Υπολογισμός Nusselt Number for Forced Convection:Plates &Pipes

Σε αυτό το άρθρο θα βρείτε τύπους για τον υπολογισμό του τοπικού και του μέσου αριθμού Nusselt για εξαναγκασμένες ροές πάνω από πλάκες και σε σωλήνες με κυκλικές διατομές.

Αριθμός Nusselt

Ο ορισμός και η σημασία του αριθμού Nusselt ως παραμέτρου ομοιότητας έχει ήδη εξηγηθεί λεπτομερώς στο συνδεδεμένο άρθρο. Με αυτήν την παράμετρο, ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας μπορεί να υπολογιστεί ως συνάρτηση του χαρακτηριστικού μήκους του συστήματος. Έτσι, η ροή θερμότητας μπορεί να προσδιοριστεί με βάση τη διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ τοιχώματος και ρευστού. Η ροή θερμότητας αντιπροσωπεύει τη ροή θερμότητας ανά μονάδα επιφάνειας που μεταφέρεται από τον τοίχο στο ρέον ρευστό (για θερμαινόμενους τοίχους) ή από το ρέον ρευστό στον τοίχο (για θερμαινόμενα ρευστά).

\αρχή{στοίχιση}
\label{qq}
&\boxed{\dot q =\alpha \cdot \Delta T} \\[5px]
&\boxed{\alpha =Nu \cdot \frac{\lambda_f}{L}} \\[5px]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
\notag&\dot q ~&&\text{heat flow} \\[5px]
\notag&\alpha ~&&\text{συντελεστής μεταφοράς θερμότητας} \\[5px]
\notag&\Delta T~&&\text{διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ τοίχου και υγρού} \\[5px]
\notag&Nu~&&\text{Nusselt number} \\[5px]
\notag&\lambda_f~&&\text{θερμική αγωγιμότητα του ρευστού} \\[5px]
\notag&L~&&\text{χαρακτηριστικό μήκος του συστήματος} \\[5px]
\end{align}

Το χαρακτηριστικό μήκος αντιστοιχεί στην εσωτερική διάμετρο του σωλήνα στην περίπτωση ροής σωλήνα ή στο μήκος μιας πλάκας προς την κατεύθυνση ροής στην περίπτωση μιας πλάκας που ρέει γύρω από ένα ρευστό. Στις περιπτώσεις όπου ένα ρευστό ρέει γύρω από ένα αντικείμενο, η θερμοκρασία του ρευστού για τον υπολογισμό της διαφοράς θερμοκρασίας αναφέρεται στη θερμοκρασία στο ελεύθερο στρέμμα (Tf,∞). Για τα υγρά σε σωλήνες, η θερμοκρασία αδιαβατικής ανάμειξης (Tf) λαμβάνεται ως βάση για τον υπολογισμό της τοπικής μεταφοράς θερμότητας, δηλαδή η θερμοκρασία που θα λαμβανόταν εάν το ρευστό αναμειγνυόταν ιδανικά στο σημείο ενδιαφέροντος.

Εξάρτηση του αριθμού Nusselt

Κατ' αρχήν, ο αριθμός Nusselt δεν είναι υλική σταθερά, αλλά καθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από τις ιδιότητες της ροής σε σχέση με την ταχύτητα και τη θερμική αγωγιμότητα. Η ταχύτητα ροής χαρακτηρίζεται από τον αδιάστατο αριθμό Reynolds Re. Η θερμική αγωγιμότητα λαμβάνεται επίσης υπόψη με μια αδιάστατη παράμετρο, τον λεγόμενο αριθμό Prandtl Pr. Ο αριθμός Prandtl περιγράφει τη μεταφορά της ορμής μεταξύ των ρευστών στρωμάτων σε σχέση με τη μεταφορά θερμότητας με θερμική αγωγιμότητα. Έτσι, η ακόλουθη λειτουργική εξάρτηση ισχύει γενικά για τον αριθμό Nusselt:

