Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων Λύσεις

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο δύο ή περισσότερων γραμμικών εξισώσεων. Συνήθως αποτελούνται από δύο ή περισσότερες μεταβλητές, έτσι ώστε όλες οι εξισώσεις να μπορούν να ληφθούν υπόψη ταυτόχρονα και να αντιπροσωπεύουν ένα μόνο πρόβλημα με δύο ή περισσότερες άγνωστες μεταβλητές.

Σύστημα λύσεων γραμμικών εξισώσεων αναφέρεται σε ένα σύνολο τιμών αυτών των μεταβλητών έτσι ώστε όλες οι εξισώσεις να ικανοποιούνται. Ωστόσο, δεν μπορούν απαραίτητα να έχουν λύση όλα τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Κάποιες μπορεί να έχουν μοναδικές λύσεις, ενώ άλλες μπορεί να έχουν άπειρο αριθμό λύσεων και κάποιες μπορεί να μην έχουν καθόλου λύση.

Πώς μπορούμε να προσδιορίσουμε τον αριθμό των λύσεων;

Ο αριθμός των λύσεων μπορεί να προσδιοριστεί είτε γραφικά είτε αλγεβρικά.

Στις γραφικές λύσεις, οι λύσεις για το σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι απλώς τα σημεία σε ένα γράφημα όπου τέμνονται οι ευθείες των δύο εξισώσεων.

Για αυτό, η γραφική παράσταση των εξισώσεων στο γράφημα είναι πολύ απαραίτητη.

Πώς μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων για να λάβουμε τις λύσεις τους;

Υπάρχουν μερικές σημαντικές έννοιες που πρέπει να λάβετε υπόψη πριν σχεδιάσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων σε ένα γράφημα. Είναι: 

• Τα γραφήματα απεικονίζονται πάντα στο επίπεδο xy, καθώς ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων αποτελείται από δύο ή περισσότερες εξισώσεις που έχουν δύο μεταβλητές.

• Η μορφή κλίσης-τομής των εξισώσεων, που είναι y=mx + b, μας λέει για την κλίση και την τομή της γραμμής.

  • m είναι η κλίση της γραμμής. Εάν η κλίση είναι 0, η εξίσωση έχει μόνο μία μεταβλητή.

  • b είναι η τομή y.

Τα σημεία στα οποία τέμνονται αυτές οι ευθείες σε ένα γράφημα μας λένε για τις λύσεις του συστήματος γραμμικών εξισώσεων.

• Αν οι γραμμές τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, υπάρχει μια μοναδική λύση.

• Αν οι γραμμές τέμνονται σε πολλά σημεία, υπάρχουν πολλές λύσεις.

• Εάν οι γραμμές είναι παράλληλες, με την ίδια κλίση και διαφορετικές τομές y, οι γραμμές δεν θα τέμνονται ποτέ και δεν υπάρχουν λύσεις.

• Αν οι γραμμές έχουν την ίδια κλίση και την ίδια τομή y, μπορεί να υποτεθεί ότι είναι οι ίδιες γραμμές και ως εκ τούτου θα επικαλύπτονται σε πολλά σημεία. Επομένως, έχουν άπειρες λύσεις.

Πώς μπορούμε να λύσουμε αλγεβρικά ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων;

Η απόκτηση ενός συστήματος λύσεων γραμμικών εξισώσεων αλγεβρικά δεν απαιτεί γραφική αναπαράσταση, αλλά απαιτεί τη μορφή γραφικής εξίσωσης για τις γραμμικές εξισώσεις.

Οι εξισώσεις πρέπει να μετατραπούν στη μορφή y =mx + b πριν προχωρήσουμε στην αλγεβρική εξάλειψη ή αντικατάσταση.

1. Αλγεβρική εξάλειψη

Στην αλγεβρική εξάλειψη, ο στόχος είναι απλώς να αφαιρέσουμε ή να εξαλείψουμε μία από τις μεταβλητές με αφαίρεση ή πρόσθεση, ώστε να λάβουμε πρώτα την τιμή της άλλης εξίσωσης.

