ~~~~~\text{δύναμη στην επάνω πλευρά του δέματος αέρα} \\[5px]
\end{align}

Η μάζα Δm του δέματος αέρα μπορεί να προσδιοριστεί από τον όγκο του ΔV και την υπάρχουσα πυκνότητα αέρα ϱ (Δm=ΔV⋅ϱ). Όπως έχει ήδη εξηγηθεί, η πυκνότητα του αέρα θα μειώνεται με την αύξηση του υψομέτρου, αλλά εφόσον σε αυτή την περίπτωση λαμβάνεται υπόψη μόνο ένα πολύ λεπτό δέμα αέρα (στρώμα αέρα), μπορεί να θεωρηθεί σταθερή πυκνότητα σε αυτό το στρώμα αέρα. Με το Α ως το εμβαδόν βάσης και το Δh ως το πάχος του στρώματος αέρα, το βάρος του μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

\αρχή{στοίχιση}
&F_g =\Δέλτα m \cdot g \\[5px]
&F_g=\Delta V \cdot \rho \cdot g \\[5px]
&F_g=A \cdot \Delta h \cdot \rho \cdot g ~~~~~\text{βάρος του δέματος αέρα} \\[5px]
\end{align}

Το βάρος που ενεργεί προς τα κάτω Fg και η επίσης καθοδική δύναμη δράσης στην επάνω πλευρά του δέματος αέρα Ft πρέπει τώρα να είναι σε ισορροπία με την ανοδική δύναμη δράσης στην κάτω πλευρά του δέματος αέρα Fb. Με αυτόν τον τρόπο, μπορεί να προκύψει η ακόλουθη σχέση μεταξύ της μεταβολής του υψομέτρου Δh (πάχος του στρώματος αέρα) και της αντίστοιχης μεταβολής της πίεσης Δp.

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&F_b \overset{!}{=} F_g + F_t \\[5px]
&p \cdot \bcancel{A} =\bcancel{A} \cdot \Delta h \cdot \rho \cdot g + \left(p-\Delta p \right) \cdot \bcancel{A} \\[5px]
&\bcancel{p} =\Delta h \cdot \rho \cdot g + \bcancel{p} – \Delta p \\[5px]
\label{dp}
&\underline{\Delta p =\rho \cdot g \cdot \Delta h} ~~~~~\text{ισχύει μόνο για μικρές αλλαγές στο υψόμετρο }\Delta h \\[5px]
\end{align}

Σημειώστε ότι αυτός ο τύπος ισχύει μόνο εάν η αλλαγή στο υψόμετρο Δh δεν είναι πολύ μεγάλη, αφού μόνο σε μια τέτοια περίπτωση μπορεί να υποτεθεί (περίπου) σταθερή πυκνότητα αέρα ϱ. Εάν η αλλαγή στο υψόμετρο είναι πολύ μεγάλη, η πυκνότητα μέσα στο στρώμα αέρα δεν είναι πλέον σταθερή. Σε αυτήν την περίπτωση θα πρέπει να υπολογίσουμε μια μέση πυκνότητα αέρα.

Σχέση μεταξύ μιας αλλαγής υψομέτρου και μιας αλλαγής της πίεσης σε μια δεδομένη θερμοκρασία

Στην πράξη, μπορεί να υποτεθεί ότι μέσα σε 100 μέτρα, η πυκνότητα του αέρα δεν θα αλλάξει αισθητά και επομένως μπορεί να θεωρηθεί σταθερή. Αν υποθέσουμε ότι η πυκνότητα του αέρα κοντά στο έδαφος είναι περίπου 1,2 kg/m³, τότε λόγω του παραπάνω τύπου θα υπάρξει αλλαγή της πίεσης κατά περίπου 12 mbar σε υψόμετρο 100 μέτρων:

\αρχή{στοίχιση}
&\Delta p =\rho \cdot g \cdot \Delta h =1,2 \tfrac{\text{kg}}{\text{m³}}\cdot 10 \tfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot 100 \text{0mbart} =2{2 text \\[5 εικονοστοιχεία]
\end{align}

Για παράδειγμα, αν η πίεση στο έδαφος ήταν 1,0 bar, σε υψόμετρο 100 μέτρων θα έχει πέσει κατά 12 mbar στα 0,988 bar συνολικά. Θα μπορούσε πλέον να κάνει κανείς τον ίδιο υπολογισμό για τα επόμενα 100 μέτρα, προκειμένου να υπολογίσει την πίεση σε υψόμετρο 200 μέτρων. Ωστόσο, πρέπει να έχουμε κατά νου ότι με κάθε διαφορά υψομέτρου η πυκνότητα του αέρα αλλάζει ελαφρώς. Ο αέρας γίνεται πιο αραιός με την αύξηση του υψομέτρου, δηλαδή μειώνεται η πυκνότητα του αέρα. Επομένως, για κάθε νέα πίεση, πρέπει να λαμβάνεται ως βάση η νέα πυκνότητα αέρα.

