Τι είναι το παράγωγο του e^2x;

Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι μια συνάρτηση που σας λέει το ρυθμό μεταβολής της αρχικής συνάρτησης σε οποιοδήποτε συγκεκριμένο σημείο αυτής της συνάρτησης. Κάποιος μπορεί να σκεφτεί μια παράγωγο μιας συνάρτησης ως μέτρο του πόσο ευαίσθητη είναι η έξοδος της αρχικής συνάρτησης σε μικρές αλλαγές στην είσοδό της. Μια παράγωγος μας λέει πόσο γρήγορα μια συνάρτηση αλλάζει σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή. Ως εκ τούτου, τα παράγωγα είναι χρήσιμα για τη μοντελοποίηση καταστάσεων που περιλαμβάνουν ρυθμούς μεταβολής, όπως μετατόπιση, ταχύτητα και επιτάχυνση.

Η παράγωγος της συνάρτησης:

μπορεί να προσδιοριστεί από έναν ειδικό κανόνα για την εύρεση της παραγώγου συναρτήσεων με τη μορφή e. Ο γενικός κανόνας είναι:

Έτσι, χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα, μπορούμε να προσδιορίσουμε ότι:

Δηλαδή, η παράγωγος της συνάρτησης ƒ(x) = e είναι ƒ'(x) =2e . Αυτή η παράγωγος μας λέει το ρυθμό μεταβολής της εξόδου της αρχικής συνάρτησης ανά αλλαγή στην είσοδο. Βασικά, οι δύο εξισώσεις μας λένε ότι η έξοδος της συνάρτησης ƒ(x) = e αυξάνεται κατά 2e ανά είσοδο. Έτσι, εάν η τιμή του x είναι ένα, η σύνδεση αυτής της τιμής στην εξίσωση μας δίνει:

Αυτές οι εξισώσεις μας λένε δύο πράγματα. Πρώτον, στο σημείο x=1, η συνάρτηση ƒ(x) έχει έξοδο e . Δεύτερον, η παράγωγος μας λέει ότι στο σημείο x=1, η έξοδος του ƒ(x) αλλάζει κατά 2e .

Τι είναι ένα παράγωγο;

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ένα μέτρο του πόσο ευαίσθητη είναι η έξοδος μιας συνάρτησης στις αλλαγές στην είσοδο της. Η παράγωγος του ƒ(x) μετρά τον ρυθμό μεταβολής της εξόδου του ƒ(x) σε σχέση με τις αλλαγές στο x.

Φανταστείτε την απλή περίπτωση όπου έχουμε κάποια γραμμική εξίσωση y =2x+3. Επιπλέον, ας διαλέξουμε δύο σύνολα συντεταγμένων x y που εμπίπτουν σε αυτή τη γραμμή:(1,5) και (2,7). Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης ως προς το x μεταξύ αυτών των δύο σημείων; Μπορούμε να το καταλάβουμε αυτό υπολογίζοντας:

Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ αυτών των δύο σημείων, η έξοδος της συνάρτησης αλλάζει κατά 2. Παρατηρήστε ότι αυτή η τιμή του 2 είναι επίσης ίση με την κλίση της γραμμικής εξίσωσης y =2x +3.

Στην πραγματικότητα, για οποιαδήποτε δύο σημεία της εξίσωσης y =2x+3, ο ρυθμός μεταβολής θα είναι πάντα 2. Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε σημείο της συνάρτησής μας, η έξοδος της συνάρτησης αυξάνεται κατά συντελεστή 2 ως προς το x. Παρεμπιπτόντως, αυτό μας δίνει τον πρώτο μας κανόνα για την εύρεση παραγώγων:Στην περίπτωση που το ƒ(x) είναι κάποια γραμμική συνάρτηση y= mx+ β :

Δηλαδή, για οποιαδήποτε γραμμική συνάρτηση με τη μορφή  y= mx+ β , η παράγωγος αυτής της συνάρτησης είναι ίση με την κλίση m . Αν σκεφτούμε γραμμικές εξισώσεις που εκφράζουν κάποιο ρυθμό μεταβολής του y σε σχέση με τις αλλαγές στο x, η κλίση της συνάρτησης m  μας δίνει αυτόν τον ρυθμό μεταβολής, καθώς για κάθε είσοδο, ο ρυθμός μεταβολής της παραγωγής αλλάζει κατά 2.

Η διαδικασία εύρεσης παραγώγου για συνάρτηση υψηλότερου βαθμού (π.χ. x, x) γενικεύει αυτή τη διαδικασία εύρεσης της κλίσης μεταξύ δύο σημείων και βρίσκει την οριακή τιμή που προσεγγίζει ο λόγος Δy/Δx καθώς το Δx γίνεται αυθαίρετα μικρό. Το αποτέλεσμα είναι ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο ουσιαστικά μας λέει την κλίση του γραφήματος σε ένα μόνο σημείο. Αυτό φαίνεται επίσης στο γεγονός ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο δίνει την κλίση μιας ευθείας που εφάπτεται στο γράφημα σε αυτό το σημείο.