\αρχή{στοίχιση}
&\overline{Nu}=\overline{Nu} (Re, Pr) \\[5px]
\end{align}

Σημειώστε ότι όταν χρησιμοποιείτε τον αριθμό Reynolds, το είδος της ροής παίζει καθοριστικό ρόλο, δηλαδή εάν η ροή είναι στρωτή ή τυρβώδης. Στις τυρβώδεις ροές, οι αριθμοί Nusselt γενικά λαμβάνουν πολύ μεγάλες τιμές, καθώς η ανάμειξη που προκαλείται από τις αναταράξεις οδηγεί σε αυξημένη μεταφορά ορμής και ενέργειας εγκάρσια προς την κατεύθυνση της ροής. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα μεγάλη ροή θερμότητας.

Στη συνέχεια, θα εμφανιστεί ο υπολογισμός των αριθμών Nusselt για τις ακόλουθες περιπτώσεις:

• ροή γύρω από μια επίπεδη πλάκα
• ροή μέσω σωλήνα με κυκλική διατομή

Οι υπολογισμοί βασίζονται ουσιαστικά στο VDI Wärmeatlas (7η έκδοση, 1994). Οι τύποι ισχύουν αποκλειστικά για αναγκαστικές ροές με αντλίες ή ανεμιστήρες και όχι σε ελεύθερη μεταφορά.

Λασματική ροή

Για αριθμούς Reynolds μικρότερους από 10.000 και αριθμούς Prandtl μεταξύ 0,6 και 2000, ο μέσος αριθμός Nusselt για μια στρωτή ροή γύρω από μια επίπεδη πλάκα που θερμαίνεται ή ψύχεται ισοθερμικά μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή{στοίχιση}
\label{nul}
&\boxed{\overline{Nu}_\text{lam}=0,664 \cdot \sqrt{Re} \cdot \sqrt[3]{Pr}} \\[5px]
&Re<10^5 ~~\κείμενο{και}~~0,6 \end{align}

Σχήμα:Συναγωγική μεταφορά θερμότητας σε επίπεδη πλάκα με στρωτή ροή

Οι τιμές υλικού για τον υπολογισμό των αριθμών Reynolds και Prandtl αναφέρονται στη μέση θερμοκρασία του ρέοντος ρευστού. Εάν το T1 υποδηλώνει τη θερμοκρασία του ρευστού στην αρχή της πλάκας και το T2 τη θερμοκρασία στο τέλος, τότε η μέση θερμοκρασία υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή{στοίχιση}
\label{mean}
T_m =\frac{T_1+T_2}{2}
\end{align}

Προκειμένου να διασφαλιστεί μια στρωτή ροή γύρω από την πλάκα, η άκρη πρέπει να είναι όσο το δυνατόν πιο απλοποιημένη. Διαφορετικά, μια αιχμηρή άκρη θα προκαλέσει δίνες και συνεπώς αναταράξεις στο οριακό στρώμα.

Τυρβώδης ροή

Εάν η ροή γύρω από την ισοθερμικά θερμαινόμενη ή ψυχόμενη πλάκα είναι τυρβώδης ροή, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος τύπος για τον υπολογισμό του μέσου αριθμού Nusselt σε σταθερή θερμοκρασία τοίχου. Αυτός ο τύπος βασίζεται στις μελέτες του Petukov (Υψηλή θερμοκρασία I, 1963) και Schlichting (Grenzschicht-Theorie , 1958).

