Μια συμπαγής ομοιογενής σφαίρα κυλούν χωρίς να γλιστρήσει κάτω από ένα επίπεδο που κάνει μια γωνία 30 μοιρών με την οριζόντια εύρεση γραμμικής επιτάχυνσης και ελάχιστου συντελεστή τριβής;
1. Δυνάμεις και ροπές
* βαρυτική δύναμη (MG): Ενεργεί κάθετα προς τα κάτω.
* Κανονική δύναμη (n): Πράξεις κάθετα στο επίπεδο.
* δύναμη τριβής (f): Ενεργεί παράλληλα με το αεροπλάνο, αντίθετα στην κίνηση.
2. Δωρεάν διάγραμμα σώματος
Σχεδιάστε ένα ελεύθερο διάγραμμα σώματος της σφαίρας, δείχνοντας αυτές τις δυνάμεις. Επιλύστε τη βαρυτική δύναμη σε συστατικά παράλληλα και κάθετα στο επίπεδο:
* mg sin (30 °): Συστατικό παράλληλο με το επίπεδο.
* mg cos (30 °): Συστατικό κάθετο στο επίπεδο.
3. Εξισώσεις κίνησης
* Γραμμική κίνηση: Εφαρμόστε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα προς την κατεύθυνση παράλληλη με το αεροπλάνο:
* Σf =MA
* mg sin (30 °) - f =ma
* περιστροφική κίνηση: Εφαρμόστε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για περιστροφή σχετικά με το κέντρο της σφαίρας:
* Σ =ia
* FR =(2/5) MR²α
όπου:
* R είναι η ακτίνα της σφαίρας
* I =(2/5) Το MR² είναι η στιγμή της αδράνειας μιας συμπαγούς σφαίρας
* α είναι η γωνιακή επιτάχυνση
4. Κύλιση χωρίς κατάσταση ολίσθησης
Η σφαίρα κυλά χωρίς ολίσθηση, που σημαίνει ότι η γραμμική επιτάχυνση (α) και η γωνιακή επιτάχυνση (α) σχετίζονται:
* a =αR
5. Επίλυση για επιτάχυνση (α)
Αντικαταστήστε την κυλινδρική κατάσταση χωρίς ολίσθηση στην εξίσωση περιστροφής:
* F =(2/5) MA
Αντικαταστήστε αυτήν την τιμή του «F» στη γραμμική εξίσωση:
* mg sin (30 °) - (2/5) ma =ma
* (7/5) MA =mg sin (30 °)
* a =(5/7) g sin (30 °)
* a =(5/14) g (όπου G είναι η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας)
6. Επίλυση για ελάχιστο συντελεστή τριβής (μ)
Η δύναμη τριβής δίνεται από:
* F =μΝ
* F =μmg cos (30 °)
Βρήκαμε ήδη F =(2/5) MA. Αντικαταστήστε την αξία του 'a' που υπολογίσαμε ακριβώς:
* (2/5) m ((5/14) g) =μmg cos (30 °)
* μ =(2/5) * (5/14)/cos (30 °)
* μ =1/(7√3)
Επομένως:
* Η γραμμική επιτάχυνση της σφαίρας είναι (5/14) g.
* Ο ελάχιστος συντελεστής τριβής που απαιτείται για να κυλήσει η σφαίρα χωρίς ολίσθηση είναι 1/(7√3).
