Οι μαθηματικοί εξερευνούν τον κατοπτρικό σύνδεσμο μεταξύ δύο γεωμετρικών κόσμων

Πριν από είκοσι επτά χρόνια, μια ομάδα φυσικών έκανε μια τυχαία ανακάλυψη που ανέτρεψε τα μαθηματικά στο κεφάλι της. Οι φυσικοί προσπαθούσαν να βρουν τις λεπτομέρειες της θεωρίας χορδών όταν παρατήρησαν μια παράξενη αντιστοιχία:Αριθμοί που αναδύονταν από ένα είδος γεωμετρικού κόσμου ταίριαζαν ακριβώς με πολύ διαφορετικά είδη αριθμών από ένα πολύ διαφορετικό είδος γεωμετρικού κόσμου.

Για τους φυσικούς, η αλληλογραφία ήταν ενδιαφέρουσα. Για τους μαθηματικούς, ήταν παράλογο. Είχαν μελετήσει αυτές τις δύο γεωμετρικές ρυθμίσεις απομονωμένα το ένα από το άλλο για δεκαετίες. Ο ισχυρισμός ότι είχαν στενή σχέση φαινόταν τόσο απίθανος όσο ο ισχυρισμός ότι τη στιγμή που ένας αστροναύτης πηδά στο φεγγάρι, κάποια κρυφή σύνδεση κάνει την αδερφή του να ξαναπηδήσει στη γη.

«Φαινόταν εντελώς εξωφρενικό», είπε ο Ντέιβιντ Μόρισον, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στη Σάντα Μπάρμπαρα, και ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που ερεύνησαν τους αντίστοιχους αριθμούς.

Σχεδόν τρεις δεκαετίες αργότερα, η δυσπιστία έχει από καιρό δώσει τη θέση της στην αποκάλυψη. Η γεωμετρική σχέση που παρατήρησαν για πρώτη φορά οι φυσικοί είναι το θέμα ενός από τα πιο ακμάζοντα πεδία στα σύγχρονα μαθηματικά. Το πεδίο ονομάζεται κατοπτρική συμμετρία, σε σχέση με το γεγονός ότι αυτά τα δύο φαινομενικά μακρινά μαθηματικά σύμπαντα φαίνονται με κάποιο τρόπο να αντικατοπτρίζουν το ένα το άλλο ακριβώς. Και από την παρατήρηση εκείνης της πρώτης αντιστοιχίας - ένα σύνολο αριθμών στη μια πλευρά που ταίριαζε με ένα σύνολο αριθμών στην άλλη - οι μαθηματικοί βρήκαν πολλές περισσότερες περιπτώσεις περίτεχνης σχέσης αντικατοπτρισμού:Όχι μόνο ο αστροναύτης και η αδελφή του πηδούν μαζί, αλλά κουνάνε τα χέρια τους και ονειρεύονται επίσης.

Πρόσφατα, η μελέτη της συμμετρίας του καθρέφτη πήρε νέα τροπή. Μετά από χρόνια ανακάλυψης περισσότερων παραδειγμάτων του ίδιου υποκείμενου φαινομένου, οι μαθηματικοί πλησιάζουν σε μια εξήγηση για το γιατί συμβαίνει το φαινόμενο.

«Φτάνουμε στο σημείο να βρούμε το έδαφος. Υπάρχει μια προσγείωση στον ορίζοντα», είπε ο Denis Auroux, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Μπέρκλεϋ.

Η προσπάθεια να βρεθεί μια θεμελιώδης εξήγηση για τη συμμετρία καθρέφτη προωθείται από πολλές ομάδες μαθηματικών. Κλείνουν σε αποδείξεις των κεντρικών εικασιών στον χώρο. Η δουλειά τους είναι σαν να αποκαλύπτουν μια μορφή γεωμετρικού DNA — έναν κοινό κώδικα που εξηγεί πώς δύο ριζικά διαφορετικοί γεωμετρικοί κόσμοι θα μπορούσαν ενδεχομένως να έχουν κοινά χαρακτηριστικά.

