Υδροστατική πίεση:Κατανόηση της πίεσης σε υγρά

Η πίεση σε ένα ορισμένο βάθος ενός υγρού, η οποία προκαλείται από το βάρος της στήλης υγρού πάνω από αυτό, αναφέρεται ως υδροστατική πίεση!

Εισαγωγή

Με τον ίδιο τρόπο που τα σωματίδια στα αέρια ασκούν πίεση στις διεπιφάνειες, τα σωματίδια στα υγρά ασκούν επίσης πίεση. Σε σύγκριση με ένα αέριο, ωστόσο, ένα υγρό έχει σχετικά υψηλή πυκνότητα. Στην πράξη, αυτό οδηγεί σε ένα ιδιαίτερο φαινόμενο:η πίεση στα υγρά αυξάνεται όλο και περισσότερο με την αύξηση του βάθους. Αυτό οφείλεται στη στήλη υγρού που βρίσκεται πάνω από το εξεταζόμενο βάθος, η οποία ασκεί πρόσθετη δύναμη λόγω του βάρους της. Κατ' αρχήν, αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως πίεση επαφής της υγρής στήλης. Στην τεχνική ορολογία, αυτή η πίεση ενός υγρού λόγω του βάρους του ονομάζεται υδροστατική πίεση .

Παραγωγή της υδροστατικής πίεσης

Η πίεση επαφής

Προκειμένου να κατανοηθεί καλύτερα ο σχηματισμός της υδροστατικής πίεσης, εξετάζεται πρώτα ένα κυλινδρικό τεμάχιο πάγου με εμβαδόν διατομής Α. Αυτή η στήλη πάγου έχει μια ορισμένη μάζα m και επομένως ένα ορισμένο βάρος FG=m⋅g. Με αυτό το βάρος η στήλη πάγου πιέζει το έδαφος κάτω από αυτήν. Η πίεση επαφής που προκαλείται από τη στήλη πάγου υπολογίζεται από το πηλίκο του βάρους και της επιφάνειας επαφής σύμφωνα με τον ορισμό της πίεσης:

\αρχή{στοίχιση}
\label{p}
&p =\frac{F_G}{A}=\frac{m \cdot g}{A} \\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Πίεση επαφής στήλης πάγου

Με βάση αυτόν τον τύπο, θα μπορούσε κανείς να σκεφτεί σε αυτό το σημείο ότι η πίεση επαφής εξαρτάται από την περιοχή της διατομής. Δεν είναι όμως έτσι! Εάν το εμβαδόν της διατομής της στήλης πάγου διπλασιαστεί στο ίδιο ύψος, διπλασιάζεται και η μάζα. Άρα ο παρονομαστής στην εξίσωση (\ref{p}) αυξάνεται με τον ίδιο τρόπο με τον αριθμητή. Επομένως, το πηλίκο παραμένει σταθερό. Σε αυτό το σημείο μπορεί κανείς να φανταστεί την παχιά στήλη πάγου απλώς ως δύο λεπτές στήλες πάγου. Κάθε ένα από τα μισά προκαλεί την ίδια πίεση επαφής, ανεξάρτητα από το αν εξετάζονται χωριστά ή ως σύνολο.

Εικόνα:Απεικόνιση της ανεξαρτησίας της πίεσης επαφής από το μέγεθος της περιοχής επαφής

Η ανεξαρτησία της πίεσης επαφής από το εμβαδόν της επιφάνειας επαφής μπορεί επίσης να παρουσιαστεί μαθηματικά. Για αυτό η μάζα της στήλης πάγου εκφράζεται από την πυκνότητα ϱ και τον όγκο της V (m=V⋅ϱ), οπότε ο όγκος μπορεί να υπολογιστεί από την περιοχή διατομής A και το ύψος h της στήλης πάγου (V=A⋅h):

\αρχή{στοίχιση}
\label{m}
&m =V \cdot \rho =A \cdot h \cdot \rho \\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Υπολογισμός της μάζας της στήλης πάγου

Εάν η εξίσωση (\ref{m}) χρησιμοποιείται τώρα στην εξίσωση (\ref{p}), γίνεται σαφές ότι η πίεση επαφής είναι ανεξάρτητη από την επιφάνεια επαφής και εξαρτάται μόνο από την πυκνότητα του πάγου και το ύψος της στήλης πάγου:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&p =\frac{m \cdot g}{A} =\frac{ \bcancel{A} \cdot h \cdot \rho \cdot g}{\bcancel{A}} \\[5px]
\label{pp}
&\underline{p =h \cdot \rho \cdot g} \\[5px]
\end{align}