Εντάξει, όλα αυτά είναι καλά, αλλά πώς μπορούμε να βρούμε τον ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης όπως ƒ(x)=x σε κάθε χρονική στιγμή; Σε αντίθεση με μια εξίσωση όπως το y =mx +b,  ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης ƒ(x)=x δεν είναι σταθερή και αλλάζει σε κάθε σημείο. Πώς καταγράφουμε το ρυθμό αλλαγής αυτού του είδους συνάρτησης ισχύος;

Θυμηθείτε στην περίπτωση της γραμμικής εξίσωσης, βρήκαμε τον ρυθμό μεταβολής της εξίσωσης βρίσκοντας τον λόγο μεταβολής του x έναντι της μεταβολής του y (Δy/Δx). Ας ξεκινήσουμε με τη συνάρτηση ƒ(x)=x . Επιλέγοντας δύο τιμές για το x, παίρνουμε ƒ(1)=1 και ƒ(2) =4. Η επίλυση για Δy/Δx μας δίνει (4-1)/(2-1)=4. Η κλίση της γραμμής που διέρχεται μεταξύ αυτών των δύο σημείων είναι 4. Τώρα, φανταστείτε ότι επαναλάβαμε αυτή τη διαδικασία, επιλέγουμε x τιμές πολύ κοντά η μία στην άλλη, ας πούμε 1 και 1,5. Αυτό μας δίνει:

Κι αν πάμε ακόμα πιο κοντά; Τι θα λέγατε για το 1 και το 1.1; Η σύνδεση αυτών των τιμών μας δίνει:

Τι γίνεται με το 1 και το 1.01;:Αυτά μας δίνουν:

Παρατηρήστε ότι καθώς το Δx μας μεγαλώνει αυθαίρετα, ο λόγος του Δy/Δx πλησιάζει κάποια τιμή, σε αυτήν την περίπτωση, το 2. Με γραφικούς όρους, αυτό σημαίνει ότι αν συνεχίσουμε να επιλέγουμε μικρότερες και μικρότερες διαφορές του x, πλησιάζουμε όλο και περισσότερο την κλίση της συνάρτησης σε ένα μόνο σημείο. Αυτό θα μας δώσει τελικά την παράγωγο της συνάρτησης σε εκείνο το σημείο, η οποία είναι 2.

Έτσι, μόλις βρήκαμε έναν τρόπο να προσεγγίσουμε μια παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα μόνο σημείο. Η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί να προσεγγιστεί με σειρές μικρότερων και μικρότερων Δx που πλησιάζουν ένα σημείο. Αυτό μας δίνει έναν γενικό ορισμό για να δώσουμε την παράγωγο μιας τιμής γραμμένης με οριακό συμβολισμό. δηλαδή:

Ουσιαστικά, αυτή η εξίσωση λέει ότι η παράγωγος του ƒ(a) είναι ίση με το όριο που πλησιάζει ο λόγος Δy/Δx καθώς το h γίνεται απειροελάχιστα. Μια τιμή h που είναι πολύ κοντά στο 0 θα σας δώσει μια καλή προσέγγιση της κλίσης του γραφήματος σε εκείνο το σημείο. Η ιδέα είναι ότι καθώς επιλέγουμε όλο και μικρότερες τιμές για το h, πλησιάζουμε όλο και πιο κοντά στην κλίση της εφαπτομένης σε εκείνο το σημείο της συνάρτησης. Αυτός είναι ο επίσημος ορισμός ενός παραγώγου και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή μιας παραγώγου συνάρτησης —δηλ. μια συνάρτηση που αντιστοιχίζει όλες τις τιμές εισόδου στον ρυθμό αλλαγής της αρχικής συνάρτησης κάποια στιγμή.

Ας πίσω στη συνάρτησή μας ƒ(x)=x² . Εάν συνδέσουμε αυτήν τη συνάρτηση στον ορισμό της παραγώγου μας, θα πρέπει να μπορούμε να παράγουμε μια παράγωγη συνάρτηση για ƒ(x)=x² . Κάνοντας αυτό μας δίνει:

Η παραγοντοποίηση του h μας δίνει:

Εφόσον σε αυτήν την εξίσωση, το h υποτίθεται ότι είναι μια πραγματικά, πραγματικά, μικρή τιμή, μπορούμε ουσιαστικά να αγνοήσουμε οποιοδήποτε h στην εξίσωση και να το απλοποιήσουμε ως εξής:

Δηλαδή, η παράγωγη συνάρτηση του ƒ(x) =x είναι απλώς ƒ'(x) =2x. Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης xat οποιοδήποτε σημείο x, είναι ίσος με 2x. Άρα στο x=1, ƒ'(1)=2, στο x=2, ƒ'(2)=4, στο x=3, ƒ'(3)=6 και ούτω καθεξής. Η παράγωγη συνάρτηση δίνει το ρυθμό μεταβολής της αρχικής συνάρτησης σε κάθε σημείο σε σχέση με τις αλλαγές στην τιμή εισόδου. Για κάθε τιμή x σε αυτό το γράφημα, η συνάρτηση αλλάζει με ρυθμό ανάλογο του 2x.