Ανακαλύπτοντας τον καθρέφτη

Αυτό που θα γινόταν τελικά το πεδίο της συμμετρίας του καθρέφτη ξεκίνησε όταν οι φυσικοί άρχισαν να αναζητούν κάποιες επιπλέον διαστάσεις. Ήδη από τα τέλη της δεκαετίας του 1960, οι φυσικοί είχαν προσπαθήσει να εξηγήσουν την ύπαρξη θεμελιωδών σωματιδίων - ηλεκτρονίων, φωτονίων, κουάρκ - με όρους μικροσκοπικών δονούμενων χορδών. Μέχρι τη δεκαετία του 1980, οι φυσικοί κατάλαβαν ότι για να λειτουργήσει η «θεωρία χορδών», οι χορδές θα έπρεπε να υπάρχουν σε 10 διαστάσεις — έξι περισσότερες από τον τετραδιάστατο χωροχρόνο που μπορούμε να παρατηρήσουμε. Πρότειναν ότι αυτό που συνέβη σε αυτές τις έξι αόρατες διαστάσεις καθόρισε τις παρατηρήσιμες ιδιότητες του φυσικού μας κόσμου.

"Μπορεί να έχετε αυτόν τον μικρό χώρο που δεν μπορείτε να δείτε ή να μετρήσετε απευθείας, αλλά ορισμένες πτυχές της γεωμετρίας αυτού του χώρου μπορεί να επηρεάσουν τη φυσική του πραγματικού κόσμου", δήλωσε ο Mark Gross, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Cambridge.

Τελικά, κατέληξαν σε πιθανές περιγραφές των έξι διαστάσεων. Ωστόσο, πριν φτάσετε σε αυτά, αξίζει να σκεφτείτε για λίγο τι σημαίνει για έναν χώρο να έχει γεωμετρία.

Σκεφτείτε μια κυψέλη και έναν ουρανοξύστη. Και οι δύο είναι τρισδιάστατες κατασκευές, αλλά η καθεμία έχει πολύ διαφορετική γεωμετρία:η διάταξη τους είναι διαφορετική, η καμπυλότητα των εξωτερικών τους όψεων είναι διαφορετική, οι εσωτερικές γωνίες τους είναι διαφορετικές. Ομοίως, οι θεωρητικοί χορδών βρήκαν πολύ διαφορετικούς τρόπους για να φανταστούν τις έξι διαστάσεις που λείπουν.

Μια μέθοδος προέκυψε στο μαθηματικό πεδίο της αλγεβρικής γεωμετρίας. Εδώ, οι μαθηματικοί μελετούν πολυωνυμικές εξισώσεις — για παράδειγμα, x + y =1 — γράφοντας γραφικά τις λύσεις τους (κύκλος, σε αυτήν την περίπτωση). Οι πιο περίπλοκες εξισώσεις μπορούν να σχηματίσουν περίτεχνους γεωμετρικούς χώρους. Οι μαθηματικοί εξερευνούν τις ιδιότητες αυτών των χώρων για να κατανοήσουν καλύτερα τις αρχικές εξισώσεις. Επειδή οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν συχνά μιγαδικούς αριθμούς, αυτοί οι χώροι αναφέρονται συνήθως ως «σύνθετοι» πολλαπλοί (ή σχήματα).

Ο άλλος τύπος γεωμετρικού χώρου κατασκευάστηκε αρχικά με τη σκέψη για φυσικά συστήματα όπως οι πλανήτες σε τροχιά. Οι τιμές συντεταγμένων κάθε σημείου σε αυτό το είδος γεωμετρικού χώρου μπορεί να προσδιορίζουν, για παράδειγμα, τη θέση και την ορμή ενός πλανήτη. Εάν λάβετε όλες τις πιθανές θέσεις ενός πλανήτη μαζί με όλες τις πιθανές ροπές, θα λάβετε τον «χώρο φάσης» του πλανήτη - έναν γεωμετρικό χώρο του οποίου τα σημεία παρέχουν μια πλήρη περιγραφή της κίνησης του πλανήτη. Αυτός ο χώρος έχει μια «συμπλεκτική» δομή που κωδικοποιεί τους φυσικούς νόμους που διέπουν την κίνηση του πλανήτη.

