Οι «Outsiders» λύνουν μαθηματικό πρόβλημα 50 ετών

Το 2008, ο Daniel Spielman είπε στον συνάδελφό του στο Πανεπιστήμιο του Γέιλ, Gil Kalai, για ένα πρόβλημα επιστήμης υπολογιστών στο οποίο εργαζόταν, σχετικά με τον τρόπο «αραιοποίησης» ενός δικτύου έτσι ώστε να έχει λιγότερες συνδέσεις μεταξύ των κόμβων, αλλά να διατηρεί τα βασικά χαρακτηριστικά του αρχικού δικτύου. /P>

Η αραίωση δικτύου έχει εφαρμογές στη συμπίεση δεδομένων και τον αποτελεσματικό υπολογισμό, αλλά το ιδιαίτερο πρόβλημα του Spielman πρότεινε κάτι διαφορετικό στον Kalai. Φαινόταν συνδεδεμένο με το περίφημο πρόβλημα Kadison-Singer, ένα ερώτημα σχετικά με τα θεμέλια της κβαντικής φυσικής που είχε παραμείνει άλυτο για σχεδόν 50 χρόνια.

Κατά τη διάρκεια των δεκαετιών, το πρόβλημα Kadison-Singer είχε εξαπλωθεί σε δώδεκα μακρινές περιοχές των μαθηματικών και της μηχανικής, αλλά κανείς δεν φαινόταν να μπορεί να το σπάσει. Η ερώτηση «αψηφούσε τις καλύτερες προσπάθειες ορισμένων από τους πιο ταλαντούχους μαθηματικούς των τελευταίων 50 ετών», έγραψαν ο Peter Casazza και η Janet Tremain από το Πανεπιστήμιο του Μιζούρι στην Κολούμπια, σε ένα άρθρο έρευνας του 2014.

Ως επιστήμονας υπολογιστών, ο Σπίλμαν γνώριζε ελάχιστα την κβαντική μηχανική ή το συμμαχικό μαθηματικό πεδίο του προβλήματος Kadison-Singer, που ονομάζεται C*-άλγεβρες. Αλλά όταν ο Καλάι, του οποίου το κύριο ίδρυμα είναι το Εβραϊκό Πανεπιστήμιο της Ιερουσαλήμ, περιέγραψε μια από τις πολλές ισοδύναμες διατυπώσεις του προβλήματος, ο Σπίλμαν συνειδητοποίησε ότι ο ίδιος μπορεί να ήταν στην τέλεια θέση να το λύσει. «Μου φαινόταν τόσο φυσικό, τόσο κεντρικό για τα είδη των πραγμάτων που σκέφτομαι», είπε. "Σκέφτηκα, "Πρέπει να μπορώ να το αποδείξω αυτό." Υπέθεσε ότι το πρόβλημα μπορεί να του διαρκέσει μερικές εβδομάδες.

Αντίθετα, του πήρε πέντε χρόνια. Το 2013, συνεργαζόμενος με τον μεταδιδακτορικό του Άνταμ Μάρκους, τώρα στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, και τον μεταπτυχιακό του φοιτητή Νικίλ Σριβαστάβα, τώρα στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Μπέρκλεϊ, ο Σπίλμαν τελικά τα κατάφερε. Η είδηση ​​διαδόθηκε γρήγορα στην κοινότητα των μαθηματικών ότι ένα από τα ύψιστα προβλήματα στην C*-άλγεβρες και σε ένα σωρό άλλα πεδία είχαν λυθεί από τρεις ξένους — επιστήμονες υπολογιστών που μόλις και μετά βίας γνώριζαν τους κλάδους στην καρδιά του προβλήματος. /P>

