Ένα θερμόμετρο λαμβάνεται από ένα δωμάτιο όπου η θερμοκρασία 20c έως το ύπαιθρο 5C μετά από ένα λεπτό διαβάζει 12C πότε θα διαβάσει 6c;

Έστω \ (t (t) \) να είναι η θερμοκρασία του θερμόμετρου στο χρόνο t.

Δεδομένου ότι η θερμοκρασία μειώνεται, μπορούμε να γράψουμε τη διαφορική εξίσωση:

$$ \ begin {align} \ frac {dt} {dt} =k (t-5) \ end {align} $$

όπου k είναι μια θετική σταθερά.

Διαχωρισμός μεταβλητών και ενσωμάτωσης, παίρνουμε:

$$ \ begin {align} \ frac {1} {t-5} dt =kdt \ end {align} $$

$$ \ ln | t-5 | =kt+c_1 $$

$$ t-5 =ce^{kt} $$

$$ t =ce^{kt} +5 $$

Χρησιμοποιώντας την αρχική κατάσταση \ (t (0) =20 \), διαπιστώνουμε ότι \ (c =15 \)

Επομένως, η λύση στη διαφορική εξίσωση (1) είναι

$$ t (t) =15e^{kt}+5 $$

Χρησιμοποιώντας την άλλη δεδομένη κατάσταση \ (t (1) =12 \), το βρίσκουμε

$$ 12 =15e^k+5 $$

$$ e^k =\ frac {7} {10} \ Επομένως $$

$$ k =\ ln \ frac {7} {10} $$

Έτσι, η λύση στη διαφορική εξίσωση (1) γίνεται:

$$ \ boxed {t (t) =15 e^{\ left (\ ln \ frac {7} {10} \ right) t} +5} $$

Ρύθμιση \ (t =6 \), τελικά παίρνουμε

$$ 6 =15e^{(\ ln \ frac {7} {10}) t}+5 $$

$$ 1 =15e^{(\ ln \ frac {7} {10}) t} $$

$$ \ frac {1} {15} =e^{(\ ln \ frac {7} {10}) t} $$

$$ (\ frac {1} {15})^{\ frac {1} {\ ln \ frac {7} {10}}} =t $$

$$ t =\ frac {\ ln {\ frac {1} {15}}} {\ ln \ frac {7} {10}} $$

$$ t =\ frac {\ ln 1- \ ln15} {\ ln7- \ ln 10} \ qu.23 \ text {mental} $$

Ως εκ τούτου, θα χρειαστούν περίπου 1,23 λεπτά για να διαβάσει το θερμόμετρο C.