Αρχές Καταμέτρησης
Μια εκτός κλάδου των μαθηματικών, η συνδυαστική επικεντρώνεται αποκλειστικά στη μελέτη μετρήσιμων και πεπερασμένων διακριτών αντικειμένων. Η συνδυαστική μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί στη στατιστική φυσική, την επιστήμη των υπολογιστών και τη βελτιστοποίηση. Ενώ είναι γενικά δυνατό να μετρηθεί ο αριθμός των εξόδων που μπορεί να προκύψουν από ένα συμβάν ρίχνοντας μια ματιά σε κάθε πιθανό αποτέλεσμα, αυτή η μέθοδος είναι αναποτελεσματική όταν πρόκειται για μεγάλο αριθμό αποτελεσμάτων. Εδώ χρησιμοποιείται η αρχή της μέτρησης.
Σκεφτείτε μια κατάσταση όπου σας δίνεται η επιλογή Α με τρεις επιλογές, Α1, Α2 και Α3 και η επιλογή Β με μόνο δύο επιλογές, Β1 και Β2. Εάν πρέπει πρώτα να κάνετε μια επιλογή από την επιλογή Α και μετά από την επιλογή Β, ο συνολικός αριθμός των δυνατών αποτελεσμάτων μπορεί να είναι 3 x 2 =6. Έτσι, τα συνολικά αποτελέσματα είναι A1 B2, A2 B1, A2 B2, A3 B1, A3 B2.
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις βασικές αρχές της μέτρησης δημιουργώντας ένα δέντρο αποφάσεων για να φτάσετε σε αυτά τα έξι αποτελέσματα. Το δέντρο αποφάσεων είναι βασικά ένα γράφημα που θα μοντελοποιήσει τα πιθανά αποτελέσματα σε κάθε στάδιο του πειράματός σας. Για να δημιουργήσετε ένα δέντρο αποφάσεων, θα πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε τον αριθμό των αποφάσεων που θα λάβετε. Στο παραπάνω παράδειγμα, μπορούν να ληφθούν μόνο δύο πιθανές αποφάσεις.
- Μπορείτε να επιλέξετε ένα αποτέλεσμα από την επιλογή Α.
- Μπορείτε να επιλέξετε ένα αποτέλεσμα από την επιλογή Β.
Στο επόμενο βήμα, θα σας ζητηθεί να σκεφτείτε τις δυνατότητες που μπορεί να προκύψουν από την πρώτη επιλογή, η οποία, στην περίπτωσή μας, είναι τρεις, και τον αριθμό των πιθανοτήτων που μπορεί να προκύψουν από τη δεύτερη επιλογή, η οποία, στην περίπτωσή μας, είναι δύο. Έτσι, σύμφωνα με τη θεμελιώδη αρχή της μέτρησης, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους δύο αριθμούς για να λάβετε τον τελικό συνολικό αριθμό αποτελεσμάτων που μπορεί να προκύψουν από την κατάσταση.
Τύποι μετάθεσης και συνδυασμού
Ένας άλλος τύπος καταμέτρησης μπορεί να προκύψει όταν σας έχει δοθεί ένας ορισμένος αριθμός αντικειμένων και σας ζητήθηκε να επιλέξετε μερικές ή όλες τις επιλογές και πρέπει να γνωρίζετε τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορείτε να το κάνετε αυτό. Για παράδειγμα, φανταστείτε μια κατάσταση όπου ένας δάσκαλος έχει μια τάξη με 30 μαθητές χωρισμένο σε ομάδες των πέντε για να κάνει μια παρουσίαση. Τώρα ο δάσκαλος θέλει να μάθει τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορεί να συμβεί. Αυτή η κατάσταση μπορεί να λυθεί με τύπους συνδυασμού και μετάθεσης. Ωστόσο, η μόνη διαφορά μεταξύ της μετάθεσης και του συνδυασμού έγκειται στο αν έχει σημασία ή όχι η σειρά μέσω της οποίας επιλέγετε αντικείμενα. Έτσι η σημασία των βασικών αρχών της μέτρησης είναι αναμφισβήτητη.
