Κατανόηση του νόμου του Stokes:Drag Force on Spherical Objects

Ο νόμος της τριβής του Stokes περιγράφει τη δύναμη οπισθέλκουσας που ενεργεί σε ένα σφαιρικό σώμα γύρω από το οποίο διέρχεται μια στρωτή ροή.

Αντίσταση ροής και συντελεστής οπισθέλκουσας

Όταν ένα ρευστό (υγρό ή αέριο) ρέει γύρω από ένα σώμα, το υγρό ασκεί μια δύναμη τριβής στο σώμα. Κατ' αρχήν, δεν έχει σημασία αν το σώμα είναι σε ηρεμία και το υγρό ρέει γύρω του ή το αντίστροφο:το υγρό βρίσκεται σε ηρεμία και το σώμα κινείται μέσα από το υγρό. Ένα σώμα που κινείται σε σχέση με ένα περιβάλλον ρευστό υφίσταται έτσι μια δύναμη τριβής. Αυτή η δύναμη τριβής ονομάζεται επίσης έλξη ροής.

Γενικά, η δύναμη οπισθέλκουσας Fd ενός σώματος μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή{στοίχιση}
\label{f}
&\boxed{F_\text{d} =\frac{1}{2}~\rho~v_\infty^2~A~ c_\text{d}} \\[5px]
\end{align}

Σε αυτόν τον τύπο το ϱ υποδηλώνει την πυκνότητα του ρευστού, δηλαδή όσο πιο πυκνό είναι το ρευστό, τόσο μεγαλύτερη είναι η αντίσταση. Επομένως, ένα αντικείμενο που κινείται μέσω του αέρα θα έχει μικρότερη αντίσταση από ένα αντικείμενο που κινείται μέσα στο νερό.

Επιπλέον, η οπισθέλκουσα εξαρτάται από την ταχύτητα v∞ με την οποία το αντικείμενο κινείται σε σχέση με το περιβάλλον υγρό ή από την ταχύτητα με την οποία το ρευστό ρέει γύρω από το σώμα. Στην τελευταία περίπτωση, η ταχύτητα αναφέρεται στην ταχύτητα της αδιατάρακτης ροής (ελεύθερη ροή), δηλαδή στην ταχύτητα σε αρκετά μεγάλη απόσταση από το σώμα γύρω από το οποίο ρέει το ρευστό. Η αντίσταση είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας ροής. Επομένως, διπλάσια ταχύτητα σημαίνει τετραπλάσια αύξηση της δύναμης οπισθέλκουσας.

Η περιοχή Α του σώματος που δείχνει προς την κατεύθυνση ροής (προβαλλόμενη περιοχή ) έχει επίσης καθοριστική επιρροή στην οπισθέλκουσα. Μπορεί κανείς να φανταστεί ότι το αντικείμενο φωτίζεται από μια λάμπα στην κατεύθυνση ροής. Η προκύπτουσα σκιά που ρίχνεται σε έναν τοίχο πίσω από το αντικείμενο θα αντιστοιχεί στη συνέχεια στην προβαλλόμενη περιοχή A.

Εικόνα:Προβλεπόμενη περιοχή ενός αυτοκινήτου για τον προσδιορισμό της αντίστασης του αέρα

Η προβαλλόμενη περιοχή περιγράφει μόνο το μέγεθος της επιφάνειας του σώματος που εκτίθεται στη ροή, αλλά όχι το ακριβές σχήμα της. Ωστόσο, το σχήμα είναι καθοριστικής σημασίας όταν πρόκειται για αντίσταση ροής. Για παράδειγμα, η οπισθέλκουσα ενός κοίλου ημισφαιρίου είναι σχεδόν τέσσερις φορές μεγαλύτερη όταν η ροή είναι ενάντια στην κοίλη πλευρά από ότι όταν η ροή είναι ενάντια στην κυρτή πλευρά του ημισφαιρίου, αν και η προβαλλόμενη περιοχή είναι προφανώς η ίδια και στις δύο περιπτώσεις. Αυτή η επίδραση του σχήματος του σώματος στην οπισθέλκουσα εκφράζεται με έναν αδιάστατο συντελεστή οπισθέλκουσας cd.

Εικόνα:Συντελεστές σύρσεως διαφορετικών σωμάτων

Συντελεστής οπισθέλκουσας σφαιρικών σωμάτων σε στρωτές ροές

Οι συντελεστές οπισθέλκουσας των γεωμετρικά πολύπλοκων αντικειμένων καθορίζονται συνήθως από πειράματα σε αεροσήραγγα ή κανάλια νερού. Ωστόσο, για σχετικά απλά γεωμετρικά σχήματα, όπως λείες σφαίρες, οι επιστήμονες προσπάθησαν να υπολογίσουν τους συντελεστές οπισθέλκουσας υπό απλουστευμένες συνθήκες. Ο επιστήμονας Κάσκας ανέπτυξε τον ακόλουθο τύπο για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό του συντελεστή οπισθέλκουσας των σφαιρικών σωμάτων σε στρωτές ροές:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{c_\text{d} =\frac{24}{Re} +\frac{4}{\sqrt{Re}}+0,4}~~Re<2\cdot 10^5 \\[5px]
\end{align}