\αρχή{στοίχιση}
\label{nut}
&\boxed{\overline{Nu}_\text{tur}=\frac{0.037 \cdot Re^{0.8}\cdot Pr}{1+2.443 \cdot Re^{-0,1} \left(Pr^{\frac{2}{3}}-1\right)} } \\[5p]
&5 \cdot 10^5 \end{align}

Σχήμα:Συναγωγική μεταφορά θερμότητας σε επίπεδη πλάκα με τυρβώδη ροή

Οι αριθμοί Reynolds είναι, εξ ορισμού, πάνω από τους κρίσιμους αριθμούς Reynolds στις τυρβώδεις ροές. Για την εγκυρότητα του παραπάνω τύπου, οι αριθμοί Reynolds θα πρέπει επομένως να βρίσκονται στην περιοχή μεταξύ 5⋅105 και 107. Οι αριθμοί Prandtl θα πρέπει να είναι στην περιοχή μεταξύ 0,6 και 2000 για να είναι έγκυρος ο τύπος. Οι τιμές υλικού για τον προσδιορισμό αυτών των αδιάστατων παραμέτρων αναφέρονται στη μέση θερμοκρασία του ρευστού [βλ. τύπο (\ref{mean})].

Λασματική και τυρβώδης ροή

Στην πράξη, ακόμη και με μέτριους αριθμούς Reynolds, η ροή δεν είναι εντελώς στρωτή σε πολλές περιπτώσεις. Ο λόγος για αυτό είναι η ως επί το πλείστον μη βελτιωμένη άκρη της πλάκας. Επιπλέον, στην πράξη η πλάκα δεν ρέει ποτέ ακριβώς παράλληλα, δηλαδή η ροή περιέχει ήδη χαμηλό βαθμό αναταράξεων . Μετά από μια περιοχή όπου η ροή είναι σχεδόν στρωτή, η ροή μετατρέπεται επομένως σε τυρβώδη ροή. Ένα στρωματικό υποστρώμα αναπτύσσεται κατά μήκος ολόκληρης της πλάκας.

Σχήμα:Συναγωγική μεταφορά θερμότητας σε επίπεδη πλάκα με στρωτή-στροβιλώδη ροή

Για τον κρίσιμο αριθμό Reynolds Recrit, από τον οποίο αναμένεται η μετάβαση από τη στρωτή στην τυρβώδη ροή, ισχύει:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{Re_\text{crit}=\frac{v_\infty \cdot x_\text{crit}}{\nu}=5 \cdot 10^5} \\[5px]
\end{align}

Σε αυτόν τον τύπο, το v∞ υποδηλώνει την ταχύτητα ροής του ελεύθερου ρεύματος.

Για ροές με στρωτή-στροβιλώδη μετάβαση με αριθμούς Reynolds μεταξύ 10 και 107, ο μέσος αριθμός Nusselt υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή{στοίχιση}
\label{nuu}
&\boxed{\overline{Nu}=\sqrt{\overline{Nu}_\text{lam}^2 + \overline{Nu}_\text{tur}^2}} \\[5px]
&10 \end{align}

Οι αριθμοί Nusselt Nulam και Nutur πρέπει να υπολογιστούν με τους τύπους (\ref{nul}) και (\ref{nut}).

Λαμβάνοντας υπόψη την κατεύθυνση της ροής θερμότητας και την εξάρτηση από τη θερμοκρασία των ιδιοτήτων του υλικού

Κατά τον υπολογισμό των αριθμών Nusselt, πρέπει πάντα να λαμβάνεται υπόψη εάν η θερμότητα μεταφέρεται από το ρευστό στην πλάκα ή το αντίστροφο. Ανάλογα με την περίπτωση, υπάρχει διαφορετική κατανομή θερμοκρασίας στο ρευστό παρά τις ίδιες θερμοκρασίες υγρού (η οποία σχετίζεται με τη θερμοκρασία του ελεύθερου ρεύματος). Αυτό έχει επίδραση στις ιδιότητες του υλικού του ρευστού.