Από την πίεση επαφής στην υδροστατική πίεση

Κατ' αρχήν, η στήλη πάγου μπορεί επίσης να εγκλειστεί σε ένα κυλινδρικό δοχείο. Αυτό δεν θα αλλάξει την πίεση επαφής με την οποία πιέζει ο πάγος στον πυθμένα του δοχείου. Σε ένα περαιτέρω βήμα, ο πάγος μπορεί επίσης να λιώσει. Αυτό επίσης δεν αλλάζει την πίεση επαφής, καθώς η μάζα του νερού δεν αλλάζει κατά την τήξη. Το βάρος με το οποίο πιέζει το νερό στον πυθμένα του δοχείου παραμένει επομένως το ίδιο και οδηγεί σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{p}) στην ίδια πίεση επαφής (σημειώστε ότι κατά την τήξη η πυκνότητα του νερού αυξάνεται, αλλά ως αποτέλεσμα μειώνεται το ύψος της στήλης του νερού).

Εικόνα:Από την πίεση επαφής του παγωμένου νερού στην υδροστατική πίεση του υγρού νερού

Η πίεση στο κάτω μέρος του δοχείου προκαλείται έτσι από το βάρος της στήλης νερού από πάνω του, ανεξάρτητα από το αν είναι παγωμένο ή όχι! Αυτή η πίεση σε ένα υγρό, η οποία προκαλείται από την παραπάνω στήλη υγρού, ονομάζεται επίσης υδροστατική πίεση ph:

\αρχή{στοίχιση}
\label{h}
&\boxed{p_h =h \cdot \rho \cdot g} ~~~\text{υδροστατική πίεση} \\[5px]
\end{align}

Η πίεση σε ένα ορισμένο βάθος ενός υγρού, η οποία προκαλείται από το βάρος της στήλης υγρού πάνω από αυτό, αναφέρεται ως υδροστατική πίεση!

Όπως έχει ήδη εξηγηθεί λεπτομερώς στο πλαίσιο της πίεσης επαφής, η υδροστατική πίεση δεν εξαρτάται από το μέγεθος της περιοχής διατομής της στήλης υγρού. Η υδροστατική πίεση εξαρτάται μόνο από το ύψος της στήλης του υγρού!

Η υδροστατική πίεση εξαρτάται μόνο από το ύψος της στήλης του υγρού!

Επίδραση της υδροστατικής πίεσης σε σύγκριση με την πίεση επαφής

Η υδροστατική πίεση ενός υγρού προφανώς δεν διαφέρει σε μέγεθος από την πίεση επαφής ενός παγωμένου υγρού , αλλά υπάρχει μια διαφορά. Αυτό μπορεί να φανεί τοποθετώντας ένα φουσκωμένο μπαλόνι στο κάτω μέρος του δοχείου.

Εικόνα:Επίδραση πίεσης της υδροστατικής πίεσης σε σύγκριση με την πίεση επαφής

Στην περίπτωση της στήλης πάγου, η πίεση επαφής που προκύπτει δρα μόνο προς τα κάτω και συμπιέζει το μπαλόνι σε ύψος. Η υδροστατική πίεση του υγρού, από την άλλη πλευρά, δρα εξίσου προς κάθε κατεύθυνση (βλ. επίσης άρθρο Πίεση). Σε αυτή την περίπτωση, το μπαλόνι συμπιέζεται ομοιόμορφα από όλες τις πλευρές!

Το γεγονός ότι η πίεση σε υγρά (ή αέρια) έχει την ίδια επίδραση προς όλες τις κατευθύνσεις φαίνεται επίσης από το γεγονός ότι το νερό σε ένα δοχείο πιέζεται ακόμη και προς τα πλάγια μέσω μιας εξόδου, αν και το βάρος της στήλης του νερού δρα προς τα κάτω.