Αυτό μπορεί να γίνει, για παράδειγμα, μέσω του νόμου του ιδανικού αερίου, σύμφωνα με τον οποίο η πυκνότητα και η πίεση σχετίζονται άμεσα μεταξύ τους με βάση τη θερμοκρασία:

\αρχή{στοίχιση}
\label{ιδανικό}
&\boxed{p=R_s \cdot \rho \cdot T}~~~~~\text{νόμος ιδανικού αερίου} \\[5px]
\label{rho}
&\rho=\frac{p}{ R_s \cdot T }\\[5px]
\end{align}

Σε αυτή την εξίσωση το T υποδηλώνει τη θερμοδυναμική θερμοκρασία σε Kelvin και το Rs τη συγκεκριμένη σταθερά αερίου. Στην περίπτωση αυτή θεωρείται ξηρός αέρας με ειδική σταθερά αερίου Rs=287 J(kg⋅K). Εάν η εξίσωση (\ref{rho}) χρησιμοποιείται στην εξίσωση (\ref{dp}), τότε μπορεί να προσδιοριστεί η μεταβολή της πίεσης σε μια δεδομένη θερμοκρασία:

\αρχή{στοίχιση}
&\Delta p =\rho \cdot g \cdot \Delta h \\[5px]
&\Delta p =\frac{p}{ R_s \cdot T } \cdot g \cdot \Delta h \\[5px]
\label{dr}
&\underline{\Delta p =\frac{g}{ R_s \cdot T } \cdot p \cdot \Delta h} \\[5px]
\end{align}

Ποιο όφελος προσφέρει αυτή η εξίσωση σε σύγκριση με την εξίσωση (\ref{dp}), γιατί τελικά η πρακτική δείχνει ότι όχι μόνο η πυκνότητα αλλά και η θερμοκρασία μειώνεται με την αύξηση του υψομέτρου (άγνωστες και οι δύο μεταβλητές); Αυτό είναι σωστό καταρχήν, αλλά η θερμοκρασία αλλάζει λιγότερο με την αύξηση του υψομέτρου σε σύγκριση με την πυκνότητα. Για μικρές διαφορές υψομέτρου, η υπόθεση μιας σταθερής θερμοκρασίας είναι επομένως συνήθως πιο θεμιτή από την υπόθεση μιας σταθερής πυκνότητας!

Κάτω από υψόμετρο 10 km, για παράδειγμα, η πυκνότητα του αέρα μειώνεται κατά μέσο όρο κατά περίπου 1,5 % σε απόσταση 100 μέτρων από το υψόμετρο (συμπεριλαμβάνονται οι αλλαγές θερμοκρασίας). Σε σύγκριση με αυτό, η θερμοκρασία (σε Kelvin!) πέφτει μόνο κατά περίπου 0,4% κατά μέσο όρο. Επομένως, η επίδραση της αλλαγής της θερμοκρασίας δεν είναι ούτε το ένα τρίτο τόσο μεγάλη όσο η επίδραση της μεταβολής της πυκνότητας. Στο άρθρο Βαρομετρικός τύπος για μια αδιαβατική ατμόσφαιρα, η επίδραση της μείωσης της θερμοκρασίας στην καμπύλη πίεσης συζητείται με περισσότερες λεπτομέρειες.

Για λόγους απλότητας, ωστόσο, μια σταθερή θερμοκρασία θα θεωρείται πάντα στα ακόλουθα. Σε αυτό το πλαίσιο μιλάμε επίσης για μια ισόθερμη ατμόσφαιρα . Ομοίως, η μείωση της βαρυτικής επιτάχυνσης με την αύξηση του υψομέτρου δεν θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη και η συγκεκριμένη σταθερά αερίου θα πρέπει να θεωρείται σταθερή παρά τις τυχόν αλλαγές στην ατμοσφαιρική σύνθεση.