Οι συμπλεκτικές και πολύπλοκες γεωμετρίες είναι τόσο διαφορετικές μεταξύ τους όσο το κερί μέλισσας και το ατσάλι. Δημιουργούν πολύ διαφορετικά είδη χώρων. Τα σύνθετα σχήματα έχουν πολύ άκαμπτη δομή. Σκεφτείτε ξανά τον κύκλο. Αν το κουνήσεις έστω και λίγο, δεν είναι πια κύκλος. Είναι ένα εντελώς ξεχωριστό σχήμα που δεν μπορεί να περιγραφεί με πολυωνυμική εξίσωση. Η συμπλεκτική γεωμετρία είναι πολύ πιο δισκέτα. Εκεί, ένας κύκλος και ένας κύκλος με λίγο κουνά είναι σχεδόν το ίδιο.

«Η αλγεβρική γεωμετρία είναι ένας πιο άκαμπτος κόσμος, ενώ η συμπλεκτική γεωμετρία είναι πιο ευέλικτη», δήλωσε ο Nick Sheridan, ερευνητής στο Cambridge. "Αυτός είναι ένας λόγος που είναι τόσο διαφορετικοί κόσμοι και είναι τόσο περίεργο που καταλήγουν να είναι ισοδύναμοι με μια βαθιά έννοια."

Στα τέλη της δεκαετίας του 1980, οι θεωρητικοί χορδών βρήκαν δύο τρόπους για να περιγράψουν τις έξι διαστάσεις που λείπουν:η μία προέρχεται από τη συμπλεκτική γεωμετρία και η άλλη από τη σύνθετη γεωμετρία. Έδειξαν ότι κάθε τύπος χώρου ήταν συνεπής με τον τετραδιάστατο κόσμο που προσπαθούσαν να εξηγήσουν. Ένας τέτοιος συνδυασμός ονομάζεται δυαδικότητα:Ο ένας από τους δύο λειτουργεί και δεν υπάρχει κανένα τεστ που θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε για να τα διακρίνετε.

Οι φυσικοί άρχισαν τότε να διερευνούν πόσο εκτεινόταν η δυαδικότητα. Καθώς το έκαναν, αποκάλυψαν συνδέσεις μεταξύ των δύο ειδών χώρων που τράβηξαν την προσοχή των μαθηματικών.

Το 1991, μια ομάδα τεσσάρων φυσικών - Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green και Linda Parkes - πραγματοποίησε έναν υπολογισμό στη μιγαδική πλευρά και δημιούργησε αριθμούς που χρησιμοποίησαν για να κάνουν προβλέψεις σχετικά με τους αντίστοιχους αριθμούς στη συμπλεκτική πλευρά. Η πρόβλεψη είχε να κάνει με τον αριθμό των διαφορετικών τύπων καμπυλών που θα μπορούσαν να σχεδιαστούν στον εξαδιάστατο συμπλεκτικό χώρο. Οι μαθηματικοί προσπαθούσαν πολύ καιρό να μετρήσουν αυτές τις καμπύλες. Δεν είχαν σκεφτεί ποτέ ότι αυτοί οι αριθμοί καμπυλών είχαν σχέση με τους υπολογισμούς σε πολύπλοκους χώρους που χρησιμοποιούσαν τώρα οι φυσικοί για να κάνουν τις προβλέψεις τους.

Το αποτέλεσμα ήταν τόσο τραβηγμένο που στην αρχή, οι μαθηματικοί δεν ήξεραν τι να το κάνουν. Αλλά στη συνέχεια, τους μήνες που ακολούθησαν μια βιαστικά συγκληθείσα συνάντηση φυσικών και μαθηματικών στο Μπέρκλεϊ της Καλιφόρνια, τον Μάιο του 1991, η σύνδεση έγινε αδιαμφισβήτητη. «Τελικά οι μαθηματικοί εργάστηκαν για την επαλήθευση των προβλέψεων των φυσικών και συνειδητοποίησαν ότι αυτή η αντιστοιχία μεταξύ αυτών των δύο κόσμων ήταν ένα πραγματικό πράγμα που είχε περάσει απαρατήρητο από τους μαθηματικούς που μελετούσαν τις δύο πλευρές αυτού του καθρέφτη για αιώνες», είπε ο Sheridan.

Η ανακάλυψη αυτής της κατοπτρικής δυαδικότητας σήμαινε ότι εν συντομία, οι μαθηματικοί που μελετούσαν αυτά τα δύο είδη γεωμετρικών χώρων είχαν διπλάσιο αριθμό εργαλείων στη διάθεσή τους:Τώρα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν τεχνικές από την αλγεβρική γεωμετρία για να απαντήσουν σε ερωτήσεις συμπλεκτικής γεωμετρίας και το αντίστροφο. Ρίχτηκαν στο έργο της εκμετάλλευσης της σύνδεσης.