Εικόνα:Εκροή νερού μέσω πλευρικής εξόδου

Εξάρτηση της υδροστατικής πίεσης από το βάθος

Η υδροστατική πίεση μπορεί να βρεθεί όχι μόνο στον πυθμένα ενός υγρού, αλλά σε οποιοδήποτε ύψος ή βάθος. Και πάλι, μπορεί κανείς να φανταστεί ότι η στήλη υγρού πάνω από το εξεταζόμενο βάθος είναι παγωμένη. Αυτό με τη σειρά του οδηγεί σαφώς σε μια πίεση επαφής με την οποία η παγωμένη στήλη πιέζει τη στήλη υγρού από κάτω. Τώρα αφήνουμε την παγωμένη στήλη να λιώσει ξανά στη σκέψη, κάτι που δεν αλλάζει την υπάρχουσα πίεση στο εξεταζόμενο βάθος. Έτσι, στην εξίσωση (\ref{h}) το ύψος h της στήλης υγρού μπορεί να ερμηνευτεί ως το βάθος κάτω από την επιφάνεια του υγρού.

Εικόνα:Υδροστατική πίεση ανάλογα με το βάθος

Το γεγονός ότι η υδροστατική πίεση αυξάνεται με την αύξηση του βάθους μπορεί να αποδειχθεί ξεκάθαρα. Ένα δοχείο γεμίζεται με νερό για το σκοπό αυτό. Οι έξοδοι μέσω των οποίων μπορεί να ρέει το νερό τοποθετούνται σε διαφορετικά ύψη. Μπορεί κανείς τώρα να δει καθαρά ότι το νερό ρέει πιο έντονα με το αυξανόμενο βάθος. Αυτό οφείλεται στην αυξανόμενη πίεση του νερού λόγω της υδροστατικής πίεσης, η οποία πιέζει το νερό προς τα έξω με μεγαλύτερη ταχύτητα. Εάν τοποθετηθούν μετρητές πίεσης στις εξόδους, η πίεση μπορεί επίσης να μετρηθεί.

Εικόνα:Επίδειξη της αυξανόμενης υδροστατικής πίεσης νερού με την αύξηση του βάθους Κινούμενα σχέδια:Επίδειξη της αυξανόμενης υδροστατικής πίεσης με την αύξηση του βάθους

Θα πρέπει πάντα να λαμβάνεται υπόψη ότι η απόλυτη πίεση σε ένα συγκεκριμένο βάθος δεν καθορίζεται μόνο από την υδροστατική πίεση. Εξάλλου, δεν είναι μόνο το βάρος της στήλης του νερού που προκαλεί την πίεση, αλλά και η ατμοσφαιρική πίεση που ενεργεί στην επιφάνεια του νερού. Η απόλυτη πίεση p σε ένα ορισμένο βάθος προκύπτει επομένως από το άθροισμα της πίεσης περιβάλλοντος p0 και της υδροστατικής πίεσης ph. Αυτό αναφέρεται συχνά ως νόμος του Πασκάλ ή υδροστατική εξίσωση .

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{p =p_0 + p_h} ~~~\text{απόλυτη πίεση} \\[5px]
\end{align}

Σχήμα:Ολική πίεση σε δεδομένο βάθος ως το άθροισμα της πίεσης περιβάλλοντος και της υδροστατικής πίεσης

Υδροστατικό παράδοξο

Έχει ήδη εξηγηθεί ότι το εμβαδόν της διατομής μιας υγρής στήλης δεν επηρεάζει την υδροστατική πίεση. Το γεγονός ότι όχι μόνο το μέγεθος αλλά και το σχήμα του δοχείου δεν επηρεάζει θα φανεί πειραματικά και θεωρητικά στη συνέχεια.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει τρία δοχεία με διαφορετικά σχήματα. Τα δοχεία γεμίζουν το καθένα με νερό, οπότε το ύψος πλήρωσης είναι το ίδιο σε όλες τις περιπτώσεις. Το εμβαδόν των πυθμένων των δοχείων είναι επίσης το ίδιο σε όλες τις περιπτώσεις. Οι υδροστατικές πιέσεις στο κάτω μέρος μπορούν να συγκριθούν μέσω προσαρτημένων μετρητών πίεσης. Έτσι, μπορεί να εξεταστεί η επίδραση του σχήματος της στήλης του νερού στην υδροστατική πίεση.