Οι μαθηματικοί σε αυτούς τους κλάδους χαιρέτησαν τα νέα με έναν συνδυασμό απόλαυσης και χειραψίας. Η λύση, την οποία ο Casazza και ο Tremain ονόμασαν «ένα σημαντικό επίτευγμα της εποχής μας», αψηφούσε τις προσδοκίες για το πώς θα επιλυόταν το πρόβλημα και φαινόταν περίεργα ξένη. Τα τελευταία δύο χρόνια, οι ειδικοί στο πρόβλημα Kadison-Singer χρειάστηκε να εργαστούν σκληρά για να αφομοιώσουν τις ιδέες της απόδειξης. Ο Spielman, ο Marcus και ο Srivastava «έβαλαν ένα σωρό εργαλεία σε αυτό το πρόβλημα που κανείς από εμάς δεν είχε ακούσει ποτέ», είπε ο Casazza. "Πολλοί από εμάς αγαπήσαμε αυτό το πρόβλημα και πεθαίναμε να το δούμε να λύνεται και δυσκολευτήκαμε πολύ να καταλάβουμε πώς το έλυσαν."

«Οι άνθρωποι που έχουν τη βαθιά διαίσθηση για το γιατί λειτουργούν αυτές οι μέθοδοι δεν είναι εκείνοι που εργάζονται πάνω σε αυτά τα προβλήματα για πολύ καιρό», είπε ο Terence Tao, από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες, ο οποίος παρακολουθεί αυτές τις εξελίξεις. Οι μαθηματικοί έχουν πραγματοποιήσει πολλά εργαστήρια για να ενώσουν αυτά τα ανόμοια στρατόπεδα, αλλά η απόδειξη μπορεί να χρειαστεί αρκετά χρόνια για να χωνευτεί, είπε ο Tao. "Δεν έχουμε ακόμα το εγχειρίδιο για αυτό το μαγικό εργαλείο."

Οι επιστήμονες υπολογιστών, ωστόσο, έσπευσαν να εκμεταλλευτούν τις νέες τεχνικές. Πέρυσι, για παράδειγμα, δύο ερευνητές χρησιμοποίησαν αυτά τα εργαλεία σε ένα σημαντικό άλμα προς τα εμπρός στην κατανόηση του περίφημου δύσκολου προβλήματος των ταξιδιωτών πωλητών. Είναι βέβαιο ότι θα υπάρξουν περισσότερες τέτοιες προόδους, είπε ο Assaf Naor, μαθηματικός στο Princeton που εργάζεται σε τομείς που σχετίζονται με το πρόβλημα Kadison-Singer. "Αυτό είναι πολύ βαθύ για να μην υπάρχουν πολλές περισσότερες εφαρμογές."

Ένα κοινό πρόβλημα

Η ερώτηση που έθεσαν οι Richard Kadison και Isadore Singer το 1959 ρωτά πόσο είναι δυνατόν να μάθετε για μια «κατάσταση» ενός κβαντικού συστήματος εάν έχετε πλήρεις πληροφορίες για αυτήν την κατάσταση σε ένα ειδικό υποσύστημα. Εμπνευσμένο από ένα ανεπίσημα διατυπωμένο σχόλιο του θρυλικού φυσικού Paul Dirac, η ερώτησή τους βασίζεται στην αρχή της αβεβαιότητας του Werner Heisenberg, η οποία λέει ότι ορισμένα ζεύγη ιδιοτήτων, όπως η θέση και η ορμή ενός σωματιδίου, δεν μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα με αυθαίρετη ακρίβεια.

Ο Κάντισον και ο Σίνγκερ αναρωτήθηκαν για τα υποσυστήματα που περιέχουν τόσα διαφορετικά χαρακτηριστικά (ή «παρατηρήσιμα») όσα μπορούν συμβατά να μετρηθούν ταυτόχρονα. Εάν έχετε πλήρη γνώση της κατάστασης ενός τέτοιου υποσυστήματος, ρώτησαν, μπορείτε να συμπεράνετε την κατάσταση ολόκληρου του συστήματος;