Ο χωρισμός είναι δύσκολο να γίνει

Ταυτόχρονα, μαθηματικοί και φυσικοί ξεκίνησαν να εντοπίσουν μια κοινή αιτία, ή μια υποκείμενη γεωμετρική εξήγηση, για το φαινόμενο του κατοπτρισμού. Με τον ίδιο τρόπο που μπορούμε τώρα να εξηγήσουμε τις ομοιότητες μεταξύ πολύ διαφορετικών οργανισμών μέσω στοιχείων ενός κοινού γενετικού κώδικα, οι μαθηματικοί προσπάθησαν να εξηγήσουν την κατοπτρική συμμετρία διασπώντας συμπλεκτικές και σύνθετες πολλαπλότητες σε ένα κοινό σύνολο βασικών στοιχείων που ονομάζονται «ίνες torus». P>

Ο τόρος είναι ένα σχήμα με μια τρύπα στη μέση. Ένας συνηθισμένος κύκλος είναι ένας μονοδιάστατος τόρος και η επιφάνεια ενός ντόνατ είναι ένας δισδιάστατος τόρος. Ένας τόρος μπορεί να έχει οποιονδήποτε αριθμό διαστάσεων. Κολλήστε πολλά tori χαμηλότερων διαστάσεων μαζί με τον σωστό τρόπο και μπορείτε να δημιουργήσετε ένα σχήμα υψηλότερων διαστάσεων από αυτά.

Για να πάρετε ένα απλό παράδειγμα, απεικονίστε την επιφάνεια της γης. Είναι μια δισδιάστατη σφαίρα. Θα μπορούσατε επίσης να το σκεφτείτε ως κατασκευασμένο από πολλούς μονοδιάστατους κύκλους (όπως πολλές γραμμές γεωγραφικού πλάτους) κολλημένους μεταξύ τους. Όλοι αυτοί οι κύκλοι που είναι κολλημένοι μεταξύ τους είναι μια «ινώση torus» της σφαίρας — οι μεμονωμένες ίνες πλεγμένες μαζί σε ένα μεγαλύτερο σύνολο.

Οι ινώσεις Torus είναι χρήσιμες με διάφορους τρόπους. Το ένα είναι ότι δίνουν στους μαθηματικούς έναν απλούστερο τρόπο να σκέφτονται περίπλοκους χώρους. Ακριβώς όπως μπορείτε να κατασκευάσετε μια ινώδη δακτύλιο μιας δισδιάστατης σφαίρας, μπορείτε να κατασκευάσετε μια ινώδη δακτύλιο των εξαδιάστατων συμπλεκτικών και πολύπλοκων χώρων που παρουσιάζουν συμμετρία καθρέφτη. Αντί για κύκλους, οι ίνες αυτών των χώρων είναι τρισδιάστατα tori. Και ενώ μια εξαδιάστατη συμπλεκτική πολλαπλότητα είναι αδύνατο να οπτικοποιηθεί, ένας τρισδιάστατος τόρος είναι σχεδόν απτός. "Αυτό είναι ήδη μεγάλη βοήθεια", είπε ο Sheridan.

Η ίνωση του τόρου είναι χρήσιμη με έναν άλλο τρόπο:Μειώνει τον χώρο καθρέφτη σε ένα σύνολο δομικών στοιχείων που θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε για να φτιάξετε το άλλο. Με άλλα λόγια, δεν μπορείτε απαραίτητα να καταλάβετε έναν σκύλο κοιτάζοντας μια πάπια, αλλά αν σπάσετε κάθε ζώο στον ακατέργαστο γενετικό του κώδικα, μπορείτε να αναζητήσετε ομοιότητες που μπορεί να το κάνουν να φαίνεται λιγότερο περίεργο το γεγονός ότι και οι δύο οργανισμοί έχουν μάτια.

