Ποιο είναι το παράδοξο των γενεθλίων;

Το παράδοξο των γενεθλίων δηλώνει ότι σε μια ομάδα 23 ή περισσότερων ανθρώπων, η πιθανότητα δύο ή περισσότερων ατόμων που μοιράζονται γενέθλια είναι περισσότερο από 50%. Αυτό το φαινομενικά αντίθετο αποτέλεσμα βασίζεται στο γεγονός ότι ο αριθμός των πιθανών ζευγών ανθρώπων σε μια ομάδα αυξάνεται πολύ πιο γρήγορα από τον αριθμό των ημερών του έτους.

Υπολογισμός της πιθανότητας

Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα δύο ή περισσότερων ατόμων που μοιράζονται γενέθλια σε μια ομάδα Ν ανθρώπων, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο:

$$ p (στο \ the a e a \ o o \ shared \ birthday) =1 - p (no \ shared \ birthdays) $$

όπου:

- \ (P (στο \ the -ater \ one \ shared \ birthday) \) είναι η πιθανότητα ότι τουλάχιστον δύο άτομα στην ομάδα μοιράζονται γενέθλια.

- \ (p (no \ shared \ birthdays) \) είναι η πιθανότητα ότι δεν υπάρχουν δύο άτομα στην ομάδα να μοιράζονται γενέθλια.

Για να υπολογίσουμε το \ (p (no \ shared \ birthdays) \), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο τύπο:

$$ p (no \ shared \ birthdays) =\ frac {365!} {365^n \ cdot (365-n)!

όπου:

- \ (365 \) είναι ο αριθμός των ημερών σε ένα χρόνο.

- \ (n \) είναι ο αριθμός των ατόμων στην ομάδα.

Για παράδειγμα, εάν έχουμε μια ομάδα 23 ατόμων, η πιθανότητα δύο ή περισσότερων ατόμων που μοιράζονται γενέθλια είναι:

$$ p (στο \ the a e a \ o o \ shared \ birthday) =1 - p (no \ shared \ birthdays) $$

$$ =1 - \ frac {365!} {365^{23} \ cdot (365-23)!} $$

$$ =1 - 0.4927 =0.5073 $$

Ως εκ τούτου, η πιθανότητα δύο ή περισσότερων ατόμων που μοιράζονται γενέθλια σε μια ομάδα 23 ή περισσότερων ανθρώπων είναι περισσότερο από 50%.

Το στοιχείο έκπληξης

Το παράδοξο των γενεθλίων αναφέρεται συχνά ως παράδειγμα ενός φαινομένου αντίθετης πιθανότητας και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να επεξηγήσει τη σημασία της κατανόησης των υποκείμενων μαθηματικών πριν από την κατάρτιση συμπερασμάτων από τα δεδομένα. Επισημαίνει επίσης τους εκπληκτικούς τρόπους με τους οποίους τα φαινομενικά άσχετα γεγονότα μπορούν να συνδεθούν.