Στην περίπτωση που το σύστημα που μετράτε είναι ένα σωματίδιο που μπορεί να κινείται κατά μήκος μιας συνεχούς γραμμής, οι Kadison και Singer έδειξαν ότι η απάντηση είναι όχι:Μπορεί να υπάρχουν πολλές διαφορετικές κβαντικές καταστάσεις που όλες φαίνονται ίδιες από την άποψη του παρατηρήσιμα στοιχεία που μπορείτε να μετρήσετε ταυτόχρονα. «Είναι σαν να έχουν πολλά διαφορετικά σωματίδια την ίδια ακριβώς θέση ταυτόχρονα — κατά μία έννοια, βρίσκονται σε παράλληλα σύμπαντα», έγραψε ο Kadison μέσω email, αν και προειδοποίησε ότι δεν είναι ακόμη σαφές εάν τέτοιες καταστάσεις μπορούν να πραγματοποιηθούν φυσικά.

Το αποτέλεσμα του Kadison και του Singer δεν έλεγε τι θα συνέβαινε εάν ο χώρος στον οποίο ζει το σωματίδιο δεν είναι μια συνεχής γραμμή, αλλά είναι μια πιο κομψή εκδοχή της γραμμής - εάν ο χώρος είναι "κοκκώδης", όπως το έθεσε ο Kadison. Αυτή είναι η ερώτηση που έγινε γνωστή ως πρόβλημα Kadison-Singer.

Με βάση τη δουλειά τους στο συνεχές σκηνικό, ο Kadison και ο Singer μάντεψαν ότι σε αυτό το νέο σκηνικό η απάντηση θα ήταν και πάλι ότι υπάρχουν παράλληλα σύμπαντα. Αλλά δεν έφτασαν στο σημείο να δηλώσουν την εικασία τους ως εικασία - μια σοφή κίνηση, εκ των υστέρων, αφού το ένστικτό τους αποδείχθηκε λάθος. «Είμαι χαρούμενος που ήμουν προσεκτικός», είπε ο Κάντισον.

Ο Κάντισον και ο Σίνγκερ — τώρα στο Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια και στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης (επίτιμος), αντίστοιχα — έθεσαν την ερώτησή τους σε μια στιγμή που το ενδιαφέρον για τα φιλοσοφικά θεμέλια της κβαντικής μηχανικής έμπαινε σε αναγέννηση. Αν και ορισμένοι φυσικοί προώθησαν μια προσέγγιση «σκάσε και υπολόγισε» στον κλάδο, άλλοι φυσικοί με μεγαλύτερη τάση μαθηματικά επιτέθηκαν στο πρόβλημα του Kadison-Singer, το οποίο κατάλαβαν ως ερώτηση σχετικά με τις C*-άλγεβρες, αφηρημένες δομές που καταγράφουν τις αλγεβρικές ιδιότητες όχι μόνο των κβαντικών συστημάτων αλλά και των τυχαίων μεταβλητών που χρησιμοποιούνται στη θεωρία πιθανοτήτων, των μπλοκ αριθμών που ονομάζονται πίνακες και των κανονικών αριθμών.

Οι C*-άλγεβρες είναι ένα εσωτερικό θέμα — «η πιο αφηρημένη ανοησία που υπάρχει στα μαθηματικά», σύμφωνα με τα λόγια του Casazza. "Κανείς έξω από την περιοχή δεν γνωρίζει πολλά για αυτό." Για τις δύο πρώτες δεκαετίες της ύπαρξης του προβλήματος Kadison-Singer, παρέμεινε εγκλωβισμένο σε αυτό το αδιαπέραστο βασίλειο.

Στη συνέχεια, το 1979, ο Joel Anderson, τώρα ομότιμος καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια, δημοσιοποίησε το πρόβλημα αποδεικνύοντας ότι ισοδυναμεί με μια εύκολα διατυπωμένη ερώτηση σχετικά με το πότε οι πίνακες μπορούν να αναλυθούν σε απλούστερα κομμάτια. Οι πίνακες είναι τα αντικείμενα πυρήνα στη γραμμική άλγεβρα, η οποία χρησιμοποιείται για τη μελέτη μαθηματικών φαινομένων των οποίων η συμπεριφορά μπορεί να αποτυπωθεί από γραμμές, επίπεδα και χώρους υψηλότερων διαστάσεων. Έτσι ξαφνικά, το πρόβλημα Kadison-Singer ήταν παντού. Τις δεκαετίες που ακολούθησαν, αναδείχθηκε ως το βασικό πρόβλημα στον έναν τομέα μετά τον άλλο.