Εδώ, σε μια απλοποιημένη άποψη, είναι πώς να μετατρέψετε έναν συμπλεκτικό χώρο στον περίπλοκο καθρέφτη του. Πρώτα, εκτελέστε μια ινώσεις του δακτύλου στον συμπλεκτικό χώρο. Θα πάρετε πολλά tori. Κάθε torus έχει μια ακτίνα (ακριβώς όπως ένας κύκλος - ένας μονοδιάστατος torus - έχει μια ακτίνα). Στη συνέχεια, πάρτε το αντίστροφο της ακτίνας κάθε δακτύλου. (Έτσι, ένας δακτύλιος ακτίνας 4 στον συμπλεκτικό σας χώρο γίνεται ένας δακτύλιος ακτίνας ¼ στον σύνθετο καθρέφτη.) Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε αυτά τα νέα tori, με αντίστροφες ακτίνες, για να δημιουργήσετε έναν νέο χώρο.

Το 1996, οι Andrew Strominger, Shing-Tung Yau και Eric Zaslow πρότειναν αυτή τη μέθοδο ως μια γενική προσέγγιση για τη μετατροπή οποιουδήποτε συμπλεκτικού χώρου στον περίπλοκο καθρέφτη του. Η πρόταση ότι είναι πάντα δυνατή η χρήση ινώδους δακτυλίου για να μετακινηθεί από τη μια πλευρά του καθρέφτη στην άλλη ονομάζεται εικασία SYZ, από τους δημιουργούς της. Η απόδειξή του έχει γίνει ένα από τα θεμελιώδη ερωτήματα στη συμμετρία καθρέφτη (μαζί με την εικασία για την ομολογική συμμετρία καθρέφτη, που προτάθηκε από τον Maxim Kontsevich το 1994).

Η εικασία του SYZ είναι δύσκολο να αποδειχθεί επειδή, στην πράξη, αυτή η διαδικασία δημιουργίας ινώδους δακτυλίου και στη συνέχεια λήψης αντιστροφών των ακτίνων δεν είναι εύκολη. Για να δείτε γιατί, επιστρέψτε στο παράδειγμα της επιφάνειας της γης. Στην αρχή φαίνεται εύκολο να το ρίξετε με κύκλους, αλλά στους πόλους, οι κύκλοι σας θα έχουν ακτίνα μηδέν. Και το αντίστροφο του μηδενός είναι το άπειρο. "Αν η ακτίνα σας ισούται με μηδέν, έχετε ένα μικρό πρόβλημα", είπε ο Sheridan.

Αυτή η ίδια δυσκολία εμφανίζεται με πιο έντονο τρόπο όταν προσπαθείτε να δημιουργήσετε μια ίνωση του τόρου ενός εξαδιάστατου συμπλεκτικού χώρου. Εκεί, μπορεί να έχετε άπειρες ίνες torus όπου μέρος της ίνας είναι τσιμπημένο σε ένα σημείο - σημεία με ακτίνα μηδέν. Οι μαθηματικοί εξακολουθούν να προσπαθούν να καταλάβουν πώς να δουλέψουν με τέτοιες ίνες. «Αυτή η ινώσεις του τόρου είναι πραγματικά η μεγάλη δυσκολία της συμμετρίας καθρέφτη», είπε ο Τόνι Πάντεφ, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Πενσυλβάνια.

Με άλλα λόγια:Η εικασία SYZ λέει ότι η ινώδης δακτύλιος είναι ο βασικός σύνδεσμος μεταξύ συμπλεκτικών και πολύπλοκων χώρων, αλλά σε πολλές περιπτώσεις, οι μαθηματικοί δεν ξέρουν πώς να εκτελέσουν τη διαδικασία μετάφρασης που ορίζει η εικασία.

Μακροχρόνιες κρυφές συνδέσεις

Τα τελευταία 27 χρόνια, οι μαθηματικοί έχουν βρει εκατοντάδες εκατομμύρια παραδείγματα ζευγών καθρέφτη:Αυτή η συμπλεκτική πολλαπλότητα βρίσκεται σε μια κατοπτρική σχέση με αυτή τη σύνθετη πολλαπλότητα. Αλλά όταν πρόκειται να κατανοήσουμε γιατί συμβαίνει ένα φαινόμενο, η ποσότητα δεν έχει σημασία. Θα μπορούσατε να συναρμολογήσετε θηλαστικά σε μια κιβωτό χωρίς να καταλάβετε από πού προέρχονται οι τρίχες.