Στην πραγματικότητα, η μείωση της βαρυτικής επιτάχυνσης συνήθως δεν παίζει κανένα ρόλο στην πράξη. Σε ύψος 100 km η βαρυτική επιτάχυνση μειώνεται μόνο κατά 3 %. Σε κάθε περίπτωση, μόνο τα χαμηλότερα 15 km, η λεγόμενη τροπόσφαιρα («καιρικό στρώμα»), είναι σχετικά με τον καιρό. Επίσης η επίδραση της χημικής σύστασης δεν παίζει ρόλο κάτω από υψόμετρο 100 km, γιατί τα ατμοσφαιρικά αέρια αναμειγνύονται καλά μέχρι εκείνο το σημείο. Κάτω από υψόμετρο 100 χιλιομέτρων μιλάμε επομένως και για την ομόσφαιρα. Το παρακάτω σχήμα και κινούμενη εικόνα δείχνει την ταξινόμηση της ατμόσφαιρας της Γης σε διαφορετικά στρώματα. Αυτή η διαστρωμάτωση βασίζεται στις διαφορετικές θερμοκρασίες ή στις χαρακτηριστικές καμπύλες θερμοκρασίας μέσα σε αυτά τα στρώματα (δείτε το άρθρο Βαρομετρικός τύπος για μια αδιαβατική ατμόσφαιρα για περισσότερες πληροφορίες).

Εικόνα:Διαστρωμάτωση της ατμόσφαιρας της γης Κινούμενα σχέδια:στρώματα της ατμόσφαιρας

Όταν χρησιμοποιείτε τον τύπο (\ref{dr}) πρέπει πάντα να έχετε κατά νου ότι μια θετική αλλαγή στο υψόμετρο (Δh>0) με τη μαθηματική έννοια, ωστόσο, έχει ως αποτέλεσμα μια αρνητική αλλαγή στην πίεση (Δp<0), αφού η πίεση τελικά μειώνεται με την αύξηση του υψομέτρου. Για έναν σωστό μαθηματικό ορισμό, η ανώτερη εξίσωση πρέπει επομένως να έχει αρνητικό πρόσημο. Αυτό γίνεται σημαντικό για τον βαρομετρικό τύπο που προκύπτει παρακάτω.

\αρχή{στοίχιση}
\label{a}
&\boxed{\Delta p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \Delta h} ~~~~~\text{ισχύει μόνο για μικρές αλλαγές στο υψόμετρο }\Delta h \\[5px]
\end{align}

Σχέση μεταξύ πίεσης και αλλαγής υψομέτρου

Όπως εξηγήθηκε στην προηγούμενη ενότητα, συνιστάται πρώτα να διαιρέσετε την αλλαγή πίεσης για μεγάλα υψόμετρα σε μικρά στρώματα αέρα, για παράδειγμα, 100 μέτρων. Στη συνέχεια, όλες οι αλλαγές πίεσης πρέπει να συνοψιστούν στη συνολική αλλαγή πίεσης. Ωστόσο, αυτή η διαδικασία είναι αρκετά περίπλοκη. Ο διαφορικός λογισμός ή ο ολοκληρωτικός λογισμός προσφέρει μια απλούστερη και γενικότερη μέθοδο σε αυτό το σημείο.

Για το σκοπό αυτό, οι μακροσκοπικές υψομετρικές διαφορές επιλέγονται όλο και μικρότερες. Στην περιοριστική περίπτωση λαμβάνει κανείς απειροελάχιστες, δηλαδή απείρως μικρές υψομετρικές διαφορές ή διαφορές πίεσης. Σε αντίθεση με τις μακροσκοπικές αλλαγές Δh ή Δp τελικά λαμβάνει κανείς τις αντίστοιχες διαφορικές dh και dp. Το αργότερο σε αυτό το σημείο, το πρόβλημα με τη σταθερή πυκνότητα ή τη σταθερή θερμοκρασία εντός των επιμέρους στρωμάτων αέρα έχει επίσης επιλυθεί, αφού ούτως ή άλλως άπειρες μικρές διαφορές υψομέτρου εξετάζονται παρακάτω.