Επειδή έτεινε να υπάρχει ελάχιστη αλληλεπίδραση μεταξύ αυτών των διαφορετικών πεδίων, κανείς δεν συνειδητοποίησε πόσο πανταχού παρόν είχε γίνει το πρόβλημα Kadison-Singer μέχρι που ο Casazza διαπίστωσε ότι ήταν ισοδύναμο με το πιο σημαντικό πρόβλημα στη δική του περιοχή επεξεργασίας σήματος. Το πρόβλημα αφορούσε αν η επεξεργασία ενός σήματος μπορεί να αναλυθεί σε μικρότερα, απλούστερα μέρη. Ο Casazza βούτηξε στο πρόβλημα Kadison-Singer και το 2005, αυτός, ο Tremain και δύο συν-συγγραφείς έγραψαν μια εργασία που αποδεικνύει ότι ισοδυναμούσε με τα μεγαλύτερα άλυτα προβλήματα σε δώδεκα τομείς των μαθηματικών και της μηχανικής. Μια λύση σε οποιοδήποτε από αυτά τα προβλήματα, έδειξαν οι συγγραφείς, θα τα έλυνε όλα.

Μία από τις πολλές ισοδύναμες διατυπώσεις για τις οποίες έγραψαν είχε επινοηθεί μόλις λίγα χρόνια νωρίτερα από τον Nik Weaver, από το Πανεπιστήμιο της Ουάσιγκτον στο Σεντ Λούις. Η έκδοση του Weaver μετέτρεψε το πρόβλημα σε μια ερώτηση φυσικού ήχου σχετικά με το πότε είναι δυνατό να χωριστεί μια συλλογή διανυσμάτων σε δύο ομάδες που η καθεμία δείχνει περίπου το ίδιο σύνολο κατευθύνσεων με την αρχική συλλογή. "Είναι ένα όμορφο πρόβλημα που αναδεικνύει το βασικό συνδυαστικό πρόβλημα" στην καρδιά της ερώτησης Kadison-Singer, είπε ο Weaver.

Έτσι ο Γουίβερ εξεπλάγη όταν -εκτός από την αναφορά στην έρευνα του Casazza και ένα άλλο έγγραφο που εξέφραζε σκεπτικισμό για την προσέγγισή του- η διατύπωσή του φαινόταν να συναντά τη σιωπή του ραδιοφώνου. Νόμιζε ότι κανείς δεν είχε προσέξει το χαρτί του, αλλά στην πραγματικότητα είχε προσελκύσει την προσοχή των κατάλληλων ανθρώπων για να το λύσουν.

Ηλεκτρικές ιδιότητες

Όταν ο Spielman έμαθε για την εικασία του Weaver το 2008, ήξερε ότι ήταν το δικό του πρόβλημα. Υπάρχει ένας φυσικός τρόπος για εναλλαγή μεταξύ δικτύων και συλλογών διανυσμάτων και ο Spielman είχε ξοδέψει τα προηγούμενα αρκετά χρόνια δημιουργώντας μια ισχυρή νέα προσέγγιση στα δίκτυα βλέποντάς τα ως φυσικά αντικείμενα. Εάν ένα δίκτυο θεωρείται ως ένα ηλεκτρικό κύκλωμα, για παράδειγμα, τότε η ποσότητα του ρεύματος που διέρχεται από μια δεδομένη άκρη (αντί να βρίσκει εναλλακτικές διαδρομές) παρέχει έναν φυσικό τρόπο μέτρησης της σημασίας αυτής της άκρης στο δίκτυο.