Σε αυτή την εξίσωση, το Re υποδηλώνει την αδιάστατη ταχύτητα ροής ως προς τον αριθμό Reynolds. Για τα σφαιρικά σώματα, ο αριθμός Reynolds καθορίζεται από την ταχύτητα ροής v∞, την πυκνότητα ϱ του ρευστού και το δυναμικό του ιξώδες η και τη διάμετρο d της σφαίρας ως χαρακτηριστικό μήκος :

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{Re =\frac{v_\infty~d~\rho}{\eta}} \\[5px]
\end{align}

Νόμος τριβής του Stokes για μικρούς αριθμούς Reynolds

Παρά τη στρωτή ροή, ο διαχωρισμός ροής (διαχωρισμός οριακού στρώματος) και δίνες σχηματίζονται συνήθως πίσω από ένα σφαιρικό σώμα, το οποίο σε υψηλούς αριθμούς Reynolds έχει ως αποτέλεσμα μια τυρβώδη αφύπνιση. Το παρακάτω σχήμα δείχνει μια σχηματική απλοποιημένη εικόνα μιας στρωτής ροής γύρω από μια μπάλα με τυρβώδη αφύπνιση.

Εικόνα:Στρωτή ροή γύρω από μια σφαίρα με τυρβώδη αφύπνιση

Μόνο σε χαμηλές ταχύτητες ροής, όπου ο αριθμός Reynolds είναι μικρότερος από 1, μπορεί να υποτεθεί ένα συμμετρικό σχέδιο εξορθολογισμού. Μια τέτοια ροή ονομάζεται επίσης έρπουσα ροή και είναι πλήρως προσκολλημένο στη σφαίρα και δεν σχηματίζει στροβιλισμούς στην κατάντη πλευρά. Σε αυτήν την περίπτωση, ο επιστήμονας Stokes μπόρεσε να εξαγάγει τον ακόλουθο τύπο για τον προσδιορισμό του συντελεστή οπισθέλκουσας από τις εξισώσεις Navier-Stokes:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{c_\text{d} =\frac{24}{Re} }~~Re<1 \\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Εντελώς στρωτή ροή γύρω από μια σφαίρα

Η φόρμουλα του Κάσκα δεν έρχεται σε αντίθεση με τη φόρμουλα του Στόουκς. Για μικρούς αριθμούς Reynolds οι δύο τελευταίοι όροι στον τύπο του Kaskas είναι αμελητέοι σε σύγκριση με τον πρώτο όρο. Έτσι η τιμή από τον τύπο του Κάσκας πλησιάζει όλο και περισσότερο την τιμή οπισθέλκουσας, η οποία προκύπτει από τον τύπο του Στόουκς. Εάν ο τύπος του Stokes χρησιμοποιείται στην εξίσωση (\ref{f}), η ακόλουθη σχέση προκύπτει για τη δύναμη οπισθέλκουσας μιας εντελώς στρωτής ροής γύρω από μια σφαίρα:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&F_\text{d} =\frac{1}{2}~\rho~v_\infty^2~\color{red}{A}~ \color{blue}{c_\text{d}} \\[5px]
&F_\text{d} =\frac{1}{2}~\rho~v_\infty^2~\color{red}{\frac{\pi}{4}d^2}~ \color{blue}{\frac{24}{Re}} \\[5px]
&F_\text{d} =\frac{1}{2}~\bcancel{\rho}~v_\infty^\bcancel{2}~\frac{\pi}{4}d^\bcancel{2}~ \frac{24~\eta}{\bcancel{v_\infty}~\bcancel{d}\r~\bcancel
&F_\text{d} =\frac{1}{2}~v_\infty~\frac{\pi}{4}d~ 24~\eta \\[5px]
&F_\text{d} =3\pi~\eta~v_\infty~d \\[5px]
&\boxed{F_\text{d} =6\pi~\eta~v_\infty~r} ~~~\text{Νόμος της τριβής του Stokes}\\[5px]
\end{align}

Η αντίσταση ροής ενός σφαιρικού σώματος που προκαλείται από μια στρωτή ροή εξαρτάται από το ιξώδες του ρευστού η, την ταχύτητα ροής v∞ και την ακτίνα r της σφαίρας. Σημειώστε ότι η ταχύτητα ροής δεν επηρεάζει πλέον την αντίσταση με το τετράγωνο της ταχύτητας, αλλά μόνο αναλογικά!

Ο νόμος της τριβής του Stokes για στρωτές ροές γύρω από σφαιρικά σώματα δηλώνει ότι η δύναμη έλξης είναι ανάλογη με το ιξώδες του ρευστού, την ταχύτητα ροής και την ακτίνα της σφαίρας!

Η σχέση μεταξύ του ιξώδους ενός ρευστού και της οπισθέλκουσας που προκαλείται σε μια σφαίρα χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, στα λεγόμενα ιξωδόμετρα πτώσης σφαίρας, προκειμένου να εξαχθούν συμπεράσματα σχετικά με το ιξώδες ενός ρευστού με βάση την ταχύτητα βύθισης μιας σφαίρας.

Σχήμα:Αρχή των ιξωδομέτρων της πτώσης της σφαίρας