Εικόνα:Επίδραση του σχήματος του δοχείου στην υδροστατική πίεση

Θα μπορούσε κανείς τώρα να σκεφτεί ότι η υδροστατική πίεση στο αριστερό δοχείο είναι υψηλότερη λόγω της μεγαλύτερης ποσότητας νερού. Παραδόξως, τα μανόμετρο δείχνουν όλα την ίδια τιμή. Προφανώς το σχήμα του δοχείου δεν επηρεάζει την υδροστατική πίεση. Αυτός είναι και ο λόγος που τα ίδια επίπεδα νερού βρίσκονται παντού σε συνδεδεμένα δοχεία. Λόγω αυτού του γεγονότος, τα σκάφη που έρχονται σε επαφή μεταξύ τους μέσω σωλήνων αναφέρονται επίσης ως αγγεία επικοινωνίας . Περισσότερες πληροφορίες και μια μαθηματική εξαγωγή μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Εφαρμογές και παραδείγματα υδροστατικής πίεσης.

Το σχήμα του δοχείου δεν επηρεάζει την υδροστατική πίεση στο υγρό!

Εκ πρώτης όψεως, αυτό μπορεί να φαίνεται περίεργο, αλλά ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει αυτό το φαινόμενο ζωντανά. Εάν το σχήμα του σκάφους επηρέαζε την υδροστατική πίεση, τότε ο νόμος της διατήρησης της ενέργειας θα παραβιαζόταν, όπως δείχνει το ακόλουθο σκεπτικό πείραμα.

Ενεργειακή σκέψη

Φανταστείτε τα δύο διαφορετικά σχήματα δοχεία. Εάν το σχήμα του δοχείου είχε επίδραση στην υδροστατική πίεση, τότε η πίεση του νερού σε ένα από τα δοχεία θα ήταν μεγαλύτερη από ότι στο άλλο σε ένα κοινό βάθος. Εάν τα δύο δοχεία συνδέονταν σε αυτό το βάθος με έναν σωλήνα, η μεγαλύτερη πίεση νερού σε ένα από τα δοχεία θα προκαλούσε την ώθηση του νερού στο άλλο δοχείο προς τα πάνω.

Εικόνα:Μηχανή αέναης κίνησης πρώτου είδους

Ως αποτέλεσμα, θα υπήρχε διαφορά στη στάθμη του νερού. Το νερό που ωθείται προς τα πάνω μπορούσε τώρα να αφεθεί να ρέει από μια μικρή τουρμπίνα νερού πίσω στο δοχείο με την υψηλότερη υδροστατική πίεση. Ο κύκλος θα ξανάρχιζε από την αρχή. Έτσι, η τουρμπίνα θα λειτουργούσε μόνη της και θα παρήγαγε ενέργεια από το τίποτα. Μια τέτοια μηχανή αέναης κίνησης ωστόσο έρχεται σε αντίθεση με το νόμο της διατήρησης της ενέργειας. Σε αυτό το σημείο γίνεται σαφές ότι το σχήμα του δοχείου προφανώς δεν επηρεάζει την υδροστατική πίεση για ενεργειακούς λόγους.

Εξέταση με ισορροπία δυνάμεων

Το γεγονός ότι το σχήμα της στήλης του νερού δεν επηρεάζει την πίεση του νερού μπορεί επίσης να αποδειχθεί μέσω μιας ισορροπίας δυνάμεων. Το νερό στο δοχείο σε σχήμα χοάνης έχει μεγαλύτερη μάζα και επομένως μεγαλύτερο βάρος, αλλά μέρος του βάρους αντισταθμίζεται από τα κεκλιμένα τοιχώματα του αγγείου. Αν φανταστεί κανείς το νερό παγωμένο ξανά σε αυτό το σημείο, τότε γίνεται αμέσως σαφές ότι τα τοιχώματα ασκούν προφανώς μια υποστηρικτική δύναμη και διατηρούν το παγωμένο νερό στο δοχείο παρά τον πιθανόν ανοιχτό πυθμένα.

Εικόνα:Δυνάμεις στο τοίχωμα του αγγείου λόγω υδροστατικής πίεσης

Ακόμη και σε υγρή κατάσταση, το τοίχωμα του δοχείου διατηρεί τις μάζες του νερού (m) σε ισορροπία με μια δύναμη στήριξης Fs που κατευθύνεται προς τα πάνω. Έτσι, δεν στηρίζεται ολόκληρο το βάρος του νερού στο έδαφος, αλλά μόνο η στήλη νερού πάνω από τον πυθμένα (το υπόλοιπο βάρος καταλαμβάνεται από το τοίχωμα του αγγείου). Ουσιαστικά, αντιμετωπίζουμε την ίδια κατάσταση όπως στην περίπτωση του κυλινδρικού δοχείου.

