Μέση ταχύτητα και στιγμιαία ταχύτητα

Η ταχύτητα και η ταχύτητα είναι δύο διαφορετικές οντότητες. Η μέση ταχύτητα είναι το συνολικό μήκος διαδρομής που διανύεται από ένα αντικείμενο διαιρούμενο με το χρόνο που απαιτείται για την κίνηση. Η στιγμιαία ταχύτητα είναι η ταχύτητα που καταγράφεται σε ένα συγκεκριμένο χρονικό σημείο.

Από την άλλη πλευρά, η μέση ταχύτητα υποδηλώνει την αλλαγή στη θέση ενός αντικειμένου (μετατόπιση) διαιρούμενη με το χρόνο που έλαβε χώρα η μετατόπιση. Έτσι, μπορούμε να ορίσουμε τη στιγμιαία ταχύτητα ως το πόσο γρήγορα κινείται ένα αντικείμενο όταν βρίσκεται σε κίνηση σε μια συγκεκριμένη στιγμή κατά τη διάρκεια αυτού του συγκεκριμένου χρονικού διαστήματος που λαμβάνεται υπόψη.

Τώρα ας εμβαθύνουμε στο υλικό μελέτης μέσης ταχύτητας και στιγμιαίας ταχύτητας.

Μέση ταχύτητα

Η μέση ταχύτητα ορίζεται ως η απόσταση που καλύπτεται από το αντικείμενο διαιρούμενη με το χρόνο που έχει περάσει από τότε που ξεκίνησε.

Δεδομένου ότι ορίζεται αποκλειστικά από ένα μέγεθος, η μέση ταχύτητα είναι αναμφισβήτητα μια κλιμακωτή ποσότητα.

Η μέση ταχύτητα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Μέση ταχύτητα =Συνολική απόσταση που διανύθηκε καθ' όλη τη διάρκεια του ταξιδιού Ο συνολικός χρόνος λαμβάνεται για το ταξίδι

Τα μίλια ανά ώρα (mph), τα χιλιόμετρα ανά ώρα (km/h), τα μέτρα ανά δευτερόλεπτο (m/s) και τα πόδια ανά δευτερόλεπτο (ft/s) είναι μερικές από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες μονάδες ταχύτητας.

Η μέση ταχύτητα του ολοκαίνουργιου κόκκινου σπορ αυτοκινήτου σας, σύμφωνα με την εκτίμηση του φίλου σας, ήταν τέλεια! Διαίρεσε την απόσταση που διένυσε με το αυτοκίνητο (45 μίλια) με το χρόνο που πέρασε (1,25 ώρα). Οι εργασίες στον αυτοκινητόδρομο, καθώς και τα κόκκινα φανάρια στους παράδρομους, εμπόδισαν σημαντικά την πρόοδό σας. Ως αποτέλεσμα της μεγάλης περιόδου που πέρασε, η μέση ταχύτητα ήταν χαμηλή. Τα λάθη και οι υποθέσεις που γίνονται συχνά κατά τον υπολογισμό των ίδιων ορίζονται στην επόμενη ενότητα.

Στιγμιαία ταχύτητα

Η στιγμιαία ταχύτητα, μερικές φορές γνωστή ως απλώς ταχύτητα, είναι ο αριθμός που μας πληροφορεί πόσο γρήγορα ένα αντικείμενο ταξιδεύει κάπου στη διαδρομή του. Είναι απαραίτητο να περιγράψουμε τη θέση x ως συνεχή συνάρτηση του χρόνου, που υποδεικνύεται με το σύμβολο x(t). Με αυτήν την αναπαράσταση, η εξίσωση για τη μέση ταχύτητα μεταξύ δύο θέσεων είναι

vinstant =x(t2) – x(t1)t2 – t1 

Η στιγμιαία ταχύτητα σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας την ακόλουθη εξίσωση:

t1 =t και t2 =t + Δt

Τη στιγμή t1 =t η θέση ορίζεται ως x(t1) =x

και τη χρονική στιγμή t2 =t+ Δt, η θέση ορίζεται ως x(t2) =x+ Δx

Αφού ενσωματώσουμε αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση της μέσης ταχύτητας και προσδιορίσουμε τα άνω και κάτω όρια, έχουμε

