Μέση τιμή AC

Τι είναι το εναλλασσόμενο ρεύμα;

Το εναλλασσόμενο ρεύμα είναι ένας τύπος ηλεκτρικού ρεύματος στο οποίο η κατεύθυνση και το μέγεθος του ρεύματος αλλάζουν στο χρόνο. Ο αριθμός των φορών που συμβαίνει αυτό σε 1 δευτερόλεπτο ονομάζεται συχνότητα του εναλλασσόμενου ρεύματος. Εναλλασσόμενο ρεύμα είναι ο τρόπος με τον οποίο το ρεύμα μεταφέρεται σε μεγάλες αποστάσεις. Αυτό συμβαίνει επειδή υπάρχει συγκριτικά μικρότερη απώλεια ισχύος σε αυτόν τον τρόπο μεταφοράς σε σύγκριση με αυτόν του DC.

Το εναλλασσόμενο ρεύμα μπορεί να είναι πολλών τύπων. Θα μπορούσε να είναι ένα ημιτονοειδές, τετράγωνο κύμα, τριγωνικό κύμα κ.λπ. Μια ημιτονοειδής τάση συνήθως αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση,

V =V0 sin(ωt)

(Εδώ V0 =πλάτος της τάσης, ω =γωνιακή συχνότητα και t =χρόνος )

Μέσος όρος χρόνου μιας συνάρτησης:

Η τιμή του μέσου όρου χρόνου της συνάρτησης f(t) για χρονική περίοδο T δευτερολέπτων μπορεί να αναπαρασταθεί ως

f(t)av =( f(t1) + f(t2) + f(t3) + …… + f(tn))/(t1 + t2 + t3 + …… + tn )

Όπου t1 + t2 + t3 + …… + tn =T

Αυτή είναι η περίπτωση όπου η συνάρτηση είναι διακριτή. Αλλά για την περίπτωση μιας συνεχούς συνάρτησης, ας πούμε μια ημιτονοειδούς συνάρτησης, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ολοκλήρωση σε όλη τη χρονική περίοδο για να βρούμε τη μέση τιμή του χρόνου της συνάρτησης. Μπορούμε να το αναπαραστήσουμε μαθηματικά με τον ακόλουθο τρόπο.

  f(t)av =1T0Tf(t)dt

Η μέση τιμή του εναλλασσόμενου ρεύματος:

Η μέση τιμή του εναλλασσόμενου ρεύματος (AC) μπορεί να ληφθεί με την εύρεση του μέσου όρου χρόνου του ρεύματος σε μια χρονική περίοδο.

Ας εξετάσουμε τώρα ένα εναλλασσόμενο ρεύμα με πλάτος I0 και γωνιακή συχνότητα ω.

Μπορούμε να το αναπαραστήσουμε ως, I =I0sin(ωt) ( t =χρόνος )

Μπορούμε να δούμε ότι η χρονική περίοδος "T" του κύματος είναι 2π/ω.

Τώρα, ας πάρουμε ένα μικρό χρονικό στοιχείο dt. Πρέπει να μάθουμε τη χρέωση που μεταφέρθηκε στη χρονική περίοδο dt. Χρησιμοποιούμε λοιπόν την εξίσωση

dQ =Idt         ( dQ =φορτίο μεταφέρθηκε, I =τρέχον )

Τώρα, πρέπει να βρούμε το συνολικό φορτίο που μεταφέρθηκε, Q σε έναν κύκλο του εναλλασσόμενου ρεύματος.

Έτσι θα ενσωματώσουμε τώρα το ρεύμα από t =0 σε t =T, όπου T είναι η συνολική χρονική περίοδος.

Επομένως Q =0TIdt

⇒ Q =t=0t=TI0sin (ωt)dt

Σε t =T, η τιμή του ωt γίνεται 2π. Ας αντικαταστήσουμε λοιπόν το ωt με μια μεταβλητή k. Επομένως, η εξίσωση γίνεται τώρα, 

⇒ Q =1ω 02πI0sin (k)dk

⇒ Q =1ω I002πsin (k)dk =0

Ως εκ τούτου, δεν μπορούμε να ενσωματώσουμε σε ολόκληρο τον κύκλο για να βρούμε τη συνολική χρέωση που μεταφέρθηκε.