Επίσης με το κωνικό δοχείο προς τα πάνω, οι δυνάμεις στήριξης ευθύνονται για το γεγονός ότι η πίεση στο κάτω μέρος είναι μεγαλύτερη από ό,τι θα μπορούσε να υποθέσει κανείς λόγω της σχετικά μικρής ποσότητας νερού. Αν εξετάσουμε πρώτα μόνο τη στήλη νερού κάτω από το άνοιγμα του δοχείου (διαγραμμισμένη περιοχή στο αριστερό μέρος του παρακάτω σχήματος), τότε η υδροστατική πίεση σε οποιοδήποτε βάθος μπορεί να υπολογιστεί ως συνήθως (ph=ϱ⋅g⋅h). Αυτή η πίεση δρα εξίσου προς όλες τις κατευθύνσεις. Στο εξεταζόμενο βάθος, αυτή η πίεση πιέζει επίσης τα κεκλιμένα τοιχώματα του δοχείου και έτσι δημιουργεί μια ανοδική δύναμη δράσης Fh.

Εικόνα:Δυνάμεις στο τοίχωμα του αγγείου λόγω υδροστατικής πίεσης

Το γεγονός ότι το νερό πιέζεται προς τα πάνω μπορεί επίσης να γίνει κατανοητό. Αν άνοιγαν τρύπες στο τοίχωμα του δοχείου, το νερό θα ωθούσε προς τα πάνω και θα κυλούσε έξω. Αλλά τα τοιχώματα του δοχείου το εμποδίζουν αυτό με μια δύναμη στήριξης Fs που ενεργεί προς τα κάτω, η οποία είναι προφανώς τόσο μεγάλη όσο η ανοδική δύναμη Fh που προκαλείται από την πίεση του νερού. Το νερό στα κεκλιμένα τοιχώματα του σκάφους υπόκειται έτσι σε μια δύναμη στήριξης προς τα κάτω ίση σε μέγεθος με το βάρος μιας στήλης νερού πάνω από αυτό. Στην πραγματικότητα, πάλι έχουμε να κάνουμε με μια κυλινδρική στήλη νερού, η διάμετρος της οποίας αντιστοιχεί στη διάμετρο του πυθμένα. Το αποτέλεσμα είναι η ίδια κατάσταση όπως στην περίπτωση του κυλινδρικού δοχείου.

Επίδραση αιωρούμενων αντικειμένων στην υδροστατική πίεση

Όχι μόνο το σχήμα του δοχείου, αλλά και η τοποθέτηση ενός επιπλέοντος αντικειμένου στην επιφάνεια του νερού δεν επηρεάζει τον υπολογισμό της υδροστατικής πίεσης σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{pp}). Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα σκάφος με νερό στο οποίο είναι τοποθετημένη μια αιωρούμενη μπάλα.

Εικόνα:Επίδραση του βάρους ενός πλωτού σώματος στην υδροστατική πίεση

Στην πραγματικότητα, η υδροστατική πίεση θα αυξηθεί λόγω της τοποθέτησης της μπάλας στο νερό, καθώς όχι μόνο το βάρος του νερού αλλά και το βάρος της μπάλας γίνεται αποτελεσματικό. Ωστόσο, η αυξημένη υδροστατική πίεση μπορεί επίσης να εξηγηθεί καθαρά από την άνοδο της στάθμης του νερού, η οποία συνδέεται με την αιωρούμενη μπάλα.

Το γεγονός ότι η υδροστατική πίεση εξακολουθεί να εξαρτάται μόνο από το βάθος του νερού (το οποίο τώρα είναι μεγαλύτερο με την τοποθέτηση της μπάλας σε αυτό) δεν αλλάζει! Αυτή η σκέψη τελικά οδηγεί στη λεγόμενη αρχή του Αρχιμήδη , που δηλώνει ότι η άνωση ενός πλωτού σώματος είναι εξίσου μεγάλη με το βάρος του εκτοπισμένου υγρού. Περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Πλευστότητα.

Η υδροστατική πίεση έχει μεγάλη σημασία στην καθημερινή ζωή και στην τεχνολογία. Περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Εφαρμογές και παραδείγματα υδροστατικής πίεσης.