Εικόνα:Επίδραση της κατεύθυνσης ροής θερμότητας στην καμπύλη θερμοκρασίας

Για παράδειγμα, το ιξώδες των υγρών μειώνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας. Αυτό επηρεάζει το οριακό στρώμα της ταχύτητας και συνεπώς τη μεταφορά θερμότητας. Για τα υγρά, αυτές οι εξαρτήσεις μπορούν να ληφθούν υπόψη με τον παράγοντα που δίνεται παρακάτω, ο οποίος πρέπει να εφαρμοστεί στους υπολογισμένους αριθμούς Nusselt:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\overline{Nu}^*=\overline{Nu} \cdot \left(\frac{Pr}{Pr_w}\right)^{0,25} } ~~~~~\text{για υγρά}\\[5px]
\end{align}

Με αυτόν τον τρόπο λαμβάνεται υπόψη όχι μόνο η κατεύθυνση της ροής θερμότητας, αλλά και η γενική εξάρτηση των τιμών του υλικού από τη θερμοκρασία. Ο αριθμός Prandtl Pr αναφέρεται στη μέση θερμοκρασία υγρού, ενώ ο αριθμός Prandtl Prw αναφέρεται στις τιμές υλικού του υγρού σε θερμοκρασία τοιχώματος. Για τα αέρια, ο παράγοντας για τη συνεκτίμηση της εξάρτησης από τη θερμοκρασία συνήθως βασίζεται απευθείας μέσω της αναλογίας των θερμοκρασιών μεταξύ υγρού και τοιχώματος, καθώς για τα αέρια ο αριθμός Prandtl δεν επηρεάζεται έντονα από τη θερμοκρασία:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\overline{Nu}^*=\overline{Nu} \cdot \left(\frac{T_f}{T_w}\right)^{0.12} } ~~~~~\text{for gases}\\[5px]
\end{align}

Υπολογισμός του αριθμού Nusselt για εξαναγκασμένες ροές σωλήνων

Ορισμός του μέσου συντελεστή μεταφοράς θερμότητας

Στη συνέχεια εξετάζουμε τη ροή ενός ρευστού μέσω ενός θερμαινόμενου ή ψυχόμενου σωλήνα με σταθερή θερμοκρασία τοιχώματος Tw. Η θερμοκρασία του ρευστού στην αρχή του σωλήνα συμβολίζεται με Τ1 και στο τέλος του σωλήνα με Τ2. Ωστόσο, το ρευστό στο άκρο του σωλήνα δεν έχει ομοιόμορφο προφίλ θερμοκρασίας. Επομένως, η θερμοκρασία T2 αναφέρεται στην αδιαβατική θερμοκρασία ανάμιξης .

Εικόνα:Ορισμός του συντελεστή μεταφοράς θερμότητας για τις ροές σωλήνων

Για τον υπολογισμό της συναγωγής μεταφοράς θερμότητας σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{qq}) η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ τοιχώματος και ρευστού είναι καθοριστική. Ωστόσο, η θερμοκρασία του υγρού αλλάζει σε όλο το μήκος του σωλήνα. Για έναν ισοθερμικά θερμαινόμενο σωλήνα, η θερμοκρασία του ρευστού αυξάνεται μόνιμα καθώς ρέει μέσα από αυτόν. Στην αρχή, περισσότερη θερμότητα μεταφέρεται λόγω της σχετικά μεγάλης διαφοράς θερμοκρασίας μεταξύ τοιχώματος και ρευστού παρά προς το τέλος του σωλήνα. Ως εκ τούτου, η διαφορά θερμοκρασίας ορίζεται ως μια λογαριθμική διαφορά θερμοκρασίας ΔTln:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\Delta T_\text{ln}:=\frac{\Delta T_\text{in}-\Delta T_\text{out}}{\ln\left(\frac{\Delta T_\text{in}}{\Delta T_\text{out}} \right) ~[thmic temperature ~~~
&\Delta T_\text{ln}=\frac{(T_\text{w}-T_1)-(T_\text{w}-T_2)}{\ln\left(\frac{T_\text{w}-T_1}{T_\text{w}-T_2} \right)} \\[5px]
\end{align}