Εάν ο δάσκαλος προσπαθεί να επιλέξει μια ομάδα για να δημιουργήσει μια παρουσίαση, θα είναι πρόβλημα συνδυασμού, καθώς η σειρά δεν θα έχει σημασία εδώ.
Εάν ο δάσκαλος χρειαστεί να επιλέξει τους κατόχους της πρώτης, δεύτερης και τρίτης θέσης στον διαγωνισμό της έκθεσης επιστήμης, θα είναι πρόβλημα μετάθεσης, καθώς η σειρά δεν θα έχει σημασία εδώ.
Το παραγοντικό σύμβολο "!" χρησιμοποιείται για τον πολλαπλασιασμό κάθε φυσικού αριθμού, συμπεριλαμβανομένου αυτού του ίδιου του ακέραιου αριθμού. Έτσι, 5! θα είναι 5, 4, 3, 2, 1. Αυτό το παραγοντικό σύμβολο χρησιμοποιείται συνήθως με τύπους μετάθεσης και συνδυασμού.
Μπορούν να χρησιμοποιηθούν αρκετοί τύποι με την έννοια της μετάθεσης και του συνδυασμού.
Ωστόσο, υπάρχουν δύο βασικοί τύποι:
Ο τύπος της μετάθεσης:Η μετάθεση αναφέρεται στην επιλογή αντικειμένων "r" που επιλέγονται από ένα σύνολο n αντικειμένων που δεν έχουν επανάληψη και όπου η σειρά πρέπει να έχει σημασία.
nPr =( n ! ) / (n – r ) !
Ο τύπος του συνδυασμού:Συνδυασμός είναι όταν η επιλογή των αντικειμένων "r" από μια ομάδα αντικειμένων "n" δεν έχει επανάληψη, οπότε η σειρά δεν έχει σημασία.
nCr =nPr / r ! =n ! / r ! (n – r) !
Επίλυση προβλημάτων με βάση τους τύπους μετάθεσης και συνδυασμού
Εάν πρόκειται να ταξιδέψετε με τέσσερις φίλους σε ένα όχημα που μπορεί να χωρέσει μόνο πέντε άτομα, ποιος είναι ο συνολικός αριθμός διαφορετικών τρόπων με τους οποίους κάθε άτομο μπορεί να καθίσει στο όχημα, εάν οδηγείτε εσείς;
Λύση. Η θεμελιώδης αρχή της μέτρησης είναι πολύ χρήσιμη σε τέτοιες καταστάσεις. Καθώς το ίδιο άτομο θα καταλαμβάνει συνεχώς τη θέση του οδηγού, μόνο τέσσερις επιλογές μπορούν να προκύψουν στη θέση του συνοδηγού. Όταν αυτό το άτομο καθίσει στη θέση του συνοδηγού, απομένουν μόνο τρεις άλλες επιλογές για την επόμενη διαθέσιμη θέση. Η ίδια διαδικασία θα συνεχιστεί μέχρι να μείνει μόνο ένα άτομο με μόνο μία θέση.
Επομένως, 1. 4. 3. 2. 1. =24.
Ο συνολικός αριθμός διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορεί να καθίσει κάθε άτομο στο όχημα εάν ο οδηγός παραμένει ίδιος είναι 24.
Συμπέρασμα
Συνδυαστική είναι η μελέτη μετρήσιμων και πεπερασμένων διακριτών αντικειμένων. Η συνδυαστική μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί στη στατιστική φυσική, την επιστήμη των υπολογιστών και τη βελτιστοποίηση. Η μετάθεση είναι η επιλογή των αντικειμένων "r" που έχουν επιλεγεί από ένα σύνολο n αντικειμένων που δεν έχουν επανάληψη και όπου η σειρά πρέπει να έχει σημασία. Ο συνδυασμός είναι όταν η επιλογή των αντικειμένων "r" από μια ομάδα αντικειμένων "n" δεν έχει επανάληψη, οπότε η σειρά δεν έχει σημασία.