Για τη σχέση μεταξύ μιας απειροελάχιστης διαφοράς ύψους dh και της προκύπτουσας απειροελάχιστης αλλαγής πίεσης dp, εξακολουθεί να ισχύει η εξίσωση (\ref{a}):

\αρχή{στοίχιση}
\label{c}
&\boxed{\text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h} \\[5px]
\end{align}

Το διαφορικό dp που σχετίζεται με τη μεταβλητή p αναδιατάσσεται τώρα στην αριστερή πλευρά του πρόσημου ίσου, έτσι ώστε και οι δύο σχετικές μεταβλητές να είναι εντελώς ξεχωριστές από το διαφορικό dh στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης (που ονομάζεται διαχωρισμός μεταβλητών):

\αρχή{στοίχιση}
&\frac{1}{p} ~ \text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot p \cdot \text{d} h \\[5px]
\end{align}

Και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πρέπει τώρα να ενσωματωθούν εντός των αντίστοιχων ορίων. Ξεκινώντας από μια δεδομένη πίεση p0 στο υψόμετρο h0, η πίεση p σε οποιοδήποτε υψόμετρο h μπορεί να προσδιοριστεί με τον παρακάτω τύπο. Σημειώστε ότι η θερμοκρασία, η επιτάχυνση της βαρύτητας και η σταθερά ειδικής αερίου θεωρούνται σταθερές.

\αρχή{στοίχιση}
&\int_{p_0}^{p}\frac{1}{p} ~ \text{d}p =\int_{h_0}^h-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \text{d} h \\[5px]
&\int_{p_0}^{p}\frac{1}{p} ~ \text{d}p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \int_{h_0}^h \text{d} h \\[5px]
&\left[\ln{\left( p\right)}\right]_{p_0}^p =-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \left[~h~\right]_{h_0}^{h}\\[5px]
&\ln{(p)}-\ln{(p_0)}=-\frac{g}{R_s \cdot T} \cdot \underbrace{\left(h-h_0\right)}_{\Delta h}\\[5px]
\end{align}

Η διαφορά μεταξύ του υψομέτρου h (για το οποίο πρέπει να προσδιοριστεί η πίεση p) και του αρχικού υψομέτρου h0 (στο οποίο υπάρχει η αρχική πίεση p0), αντιστοιχεί στη μεταβολή στο υψόμετρο Δh:

\αρχή{στοίχιση}
&\ln{(p)}-\ln{(p_0)}=-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T} \\[5px]
\end{align}

Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης μπορεί επίσης να αναδιαταχθεί λίγο. Λόγω αλγοριθμικών ταυτοτήτων, η διαφορά μεταξύ δύο λογαριθμικών μεγεθών μπορεί επίσης να εκφραστεί ως το λογαριθμικό πηλίκο αυτών των μεγεθών [ln(a)-ln(b)=ln(a/b)]:

\αρχή{στοίχιση}
&\ln{\left(\frac{p}{p_0}\right)}=-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T} \\[5px]
\end{align}

Για να λυθεί αυτή η εξίσωση ως προς την πίεση p, και οι δύο πλευρές της εξίσωσης τίθενται στον εκθέτη της εκθετικής συνάρτησης:

\αρχή{στοίχιση}
&\text{e}^{\Large{\ln{\left(\frac{p}{p_0}\right)}}}=\text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T} }}\\[5px]
\end{align}

Εφόσον ο φυσικός λογάριθμος (“ln”) είναι απλώς η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης, ισχύει γενικά η ακόλουθη σχέση:eln(a)=a. Έτσι, η αριστερή πλευρά της παραπάνω εξίσωσης αντιστοιχεί στο πηλίκο p/p0. Με αυτόν τον τρόπο, η πίεση p σε ένα δεδομένο ύψος Δh πάνω από ένα επίπεδο αναφοράς μπορεί να υπολογιστεί με την πίεση αναφοράς p0:

\αρχή{στοίχιση}
&\frac{p}{p_0}=\text{e}^{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T} }\\[5px]
\label{bar}
&\boxed{p(\Delta h)=p_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}}}} ~~~~~\text{βαρομετρικός τύπος} \\[5px]
\end{align}

Αυτός ο τύπος ονομάζεται τελικά βαρομετρικός τύπος και υποδεικνύει την πίεση p ως συνάρτηση του υψομέτρου Δh πάνω από ένα επίπεδο αναφοράς με γνωστή πίεση p0. Σε σύγκριση με τον τύπο (\ref{a}), ο βαρομετρικός τύπος παρέχει επίσης μεγαλύτερη ακρίβεια σε μεγαλύτερα υψόμετρα. Ωστόσο, πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι αυτός ο τύπος προήλθε με την υπόθεση ότι ούτε η θερμοκρασία και η βαρυτική επιτάχυνση αλλάζουν με το υψόμετρο, ούτε η συγκεκριμένη σταθερά αερίου (δηλαδή η σύνθεση της ατμόσφαιρας). Αυστηρά μιλώντας, αυτός ο τύπος ισχύει επομένως μόνο για μικρά υψόμετρα όπου αυτές οι συνθήκες πληρούνται σε καλή προσέγγιση.

