Παράδειγμα κάθετης κίνησης Πρόβλημα – Εξισώσεις κίνησης εκτίναξης νομίσματος
Αυτή η εξισώσεις κίνησης υπό το παράδειγμα του προβλήματος σταθερής επιτάχυνσης δείχνει πώς να προσδιορίσετε το μέγιστο ύψος, την ταχύτητα και τον χρόνο πτήσης για ένα νόμισμα που αναποδογυρίζεται σε ένα πηγάδι. Αυτό το πρόβλημα θα μπορούσε να τροποποιηθεί για να λύσει οποιοδήποτε αντικείμενο πεταχτεί κατακόρυφα ή πέσει από ένα ψηλό κτίριο ή οποιοδήποτε ύψος. Αυτός ο τύπος προβλήματος είναι ένα κοινό πρόβλημα εξισώσεων κίνησης για το σπίτι.
Πρόβλημα:
Ένα κορίτσι ρίχνει ένα νόμισμα σε ένα πηγάδι βάθους 50 μέτρων. Αν γυρίσει το κέρμα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 5 m/s:
α) Πόσο ψηλά ανεβαίνει το νόμισμα;
β) Πόσος χρόνος χρειάζεται για να φτάσουμε σε αυτό το σημείο;
γ) Πόσος χρόνος χρειάζεται για να φτάσει το κέρμα στον πάτο του πηγαδιού;
δ) Ποια είναι η ταχύτητα όταν το νόμισμα χτυπά στον πυθμένα του πηγαδιού;
Λύση:
Επέλεξα το σύστημα συντεταγμένων για να ξεκινήσει από το σημείο εκτόξευσης. Το μέγιστο ύψος θα είναι στο σημείο +y και ο πυθμένας του φρέατος στα -50 m. Η αρχική ταχύτητα κατά την εκτόξευση είναι +5 m/s και η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας είναι ίση με -9,8 m/s.
Οι εξισώσεις που χρειαζόμαστε για αυτό το πρόβλημα είναι:
1) y =y0 + v0 t + ½at
2) v =v0 + στο
3) v =v0 + 2a(y – y0 )
Μέρος α) Πόσο ψηλά ανεβαίνει το κέρμα;
Στην κορυφή της πτήσης του νομίσματος, η ταχύτητα θα ισούται με μηδέν. Με αυτές τις πληροφορίες, έχουμε αρκετά για να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση 3 από πάνω για να βρούμε τη θέση στην κορυφή.
v =v0 – 2a(y – y0 )
0 =(5 m/s) + 2(-9,8 m/s)(y – 0)
0 =25 m/s – (19,6 m/s)y
(19,6 m/s)y =25 m/s
y =1,28 m
Μέρος β) Πόσος χρόνος χρειάζεται για να φτάσετε στην κορυφή;
Η εξίσωση 2 είναι η χρήσιμη εξίσωση για αυτό το μέρος.
v =v0 + στο
0 =5 m/s + (-9,8 m/s)t
(9,8 m/s)t =5 m/s
t =0,51 s
Μέρος γ) Πόσος χρόνος χρειάζεται για να φτάσετε στον πάτο του πηγαδιού;
Η εξίσωση 1 είναι αυτή που χρησιμοποιείται για αυτό το μέρος. Σετ y =-50 m.
y =y0 + v0 t + ½ at
-50 m =0 + (5 m/s)t + ½(-9,8 m/s)t
0 =(-4,9 m/s)t + (5 m/s)t + 50 m
Αυτή η εξίσωση έχει δύο λύσεις. Χρησιμοποιήστε την τετραγωνική εξίσωση για να τα βρείτε.
όπου
a =-4,9
b =5
c =50
t =3,7 s ή t =-2,7 s
Ο αρνητικός χρόνος συνεπάγεται λύση πριν από την ρίψη του κέρματος. Ο χρόνος που ταιριάζει στην κατάσταση είναι η θετική αξία. Ο χρόνος μέχρι τον πυθμένα του πηγαδιού ήταν 3,7 δευτερόλεπτα μετά την εκτίναξη.
Μέρος δ) Ποια ήταν η ταχύτητα του νομίσματος στο κάτω μέρος του πηγαδιού;
Η εξίσωση 2 θα βοηθήσει εδώ, καθώς γνωρίζουμε τον χρόνο που χρειάστηκε για να φτάσουμε εκεί.
v =v0 + στο
v =5 m/s + (-9,8 m/s) (3,7 s)
v =5 m/s – 36,3 m/s
v =-31,3 m/s
Η ταχύτητα του νομίσματος στον πυθμένα του φρέατος ήταν 31,3 m/s. Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η κατεύθυνση ήταν προς τα κάτω.
Εάν χρειάζεστε περισσότερα επεξεργασμένα παραδείγματα όπως αυτό, ελέγξτε αυτά τα άλλα παραδείγματα προβλημάτων σταθερής επιτάχυνσης.
Εξισώσεις κίνησης – Σταθερή επιτάχυνση Παράδειγμα Πρόβλημα
Εξισώσεις κίνησης – Παρακολούθηση Παράδειγμα Πρόβλημα
Πρόβλημα Παράδειγμα Κίνησης Βλημάτων