Ο Spielman ανακάλυψε την εικασία του Weaver αφού ο Kalai του εισήγαγε μια άλλη μορφή του προβλήματος Kadison-Singer και συνειδητοποίησε ότι ήταν σχεδόν πανομοιότυπο με μια απλή ερώτηση σχετικά με τα δίκτυα:Πότε είναι δυνατόν να χωριστούν τα άκρα ενός δικτύου σε δύο κατηγορίες — ας πούμε , κόκκινες άκρες και μπλε άκρες — έτσι ώστε τα κόκκινα και μπλε δίκτυα που προκύπτουν να έχουν παρόμοιες ηλεκτρικές ιδιότητες με ολόκληρο το δίκτυο;

Δεν είναι πάντα δυνατό να γίνει αυτό. Για παράδειγμα, εάν το αρχικό δίκτυο αποτελείται από δύο πολύ συνδεδεμένα συμπλέγματα που συνδέονται μεταξύ τους με ένα μόνο άκρο, τότε αυτό το άκρο έχει τεράστια σημασία στο δίκτυο. Έτσι, εάν αυτό το κρίσιμο άκρο είναι χρωματισμένο κόκκινο, τότε το μπλε δίκτυο δεν μπορεί να έχει παρόμοιες ηλεκτρικές ιδιότητες με ολόκληρο το δίκτυο. Στην πραγματικότητα, το μπλε δίκτυο δεν θα είναι καν συνδεδεμένο.

Το πρόβλημα του Weaver ρωτά εάν αυτό είναι το μόνο είδος εμποδίου για τη διάσπαση των δικτύων σε παρόμοια αλλά μικρότερα. Με άλλα λόγια, εάν υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να μετακινηθείτε σε ένα δίκτυο — εάν κανένα μεμονωμένο άκρο δεν είναι πολύ σημαντικό — μπορεί το δίκτυο να αναλυθεί σε δύο υποδίκτυα με παρόμοιες ηλεκτρικές ιδιότητες;

Ο Spielman, ο Marcus και ο Srivastava υποψιάζονταν ότι η απάντηση ήταν ναι, και η διαίσθησή τους δεν προερχόταν μόνο από την προηγούμενη δουλειά τους για την αραίωση του δικτύου. Έτρεξαν επίσης εκατομμύρια προσομοιώσεις χωρίς να βρουν αντιπαραδείγματα. «Πολλά από τα πράγματα μας οδηγήθηκαν από πειραματισμούς», είπε ο Marcus. "Πριν από είκοσι χρόνια, οι τρεις μας που καθόμασταν στο ίδιο δωμάτιο δεν θα είχαμε λύσει αυτό το πρόβλημα."

Οι προσομοιώσεις τους έπεισαν ότι βρίσκονταν στο σωστό δρόμο, παρόλο που το πρόβλημα σήκωνε το ένα εμπόδιο μετά το άλλο. Και συνέχισαν να κάνουν εκρήξεις προόδου, αρκετά για να τους κρατήσουν γαντζωμένους. Όταν η μεταδιδακτορική υποτροφία του Marcus έληξε στο τέλος του τέταρτου έτους της ομάδας που εργαζόταν για το πρόβλημα, επέλεξε να εγκαταλείψει προσωρινά τον ακαδημαϊκό χώρο και να ενταχθεί σε μια τοπική startup που ονομάζεται Crisply αντί να φύγει από το New Haven. «Εργαζόμουν για την εταιρεία μου τέσσερις ημέρες την εβδομάδα και μετά περίπου μία φορά την εβδομάδα πήγαινα στο Γέιλ», είπε.