Με τυπική πίεση p0=1,013 bar στο επίπεδο της θάλασσας (h0=0) και θερμοκρασία T0=288 K (15 °C) και ειδική σταθερά αερίου Rs=287 J(kg⋅K), η απόκλιση του βαρομετρικού τύπου σε σύγκριση με την τυπική ατμόσφαιρα κάτω από υψόμετρο 3 km είναι το πολύ 1 %. Σε υψόμετρο 6 km η απόκλιση αυξάνεται σε περίπου 5 % και συνεχίζει να αυξάνεται. Σε υψόμετρο 12 χιλιομέτρων η απόκλιση φτάνει περίπου το 27 %. Οι αποκλίσεις οφείλονται κυρίως στην αλλαγή της θερμοκρασίας που δεν λαμβάνεται υπόψη.

Ο βαρομετρικός τύπος μπορεί να εκφραστεί όχι μόνο από τη θερμοκρασία, αλλά και από την πυκνότητα σε επίπεδο αναφοράς. Για να γίνει αυτό, το γινόμενο της συγκεκριμένης σταθεράς αερίου και θερμοκρασίας στον βαρομετρικό τύπο (\ref{bar}) αντικαθίσταται από το πηλίκο πίεσης και πυκνότητας σύμφωνα με τον νόμο του ιδανικού αερίου (\ref{bar}):

\αρχή{στοίχιση}
&p=R_s \cdot \rho \cdot T \\[5px]
&p_0=R_s \cdot \rho_0 \cdot T \\[5px]
&\underline{R_s \cdot T =\frac{p_0}{\rho_0}} \\[5px]
\end{align}

Αυτή η έκφραση χρησιμοποιείται στην εξίσωση (\ref{bar}):

\αρχή{στοίχιση}
&p=p_0 \cdot \text{e}^{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}} ~~~~~\text{mit}~R_s \cdot T =\frac{p_0}{\rho_0} ~\text{folgt:} \\[x
\label{bar2}
&\boxed{p(\Delta h)=p_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \rho_0 \cdot \Delta h}{p_0}}}} ~~~~~\text{βαρομετρικός τύπος} \\[5px]
\end{align}

Σχέση μεταξύ αλλαγής υψομέτρου και πυκνότητας

Δεδομένου ότι η πυκνότητα σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{rho}) σχετίζεται άμεσα με την πίεση, η μείωση της πυκνότητας με την αύξηση του υψομέτρου μπορεί επίσης να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον βαρομετρικό τύπο. Για το σκοπό αυτό, ο βαρομετρικός τύπος (\ref{bar}) πρέπει να χρησιμοποιηθεί στην εξίσωση (\ref{rho}):

\αρχή{στοίχιση}
\label{x}
&\rho=\frac{p}{ R_s \cdot T}\\[5px]
\label{y}
&\rho(\Delta h)=\frac{p(\Delta h)}{ R_s \cdot T}=\frac{ p_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}}} }{R_s \cdot T}}} }{R_s \cdot T}}} }{R_s \c R_s \cdot T}}_{\rho_0} \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}}} \\[5px]
\label{z}
&\boxed{\rho(\Delta h)=\rho_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \Delta h}{R_s \cdot T}}}} \\[5px]
\end{align}

Στην εξίσωση (\ref{y}) χρησιμοποιήθηκε ότι ο όρος p0/(Rs⋅T) σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{x}) αντιστοιχεί στην πυκνότητα ϱ0 σε επίπεδο αναφοράς. Ομοίως, ο όρος Rs⋅T στην εξίσωση (\ref{z}) μπορεί να αντικατασταθεί από p0/ϱ0:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\rho(\Delta h)=\rho_0 \cdot \text{e}^{\Large{-\frac{g \cdot \rho_0 \cdot \Delta h}{p_0}}}} \\[5px]
\end{align}

Εάν συγκρίνει κανείς την πορεία πυκνότητας σύμφωνα με τον βαρομετρικό τύπο με την πορεία πυκνότητας της τυπικής ατμόσφαιρας, μπορούν να παρατηρηθούν μεγαλύτερες αποκλίσεις έως και 7%, ειδικά για υψόμετρα κάτω των 3 km. Αυτές οι σχετικά μεγάλες αποκλίσεις οφείλονται στη θερμοκρασία, η οποία υποτίθεται ότι είναι σταθερή, αλλά στην πραγματικότητα μειώνεται και επομένως επηρεάζει έντονα την πυκνότητα. Με την αύξηση του υψομέτρου, το σφάλμα που γίνεται κατά τον υπολογισμό της πίεσης (που είναι η βάση για τον υπολογισμό της πυκνότητας) αντισταθμίζει την απόκλιση λόγω της μη σταθερής θερμοκρασίας. Η μέγιστη απόκλιση της πυκνότητας από την τυπική ατμόσφαιρα είναι 10% σε υψόμετρο 9 km και στη συνέχεια μειώνεται ξανά.