Γενικοί κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων

Ο πρώτος κανόνας περιλαμβάνει την παράγωγο μιας σταθερής συνάρτησης. Για κάθε συνάρτηση που δίνει σταθερή έξοδο, η παράγωγος αυτής της συνάρτησης είναι 0. Αυτό είναι:

Εφόσον μια σταθερή συνάρτηση δίνει μόνο την ίδια έξοδο, δεν αλλάζει ποτέ, επομένως ο ρυθμός μεταβολής της είναι πάντα 0. Επομένως, αν ƒ(x)=7 τότε ƒ'(x)=0.

Στη συνέχεια, η γενίκευση της προηγούμενης διαδικασίας εξαγωγής της παραγώγου του x σε οποιοδήποτε πολυωνύμου nου βαθμού μας δίνει έναν γενικό κανόνα για την εύρεση της παραγώγου των πολυωνυμικών όρων:

Αυτό ονομάζεται κανόνας ισχύος και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των παραγώγων πολυωνύμων πολλαπλών βαθμών. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα ισχύος, μπορούμε να προσδιορίσουμε ότι η παράγωγος του x είναι 3x, η παράγωγος του x είναι 4x και ούτω καθεξής.

Για τις εκθετικές συναρτήσεις, μπορεί κανείς να βρει την παράγωγο πολλαπλασιάζοντας την ίδια τη συνάρτηση με το φυσικό ημερολόγιο της βάσης. Αυτό είναι:

Αυτό ονομάζεται κανόνας εκθέτη . Ο κανόνας εκθέτη είναι μια πιο γενικευμένη εκδοχή του ειδικού κανόνα για την εύρεση της παραγώγου του e. Από όλες τις συναρτήσεις, f(x)=e είναι η μόνη συνάρτηση της οποίας η παράγωγος είναι η ίδια. Δηλαδή, η κλίση όλων των ευθειών που εφάπτονται στο γράφημα e είναι απλώς e.

Οι τέσσερις παραπάνω εκφράσεις είναι οι πιο συνηθισμένοι κανόνες για την εύρεση των παραγώγων των παραστάσεων. Επιπλέον, υπάρχουν κανόνες που διέπουν το συνδυασμό των συναρτήσεων και των παραγώγων τους. Για παράδειγμα, υπάρχει ο κανόνας αθροίσματος που είναι:

Ο κανόνας του αθροίσματος μας λέει ότι αν κάποια συνάρτηση h είναι το άθροισμα δύο άλλων συναρτήσεων f και g, τότε η παράγωγος του h είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων των f και g. Ο κανόνας του αθροίσματος μας επιτρέπει να βρούμε την παράγωγο κάθε όρου σε μια πολυωνυμική εξίσωση και να τα προσθέσουμε μαζί για να πάρουμε τη συνολική παράγωγο. Για παράδειγμα, φανταστείτε ƒ(x)=x+4x-3x. Ο κανόνας του αθροίσματος μας λέει ότι η παράγωγος αυτής της συνάρτησης θα είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων των συναρτήσεών της που την αποτελούν, οπότε ƒ'(x)=3x+8x-3

Ακολουθεί ο κανόνας προϊόντος , που δίνουν τύπο για την εύρεση των παραγώγων του γινομένου των συναρτήσεων. Ο κανόνας προϊόντος είναι:

Ο κανόνας γινομένου μας λέει ότι η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων είναι ίση με την πρώτη συνάρτηση επί την παράγωγο της δεύτερης, συν η δεύτερη συνάρτηση επί την παράγωγο της πρώτης. Άρα η παράγωγος του ƒ(x)=sin(x)x ​​θα ήταν ƒ'(x)=sin(x)2x + xcos(x). Μπορείτε να θυμάστε αυτήν τη σειρά του κανόνα προϊόντος με τη μνημονική "αριστερά δεξιά, δεξιά δεξιά αριστερά" (LDR RDL)

Τέλος είναι ο κανόνας της αλυσίδας , που περιγράφει την παράγωγο μιας σύνθεσης συναρτήσεων. Εάν κάποια συνάρτηση είναι η σύνθεση δύο άλλων, τότε ο κανόνας της αλυσίδας μας λέει ότι η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης είναι ίση με την παράγωγο της πρώτης συνάρτησης όταν αξιολογείται σε g(x), πολλαπλασιαζόμενη με την παράγωγο της g(x). Συμβολικά αυτό είναι:

Ο κανόνας της αλυσίδας μας επιτρέπει να βάλουμε μια συνάρτηση μέσα σε μια συνάρτηση και δίνει την παράγωγο αυτής της σύνθετης συνάρτησης.

Χρησιμοποιώντας αυτούς τους κανόνες, μπορεί κανείς να υπολογίσει τις παραγώγους των περισσότερων τυπικών πολυωνυμικών εξισώσεων. Ορισμένες συναρτήσεις είναι πιο περίπλοκες, αλλά μια σταθερή εφαρμογή των παραπάνω κανόνων θα σας επιτρέψει να ξεφλουδίσετε τα επίπεδα οποιασδήποτε συνάρτησης με πραγματική αξία για να εξαγάγετε την παράγωγή της.