Με το α ως μέσο συντελεστή μεταφοράς θερμότητας, η μέση ροή θερμότητας του σωλήνα μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\overline{\dot q} =\overline{\alpha} \cdot \Delta T_\text{ln} } \\[5px]
\end{align}

Ο μέσος συντελεστής μεταφοράς θερμότητας καθορίζεται από τον μέσο αριθμό Nusselt (η εσωτερική διάμετρος d του σωλήνα αντιστοιχεί στο χαρακτηριστικό μήκος):

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\overline{\alpha} =\overline{Nu} \cdot \frac{\lambda_f}{d}} \\[5px]
\end{align}

Ορισμός των παραγόντων προφίλ

Για τις ροές σωλήνων, το προφίλ θερμοκρασίας και επομένως ο αριθμός Nusselt δεν εξαρτάται μόνο από τον αριθμό Reynolds και τον αριθμό Prandtl. Πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη ποια εσωτερική διάμετρος d έχει ο σωλήνας σε σχέση με το μήκος του l. Ο μέσος αριθμός Nusselt Επομένως, το Nu εξαρτάται γενικά από τον ακόλουθο μέσο παράγοντα προφίλ β:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\overline{\beta}:=Re \cdot Pr \cdot \frac{d}{l}} ~~~~~\text{μέσος παράγοντας προφίλ} \\[5 px]
&\boxed{\overline{Nu}=\overline{Nu}(\overline{\beta})} \\[5px]
\end{align}

Το μήκος l δεν αναφέρεται απαραίτητα σε ολόκληρο τον σωλήνα, αλλά βασικά μόνο σε εκείνο το τμήμα εντός του οποίου πραγματοποιείται μεταφορά θερμότητας μεταξύ σωλήνα και ρευστού. Για λόγους απλότητας, ωστόσο, το l συνήθως ονομάζεται μήκος σωλήνα .

Εικόνα:Μήκος σωλήνα ως τμήμα μεταφοράς θερμότητας

Για τον υπολογισμό του τοπικού αριθμού Nusselt Nu, μόνο η απόσταση x μέχρι το σημείο ενδιαφέροντος χρησιμοποιείται ως χαρακτηριστικό μήκος. Έτσι, ο τοπικός παράγοντας προφίλ Το β υπολογίζεται με τον τύπο που δίνεται παρακάτω.

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\beta:=Re \cdot Pr \cdot \frac{d}{x}} ~~~~~\text{τοπικός παράγοντας προφίλ} \\[5 px]
&\boxed{Nu=Nu(\beta)} \\[5px]
\end{align}

Οι τιμές υλικού για τον υπολογισμό των αριθμών Reynolds και Prandtl αναφέρονται και πάλι στη μέση θερμοκρασία του ρευστού. Εάν T1 υποδηλώνει τη θερμοκρασία του ρευστού στην αρχή της μεταφοράς θερμότητας και T2 τη θερμοκρασία του ρευστού στο τέλος της μεταφοράς θερμότητας (θερμοκρασία ανάμειξης ), τότε η μέση θερμοκρασία υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή{στοίχιση}
T_m =\frac{T_1+T_2}{2}
\end{align}

Το γινόμενο του αριθμού Reynolds και του αριθμού Prandtl ονομάζεται επίσης αριθμός Péclet-Pe. Ο παράγοντας προφίλ μπορεί επομένως να οριστεί από τον αριθμό Péclet:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{Pe:=Re \cdot Pr}=\frac{v \cdot L}{a} &&~~~~~\text{Péclet number} \\[5px]
&\beta=Pe \cdot \frac{d}{l} &&~~~~~\text{μέσος παράγοντας προφίλ} \\[5 px]
&\beta=Pe \cdot \frac{d}{x} &&~~~~~\text{τοπικός παράγοντας προφίλ} \\[5px]
\end{align}

Σημειώστε ότι ο αριθμός Péclet προσδιορίζεται μόνο από τη μέση ταχύτητα ροής v, τη θερμική διαχυτικότητα «a» του ρευστού και το χαρακτηριστικό μήκος L του συστήματος. Δεν εξαρτάται από το ιξώδες του υγρού! Από αυτή την άποψη, το ιξώδες του ρευστού δεν είναι σημαντικό για τη μεταφορά θερμότητας στους σωλήνες που εξηγούνται παρακάτω.