«Έχουμε τεράστιους αριθμούς παραδειγμάτων, όπως 400 εκατομμύρια παραδείγματα. Δεν είναι ότι υπάρχει έλλειψη παραδειγμάτων, αλλά παρόλα αυτά εξακολουθούν να υπάρχουν συγκεκριμένες περιπτώσεις που δεν δίνουν ιδιαίτερη υπόδειξη για το γιατί λειτουργεί όλη η ιστορία», είπε ο Gross.

Οι μαθηματικοί θα ήθελαν να βρουν μια γενική μέθοδο κατασκευής — μια διαδικασία με την οποία θα μπορούσατε να τους παραδώσετε οποιαδήποτε συμπλεκτική πολλαπλότητα και θα μπορούσαν να σας δώσουν πίσω τον καθρέφτη της. Και τώρα πιστεύουν ότι πλησιάζουν στο να το αποκτήσουν. «Προχωράμε πέρα ​​από την κατά περίπτωση κατανόηση του φαινομένου», είπε η Auroux. "Προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι λειτουργεί όσο πιο γενικά μπορούμε."

Οι μαθηματικοί προχωρούν σε πολλά αλληλένδετα μέτωπα. Μετά από δεκαετίες δημιουργίας του πεδίου συμμετρίας καθρέφτη, είναι κοντά στο να κατανοήσουν τους κύριους λόγους για τους οποίους λειτουργεί καθόλου το πεδίο.

«Νομίζω ότι θα γίνει σε εύλογο χρονικό διάστημα», δήλωσε ο Kontsevich, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Προηγμένων Επιστημονικών Σπουδών (IHES) στη Γαλλία και ηγέτης στον τομέα. "Πιστεύω ότι θα αποδειχθεί πολύ σύντομα."

Ένας ενεργός τομέας έρευνας δημιουργεί ένα τέλος γύρω από την εικασία SYZ. Προσπαθεί να μεταφέρει γεωμετρικές πληροφορίες από τη συμπλεκτική πλευρά στη σύνθετη πλευρά χωρίς πλήρη ινώσεις του δακτύλου. Το 2016, ο Gross και ο μακροχρόνιος συνεργάτης του Bernd Siebert από το Πανεπιστήμιο του Αμβούργου δημοσίευσαν μια μέθοδο γενικού σκοπού για να το κάνουν. Τώρα ολοκληρώνουν μια απόδειξη για να αποδείξουν ότι η μέθοδος λειτουργεί για όλους τους χώρους καθρέφτη. "Η απόδειξη έχει πλέον καταγραφεί πλήρως, αλλά είναι ένα χάος", είπε ο Gross, ο οποίος είπε ότι αυτός και ο Siebert ελπίζουν να το ολοκληρώσουν μέχρι το τέλος του έτους.

Μια άλλη σημαντική ανοικτή γραμμή έρευνας επιδιώκει να αποδείξει ότι, αν υποθέσουμε ότι έχετε μια ινώσεις του δακτύλου, που σας δίνει χώρους καθρέφτη, τότε όλες οι πιο σημαντικές σχέσεις συμμετρίας καθρέφτη πέφτουν από εκεί. Το ερευνητικό πρόγραμμα ονομάζεται «family Floer theory» και αναπτύσσεται από τον Mohammed Abouzaid, μαθηματικό στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια. Τον Μάρτιο του 2017, ο Abouzaid δημοσίευσε ένα έγγραφο που απέδειξε ότι αυτή η αλυσίδα λογικής ισχύει για ορισμένους τύπους ζευγών καθρέφτη, αλλά όχι ακόμη για όλους.

Και, τέλος, υπάρχει δουλειά που γυρίζει πίσω από εκεί που ξεκίνησε το πεδίο. Ένα τρίο μαθηματικών — Sheridan, Sheel Ganatra και Timothy Perutz — βασίζεται σε θεμελιώδεις ιδέες που εισήγαγε τη δεκαετία του 1990 ο Kontsevich σχετικά με την εικασία συμμετρίας του ομολογικού καθρέφτη.

Σωρευτικά, αυτές οι τρεις πρωτοβουλίες θα παρείχαν μια δυνητικά πλήρη ενθυλάκωση του φαινομένου του καθρέφτη. "Πιστεύω ότι φτάνουμε στο σημείο όπου όλα τα μεγάλα ερωτήματα "γιατί" είναι κοντά στο να γίνουν κατανοητά", είπε η Auroux.