Οι ηλεκτρικές ιδιότητες ενός δικτύου διέπονται από μια ειδική εξίσωση που ονομάζεται «χαρακτηριστικό πολυώνυμο του δικτύου». Καθώς το τρίο εκτελούσε πειράματα υπολογιστή σε αυτά τα πολυώνυμα, διαπίστωσαν ότι οι εξισώσεις έμοιαζαν να έχουν κρυφή δομή:Οι λύσεις τους ήταν πάντα πραγματικοί αριθμοί (σε αντίθεση με μιγαδικούς αριθμούς) και, παραδόξως, η πρόσθεση αυτών των πολυωνύμων πάντα φαινόταν να οδηγεί σε ένα νέο πολυώνυμο με την ίδια ιδιότητα. «Αυτά τα πολυώνυμα έκαναν περισσότερα από όσα τους δώσαμε», είπε ο Marcus. "Τα χρησιμοποιήσαμε ως τρόπο μεταφοράς της γνώσης, αλλά στην πραγματικότητα τα πολυώνυμα φαινόταν να περιείχαν γνώση από μόνα τους."

Κομμάτι-κομμάτι, οι ερευνητές ανέπτυξαν μια νέα τεχνική για να δουλέψουν με τα λεγόμενα «διαπλεκόμενα πολυώνυμα» για να καταγράψουν αυτήν την υποκείμενη δομή και τελικά, στις 17 Ιουνίου 2013, ο Marcus έστειλε ένα email στον Weaver, ο οποίος ήταν ο προπτυχιακός του σύμβουλος στην Ουάσιγκτον. Πανεπιστήμιο 10 χρόνια πριν. «Ελπίζω να με θυμάσαι», έγραψε ο Μάρκους. «Ο λόγος που γράφω είναι επειδή… πιστεύουμε ότι λύσαμε την εικασία σας (αυτή που δείξατε ήταν ισοδύναμη με την Kadison-Singer).» Μέσα σε λίγες μέρες, τα νέα για το επίτευγμα της ομάδας είχαν διαδοθεί σε όλη τη μπλογκόσφαιρα.

Η απόδειξη, η οποία έκτοτε έχει ελεγχθεί διεξοδικά, είναι εξαιρετικά πρωτότυπη, είπε ο Naor. «Αυτό που μου αρέσει είναι αυτή η αίσθηση φρεσκάδας», είπε. "Γι' αυτό θέλουμε να λύσουμε ανοιχτά προβλήματα - για τα σπάνια γεγονότα όταν κάποιος βρίσκει μια λύση που είναι τόσο διαφορετική από αυτή που ήταν πριν που απλώς αλλάζει εντελώς την οπτική μας."

Οι επιστήμονες υπολογιστών έχουν ήδη εφαρμόσει αυτή τη νέα άποψη στο πρόβλημα του «ασύμμετρου» ταξιδιώτη πωλητή. Στο πρόβλημα του ταξιδιώτη πωλητή, ένας πωλητής πρέπει να ταξιδέψει μέσα από μια σειρά πόλεων, με στόχο να ελαχιστοποιήσει τη συνολική απόσταση που διανύθηκε. η ασύμμετρη έκδοση περιλαμβάνει καταστάσεις στις οποίες η απόσταση από το Α στο Β διαφέρει από την απόσταση από το Β στο Α (για παράδειγμα, εάν η διαδρομή περιλαμβάνει μονόδρομους).

Ο πιο γνωστός αλγόριθμος για την εύρεση κατά προσέγγιση λύσεων στο ασύμμετρο πρόβλημα χρονολογείται από το 1970, αλλά κανείς δεν γνώριζε πόσο καλές ήταν οι προσεγγίσεις του. Τώρα, χρησιμοποιώντας ιδέες από την απόδειξη του προβλήματος Kadison-Singer, η Nima Anari, από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, στο Berkeley, και ο Shayan Oveis Gharan, από το Πανεπιστήμιο της Ουάσιγκτον στο Σιάτλ, έδειξαν ότι αυτός ο αλγόριθμος αποδίδει εκθετικά καλύτερα από ό,τι είχαν καταλάβει οι άνθρωποι . Το νέο αποτέλεσμα είναι «μεγάλη, μεγάλη πρόοδος», είπε ο Naor.