Για παράδειγμα, εξετάστε τις δύο εξισώσεις 2x+y=7 και x-y=2,

Η αλγεβρική μέθοδος εξάλειψης περιλαμβάνει:

2x + y =7

+ x – y =2 

3x =9

Ως εκ τούτου, x =3

Και, y =1

2. Αλγεβρική αντικατάσταση

Στην αλγεβρική αντικατάσταση, ο στόχος είναι να αντικατασταθεί η μία από τις μεταβλητές με την άλλη, έτσι ώστε οι εξισώσεις να μπορούν να λυθούν.

Για παράδειγμα, εξετάστε τις δύο εξισώσεις, 3x + 4y =18 και 2x – y =1

Πρώτα, αντικαθιστούμε μία από τις μεταβλητές με μία άλλη. Ας εξετάσουμε τη μεταβλητή y.

Λοιπόν έχουμε

2x – y =1

y =2x – 1

Όταν αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή του y στην άλλη εξίσωση, μπορούμε να τη λύσουμε για να λάβουμε την τιμή της μεταβλητής x, η οποία είναι η εξής:

3x + 4 (2x-1) =18

3x + 8x – 4 =18

11x =18 + 4

11x =22

x =2

Επομένως, λαμβάνουμε την τιμή x =2

Τώρα, απλά μπορούμε να εισάγουμε την τιμή του x σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις για να λύσουμε την τιμή του y.

y =2x-1

y =2 (2) – 1

y =4-1

y =3 

Ως εκ τούτου, η τιμή του y που προκύπτει είναι 3.

Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να λάβουμε αλγεβρικά ένα σύστημα λύσεων γραμμικών εξισώσεων.

Πώς μπορούμε να βρούμε λύσεις σε ένα πραγματικό πρόβλημα χρησιμοποιώντας ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων;

Μάθαμε πώς να λύνουμε εξισώσεις του συστήματος γραμμικών εξισώσεων γραφικά ή αλγεβρικά. Συνήθως, τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων έχουν σημασία επειδή χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων της πραγματικής ζωής. Ομοίως, ας λύσουμε μια ερώτηση που αντικατοπτρίζει ένα πραγματικό παράδειγμα για καλύτερη κατανόηση.

Ας εξετάσουμε το ακόλουθο πρόβλημα:

Ένα αγόρι μπορεί να τρέξει με ταχύτητα 0,2 χλμ. ανά λεπτό. Ένα άλογο μπορεί να τρέξει με 0,6 χλμ το λεπτό. Ωστόσο, το άλογο επιτρέπεται να ξεκινήσει 6 λεπτά μετά το αγόρι, καθώς απαιτεί 6 λεπτά για να σελώσει το άλογο. Πόσο καιρό θα χρειαστεί το άλογο για να προσπεράσει το αγόρι;

Ας υποθέσουμε ότι το αγόρι καλύπτει x απόσταση σε y χρόνο.

Όπως γνωρίζουμε, απόσταση =ταχύτητα * χρόνος

Για το αγόρι, παίρνουμε x =0,2 y

Ομοίως, για το άλογο, παίρνουμε x =0,5 (y – 6)

Σημείωση:Το 6 αφαιρείται από τον χρόνο από το άλογο καθώς το άλογο ξεκινά 6 λεπτά αργότερα, λόγω του χρόνου που απαιτείται για να το σέλα.

Για να το λύσουμε αλγεβρικά, ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο αντικατάστασης.

Δεδομένου ότι x =0,2 y, και x =0,5 (y – 6)

0,2y =0,5 (y – 6)

0,2 y =0,5 y – 3

0,3 y =3

Ως εκ τούτου, παίρνουμε y =10 λεπτά.

Το άλογο προσπερνά το αγόρι μέσα σε 10 λεπτά.

Συμπέρασμα

Σε αυτό το άρθρο, μάθαμε πώς να λύνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας διαφορετικές μεθόδους. Τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων είναι ένας εύκολος τρόπος επίλυσης προβλημάτων της πραγματικής ζωής, και ως εκ τούτου, έχουν μεγάλη σημασία στη φυσική. Εκτός από τα λυμένα παραδείγματα, αυτά περιλαμβάνουν επίσης προβλήματα ταχυτήτων ανάντη και κατάντη και κυρίως ερωτήσεις που σχετίζονται με την ταχύτητα. Για την επίλυση MCQ, χρησιμοποιούνται κατά προτίμηση αλγεβρικές μέθοδοι.