Δt→0

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο για τη στιγμιαία ταχύτητα:

vinstant=limt →0 xt

vinstant =dxdt

Για παράδειγμα, το ταχύμετρο στο αυτοκίνητό σας σας ενημερώνει πόσο γρήγορα ταξιδεύετε οποιαδήποτε στιγμή όταν οδηγείτε. Αν θέλουμε να γνωρίζουμε την ορμή κάθε αντικειμένου λίγο πριν από μια σύγκρουση, μπορούμε να δούμε τη στιγμιαία ταχύτητα κάθε αντικειμένου.

Υπολογισμός στιγμιαίας ταχύτητας

Αν θέλουμε να υπολογίσουμε τη στιγμιαία ταχύτητα, πρέπει πρώτα να ορίσουμε τη ρητή εκδοχή της συνάρτησης θέσης του χρόνου, δηλαδή x(t). Ας υποθέσουμε ότι κάθε όρος στην εξίσωση x(t) παίρνει Atn, όπου το A είναι σταθερά και το n είναι ακέραιος. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα ισχύος, μπορούμε να διαφοροποιήσουμε κάθε όρο για να δώσουμε τα εξής:

dxdt=d(Atn)dt

dxdt=nAtn-1

Αριθμητικά στη μέση ταχύτητα και στιγμιαία ταχύτητα

Ε1:Ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 30 km/h για 2 ώρες και στη συνέχεια επιβραδύνει στα 20 km/h για την επόμενη 1 ώρα. Βρείτε τη μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου.

Λύση:Απόσταση 1 =30x 2 =60 km 

Απόσταση 2 =20x 1 =20 km

Σύνολο απόστασης =Απόσταση 1 + Απόσταση 2 

D =60 + 20 =80 km

Συνολική απόσταση που διανύθηκε / Συνολικός χρόνος =Μέση ταχύτητα =80/3 =26,67 km/hr

Ε2:Η μετατόπιση ενός σωματιδίου παρέχεται από την έκφραση x(t) =10 t2 – 5t + 1. Υπολογίστε τη στιγμιαία ταχύτητα του αντικειμένου τη στιγμή t =3s.

Λύση :Η στιγμιαία ταχύτητα δίνεται από 

v =t0 st

=t0 (x(t+t))- x(t)t

=t3 d(10t2 – 5t +1)dt

=t3 (20t – 5)

Ταχύτητα(i) =(20(3)-5)

Ταχύτητα(i) =60-5

Ταχύτητα(i) =55m/s

Συμπέρασμα

Το υλικό μελέτης σημειώνει τη μέση ταχύτητα και τη στιγμιαία ταχύτητα, δηλαδή είναι δύο διακριτές ποσότητες. Η μέση ταχύτητα δεν χρειάζεται να έχει το ίδιο μέγεθος με τη στιγμιαία ταχύτητα. Ωστόσο, η μέση ταχύτητα εξαρτάται από την απόσταση και η στιγμιαία ταχύτητα εξαρτάται από τη μετατόπιση.

Η μέση ταχύτητα και η στιγμιαία ταχύτητα δεν είναι τα ίδια πράγματα. Η στιγμιαία ταχύτητα είναι μια διανυσματική ποσότητα που χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει την ταχύτητα ενός αντικειμένου σε κίνηση σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή όταν λαμβάνεται υπόψη ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Είναι μια σημαντική μέθοδος που μπορεί να χρησιμοποιηθεί από φυσικούς, μαθηματικούς, στατιστικολόγους για την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την καθημερινή μας ζωή και την κατανόηση της φυσικής πίσω από αυτήν.