Η απόδειξη του προβλήματος Kadison-Singer συνεπάγεται ότι όλες οι κατασκευές στις δωδεκάδες ενσαρκώσεις του μπορούν, κατ' αρχήν, να πραγματοποιηθούν — η κβαντική γνώση μπορεί να επεκταθεί σε πλήρη κβαντικά συστήματα, τα δίκτυα μπορούν να αποσυντεθούν σε ηλεκτρικά παρόμοια, οι πίνακες μπορούν να χωριστούν σε πιο απλά κομμάτια. Η απόδειξη δεν θα αλλάξει αυτό που κάνουν οι κβαντικοί φυσικοί, αλλά θα μπορούσε να έχει εφαρμογές στην επεξεργασία σήματος, καθώς υπονοεί ότι οι συλλογές διανυσμάτων που χρησιμοποιούνται για την ψηφιοποίηση σημάτων μπορούν να αναλυθούν σε μικρότερα πλαίσια που μπορούν να επεξεργαστούν ταχύτερα. Το θεώρημα "έχει τη δυνατότητα να επηρεάσει ορισμένα σημαντικά προβλήματα μηχανικής", είπε ο Casazza.

Αλλά υπάρχει ένα μεγάλο χάσμα μεταξύ αρχής και πρακτικής. Η απόδειξη αποδεικνύει ότι υπάρχουν αυτές οι διάφορες κατασκευές, αλλά δεν λέει πώς να τις πραγματοποιήσετε. Προς το παρόν, λέει ο Casazza, «δεν υπάρχει περίπτωση στην κόλαση» να βγάλουμε έναν χρήσιμο αλγόριθμο από την απόδειξη. Ωστόσο, τώρα που οι μαθηματικοί γνωρίζουν ότι η ερώτηση έχει θετική απάντηση, ελπίζει ότι θα υπάρξει μια εποικοδομητική απόδειξη - για να μην αναφέρουμε μια απόδειξη που οι μαθηματικοί στον τομέα του μπορούν πραγματικά να κατανοήσουν. "Όλοι μας ήμασταν απόλυτα πεπεισμένοι ότι είχε αρνητική απάντηση, επομένως κανείς από εμάς δεν προσπαθούσε να το αποδείξει", είπε.

Οι μαθηματικοί στους τομείς στους οποίους το πρόβλημα Kadison-Singer ήταν εμφανές μπορεί να αισθάνονται θλιμμένοι που τρεις ξένοι μπήκαν και έλυσαν το κεντρικό τους πρόβλημα, αλλά αυτό δεν συνέβη πραγματικά, είπε ο Marcus. "Ο μόνος λόγος που μπορούσαμε να προσπαθήσουμε να λύσουμε ένα τέτοιο πρόβλημα είναι επειδή οι άνθρωποι σε αυτό το πεδίο είχαν ήδη αφαιρέσει όλη τη σκληρότητα που συνέβαινε" στις C*-άλγεβρες, είπε. «Έμεινε μόνο ένα κομμάτι και αυτό το κομμάτι δεν ήταν πρόβλημα που είχαν τις τεχνικές να λύσουν. Νομίζω ότι ο λόγος για τον οποίο αυτό το πρόβλημα διήρκεσε 50 χρόνια είναι επειδή είχε πραγματικά δύο μέρη που ήταν δύσκολα.»

Καθ' όλη τη διάρκεια των πέντε ετών που πέρασε δουλεύοντας πάνω στο πρόβλημα Kadison-Singer, ο Marcus είπε:«Δεν νομίζω ότι θα μπορούσα να σας είχα πει ποιο ήταν το πρόβλημα στη γλώσσα C*-algebra, γιατί δεν είχα ιδέα». Το γεγονός ότι αυτός, ο Σριβαστάβα και ο Σπίλμαν κατάφεραν να το λύσουν «λέει κάτι για αυτό που ελπίζω να είναι το μέλλον των μαθηματικών», είπε. Όταν οι μαθηματικοί εισάγουν ιδέες σε διάφορα πεδία, "τότε νομίζω ότι συμβαίνουν αυτά τα πραγματικά ενδιαφέροντα άλματα στη γνώση."