Βαρομετρικός τύπος έναντι υδροστατικής εξίσωσης

Μπορεί κανείς να θεωρήσει τον βαρομετρικό τύπο για συμπιέσιμα αέρια σε αναλογία με την υδροστατική εξίσωση για ασυμπίεστα υγρά. Με την αύξηση του βάθους από την επιφάνεια του υγρού, η πίεση αυξάνεται όλο και περισσότερο λόγω των υγρών στρωμάτων πάνω. Με τον ίδιο τρόπο, η πίεση της ατμόσφαιρας αυξάνεται όταν μετακινείται από μεγάλα υψόμετρα προς την επιφάνεια της γης. Ζούμε στον πάτο μιας «θάλασσας αέρα», ας πούμε. Η μόνη διαφορά μεταξύ του αερίου της ατμόσφαιρας και του υγρού των θαλασσών είναι ότι τα υγρά δεν μπορούν να συμπιεστούν. Αυτό σημαίνει ότι η πίεση στα υγρά αυξάνεται (σχεδόν) χωρίς αύξηση της πυκνότητας, ενώ στα αέρια η πυκνότητα αυξάνεται επίσης με την αύξηση της πίεσης.

Εικόνα:Παραγωγή της υδροστατικής εξίσωσης

Η υδροστατική εξίσωση για ασυμπίεστα ρευστά μπορεί επίσης να προκύψει από τις προηγούμενες σκέψεις. Για το σκοπό αυτό η εξίσωση (\ref{dp}) πρέπει να χρησιμοποιηθεί για απειροελάχιστες αλλαγές. Τότε αυτή η εξίσωση μπορεί να ενσωματωθεί με την υπόθεση σταθερής πυκνότητας ϱ.

Εικόνα:Παραγωγή της υδροστατικής εξίσωσης

Για πρακτικούς λόγους, η επιφάνεια του υγρού και όχι ο πυθμένας του υγρού λαμβάνεται ως επίπεδο αναφοράς. Επομένως, τα όρια ολοκλήρωσης βασίζονται στην επιφάνεια υγρού h=0 στην οποία εφαρμόζεται η πίεση περιβάλλοντος p0, μέχρι το βάθος h με την πίεση υγρού p να προσδιορίζεται εκεί:

\αρχή{στοίχιση}
\text{d}p &=\rho \cdot g \cdot \text{d} h \\[5px]
\int_{p_0}^{p} ~ \text{d}p &=\rho \cdot g \cdot \int_{0}^{h} \text{d} h \\[5px]
\left[p\right]_{p_0}^{p} &=\rho \cdot g \cdot \left[h\right]_{0}^{h} \\[5px]
\left[p-p_0\right] &=\rho \cdot g \cdot \left[h-0\right] \\[5px]
\underbrace{p}_{\text{ολική πίεση}} &=\underbrace{p_0}_{\text{περιβαλλοντική πίεση}} + \underbrace{\rho \cdot g \cdot h}_{\text{υδροστατική πίεση}}
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
\boxed{p=p_0 + \rho g h} ~~~~~\text{υδροστατική εξίσωση}\\[5 px]
\end{align}

Η προκύπτουσα υδροστατική εξίσωση δηλώνει ότι η πίεση στα υγρά προκύπτει από το άθροισμα της πίεσης περιβάλλοντος και της υδροστατικής πίεσης.