Τι είναι το Lagrangian του ατόμου υδρογόνου;
1. Εξαρτήματα:
* Κινητική ενέργεια: Αυτό περιγράφει την κίνηση του ηλεκτρονίου και του πρωτονίου.
* Ηλεκτρονικό:(1/2) m_e * (v_e)^2 όπου m_e είναι η μάζα ηλεκτρονίων και η V_E της ταχύτητας.
* Proton:(1/2) M_P * (V_P)^2 όπου M_P είναι η μάζα πρωτονίων και V_P της ταχύτητας.
* Πιθανή ενέργεια: Αυτή είναι η ηλεκτροστατική αλληλεπίδραση μεταξύ του ηλεκτρονίου και του πρωτονίου:
* -e^2/(4πε0 * r) όπου e είναι το στοιχειώδες φορτίο, ε_0 είναι η διαπερατότητα του ελεύθερου χώρου και r είναι η απόσταση μεταξύ του ηλεκτρονίου και του πρωτονίου.
2. Το Lagrangian:
Το Lagrangian (L) είναι η διαφορά μεταξύ των κινητικών και των δυνητικών ενεργειών:
`` `
L =t - v
`` `
Οπου:
* T =(1/2) m_e * (v_e)^2 + (1/2) m_p * (v_p)^2
* V =-e^2/(4πε0 * r)
3. Απλοποίηση με μειωμένη μάζα:
Για να απλοποιήσουμε το Lagrangian, μπορούμε να εισαγάγουμε τη μειωμένη μάζα (μ) του συστήματος:
`` `
1/μ =1/m_e + 1/m_p
`` `
Δεδομένου ότι το πρωτόνιο είναι πολύ βαρύτερο από το ηλεκτρόνιο (M_P>> M_E), η μειωμένη μάζα είναι πολύ κοντά στη μάζα του ηλεκτρονίου (μ ≈ m_e).
Στη συνέχεια, μπορούμε να εκφράσουμε την κινητική ενέργεια όσον αφορά τη μειωμένη μάζα και τη σχετική ταχύτητα (V) του ηλεκτρονίου σε σχέση με το πρωτόνιο:
`` `
T =(1/2) μ * (v)^2
`` `
4. Τελική φόρμα:
Ο Lagrangian για το άτομο υδρογόνου μπορεί να γραφτεί ως:
`` `
L =(1/2) μ * (v)^2 + e^2/(4πε0 * r)
`` `
Σημαντικές σημειώσεις:
* Κέντρο μάζας: Τα παραπάνω Lagrangian εκφράζονται στο πλαίσιο αναφοράς όπου το κέντρο μάζας του συστήματος βρίσκεται σε ηρεμία.
* Κβαντική μηχανική: Ενώ ο Lagrangian παρέχει μια κλασική περιγραφή, η πραγματική συμπεριφορά του ατόμου υδρογόνου διέπεται από την κβαντική μηχανική. Η εξίσωση Schrödinger παρέχει μια ακριβέστερη περιγραφή των ενεργειακών επιπέδων του ατόμου και των λειτουργιών κύματος.
Επιτρέψτε μου να ξέρω αν θέλετε μια πιο λεπτομερή εξήγηση για οποιαδήποτε συγκεκριμένη πτυχή ή αν έχετε περαιτέρω ερωτήσεις!