Οριακές τιμές των αριθμών Nusselt

Στο άρθρο σχετικά με τον αριθμό Nusselt, φάνηκε ότι, ανάλογα με τη συνοριακή συνθήκη και υπό την προϋπόθεση μιας υδροδυναμικά και θερμικά πλήρως ανεπτυγμένης ροής σωλήνα, οι αριθμοί Nusselt προσεγγίζουν τις ακόλουθες ασύμπτωτες:

\αρχή{στοίχιση}
\label{366}
&\boxed{Nu_{\infty}=3.660} &&~~~\text{για σταθερή θερμοκρασία τοίχου}\\[5px]
\label{4364}
&\boxed{Nu_{\infty}=4.364} &&~~~\text{για σταθερή ροή θερμότητας στον τοίχο}\\[5px]
\end{align}

Σχήμα:Οριακές τιμές (ασύμπτωτες) των αριθμών Nusselt για ροές σωλήνων με σταθερή πυκνότητα ροής θερμότητας ή σταθερή θερμοκρασία τοιχώματος

Αυτό είναι αξιοσημείωτο στο ότι ούτε ο αριθμός Reynolds ούτε ο αριθμός Prandtl επηρεάζουν αυτές τις ασύμπτωτες. Ωστόσο, αυτές οι οριακές τιμές ισχύουν μόνο για πλήρως ανεπτυγμένες ροές, οι οποίες στην πράξη γενικά δεν δίνονται για πεπερασμένα μήκη σωλήνων.

Στρωτή ροή σε σταθερή θερμοκρασία τοιχώματος

Πλήρως ανεπτυγμένη υδροδυναμική ροή (μακροί σωλήνες)

Ο μέσος αριθμός Nusselt Το Nu για μια υδροδυναμικά πλήρως ανεπτυγμένη ροή (πλήρως ανεπτυγμένο προφίλ ταχύτητας) μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τύπο χρησιμοποιώντας τον μέσο συντελεστή προφίλ β:

\αρχή{στοίχιση}
\label{nu_lg}
&\boxed{\overline{Nu}=\sqrt[3]{49.371 + \left(1.615 \cdot \sqrt[3]{\overline{\beta}}-0.7 \right)^3} } \\[5px]
&\overline{\beta}=Re \cdot Pr \cdot \frac{d}{l}\\[5px]
\end{align}

Υπάρχει μια πλήρως ανεπτυγμένη ροή, για παράδειγμα, εάν το ρευστό έχει ήδη ρέει μέσω ενός αρκετά μεγάλου τμήματος σωλήνα πριν φτάσει στο πραγματικό τμήμα σωλήνα μεταφοράς θερμότητας μήκους l.

Εικόνα:Συναγωγή μεταφορά θερμότητας με υδροδυναμικά πλήρως ανεπτυγμένη ροή (προφίλ ταχύτητας) και σταθερή θερμοκρασία τοίχου

Ο τοπικός αριθμός Nusselt Το Nu σε μια συγκεκριμένη θέση x, που μετράται από την αρχή της μεταφοράς θερμότητας, μπορεί να προσδιοριστεί μέσω του τοπικού συντελεστή προφίλ β:

\αρχή{στοίχιση}
\label{nu_ll}
&\boxed{Nu=\sqrt[3]{49.371 + \left(1.077 \cdot \sqrt[3]{\beta}-0.7 \right)^3} } \\[5px]
&\beta=Re \cdot Pr \cdot \frac{d}{x} \\[5px]
\end{align}