Μπορούμε να το πούμε αυτό κοιτάζοντας το γράφημα, όπου το πρώτο μισό έχει το ρεύμα θετικό και το δεύτερο μισό το ρεύμα αρνητικό. Έτσι, το άθροισμά τους θα γινόταν μηδέν.

Δεδομένου ότι το συνολικό ρεύμα που μεταφέρεται στη συνολική χρονική περίοδο είναι μηδέν, δεν μπορούμε να βρούμε τη μέση τιμή του εναλλασσόμενου ρεύματος. Αλλά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια άλλη μέθοδο για να υπολογίσουμε αυτήν την τιμή.

Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση του εναλλασσόμενου ρεύματος είναι ημιτονοειδής όσο και συμμετρική. Μπορούμε λοιπόν να βρούμε την τιμή του μισού και να την πολλαπλασιάσουμε αλλά το 2 για να πάρουμε το συνολικό φορτίο που μεταφέρεται σε έναν κύκλο. Έτσι, η συνολική φόρτιση που μεταφέρεται σε μισό κύκλο θα δίνεται από,

Q’ =  t=0t=T/2I0sin(ωt)dt

⇒   Q’  =  1ω0πI0sin(m)dm (αντικαθιστώντας το ωt με m)

⇒   Q’  =(I0/ω) 0πsin(m)dm

⇒   Q’  =-(I0/ω) (cos(π) – cos(0))

⇒   Q’  =2 x (I0/ω)

Τώρα, γνωρίζουμε ότι το ω δίνεται από το ω =(2π)/T. Επομένως, η εξίσωση γίνεται τώρα,

  Q’  =2 x (I0/(2π)/T)

  ⇒   Q’  =(I0T)/π

Και τα δύο μισά, θα μεταφερθεί η συνολική χρέωση σε 

    Q =(2I0T)/π

Τώρα, για να βρούμε τη μέση χρονική τιμή του εναλλασσόμενου ρεύματος, διαιρούμε τη συνολική φόρτιση που μεταφέρεται με τη συνολική χρονική περίοδο. Επομένως,

  =2I 0/π

Ας εξετάσουμε τώρα ένα αναγνωριστικό DC έτσι ώστε αυτό το ρεύμα να μεταφέρει το ίδιο ποσό φόρτισης με το AC στο χρονικό διάστημα T.

Ως εκ τούτου,   Id =Q/T

Μπορούμε τώρα να εξισώσουμε και τα δύο και I d για να πάρετε,

Id =((2I0T)/π)/T

⇒ Id =2I0 / π

Τώρα, η τιμή του Id ονομάζεται μέση τιμή του AC. Μπορούμε να το αντιπροσωπεύσουμε με τον όρο Iav.

Ως εκ τούτου, Iav =2I0 / π

Επομένως, η μέση τιμή του AC δίνεται πολλαπλασιάζοντας την τιμή του μέγιστου ρεύματος με 2/π.

Σημείωση:Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτήν τη μέθοδο για να βρούμε τη μέση τιμή του AC και για άλλους τύπους συναρτήσεων.

Συμπέρασμα: 

Το AC είναι ένας τύπος ρεύματος όπου η τιμή της τάσης και του ρεύματος ποικίλλει ημιτονοειδώς. Για να βρούμε τον μέσο όρο χρόνου μιας συνάρτησης, την ενσωματώνουμε στη χρονική περίοδο και τη διαιρούμε με τη χρονική περίοδο. Δεν μπορούμε να ολοκληρώσουμε τη συνολική χρονική περίοδο ενός ημιτονοειδούς κύματος, αντ' αυτού, το ενσωματώνουμε κατά τη διάρκεια του ημιχρόνου και το πολλαπλασιάζουμε επί δύο. Η μέση τιμή του AC δίνεται από την εξίσωση, Iav =2I0 / π.