Σημειώστε ότι οι συντελεστές προφίλ στους παραπάνω τύπους είναι κοντά στο μηδέν για πολύ μεγάλους σωλήνες. Σε αυτές τις περιπτώσεις, ο αριθμός Nusselt πλησιάζει όλο και περισσότερο την ασύμπτωτη του 3.660 [βλ. εξίσωση (\ref{366})]:

\αρχή{στοίχιση}
&\lim \limits_{l \to \infty}\beta \rightarrow 0 ~~~\Rightarrow~~~ Nu\rightarrow 3.660 \\[5px]
\end{align}

Λαμβάνοντας υπόψη την εξέλιξη της ροής (κοντές σωλήνες)

Στη συνέχεια θεωρούμε ένα ρευστό που ρέει μέσα από έναν σωλήνα και θερμαίνεται ή ψύχεται από την αρχή του σωλήνα. Για το σκοπό αυτό, μπορούμε να φανταστούμε μια μεγάλη δεξαμενή από την οποία ρέει υγρό μέσω ενός προσαρτημένου σωλήνα που θερμαίνεται. Σε αυτήν την περίπτωση, το υδροδυναμικό προφίλ ροής (προφίλ ταχύτητας) θα αναπτυχθεί πλήρως μόνο μετά από μια ορισμένη απόσταση (ροή εισόδου ).

Εικόνα:Συναγωγή μεταφορά θερμότητας με υδροδυναμικά μη πλήρως ανεπτυγμένη ροή και σταθερή θερμοκρασία τοίχου

Ο λόγος για αυτό οφείλεται στο ιξώδες του ρευστού και στη σχετική τριβή υγρού . Αυτό οδηγεί σε επιβράδυνση του ρευστού στον τοίχο και σε επιτάχυνση στο μέσο του σωλήνα λόγω της διατήρησης της μάζας . Για ένα Νευτώνειο ρευστό με σταθερό ιξώδες, θα αναπτυχθεί ένα προφίλ παραβολικής ταχύτητας στο μήκος εισόδου (Ροή Poiseuille). Σε αυτή την περίπτωση, ωστόσο, αυτό δεν μπορεί πλέον να υποτεθεί, καθώς το ρευστό δεν έχει σταθερή θερμοκρασία σε όλη τη διατομή όταν θερμαίνεται ή ψύχεται. Έτσι, το ιξώδες δεν είναι πλέον σταθερό.

Ανεξάρτητα από το ακριβές προφίλ ταχύτητας, είναι γεγονός ότι υπάρχει διαφορετικό προφίλ εντός του μήκους εισόδου από ό,τι όταν η ροή έχει αναπτυχθεί πλήρως. Ωστόσο, το προφίλ ταχύτητας επηρεάζει το προφίλ θερμοκρασίας και επομένως και ολόκληρη τη μεταφορά θερμότητας. Για αυτόν τον λόγο, ισχύουν διαφορετικοί αριθμοί Nusselt όταν λαμβάνεται υπόψη η εξέλιξη της ροής σε σχέση με μια ήδη αναπτυγμένη ροή.

Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό για μικρούς σωλήνες, όπου το μήκος εισόδου έχει σχετικά μεγάλο ποσοστό του συνολικού μήκους του σωλήνα. Μπορεί να υποτεθεί ότι λόγω της υψηλότερης ταχύτητας ροής στον τοίχο, πολύ περισσότερη θερμότητα μεταφέρεται μακριά από τον τοίχο από ό,τι σε μια πλήρως ανεπτυγμένη ροή, όπου η ταχύτητα ροής στον τοίχο έχει πέσει στο μηδέν (συνθήκη αντιολισθηρότητας ). Η διαβάθμιση θερμοκρασίας στον τοίχο είναι επομένως μεγαλύτερη με μια μη ανεπτυγμένη ροή, η οποία έχει ως αποτέλεσμα υψηλότερη μεταφορά θερμότητας και συνεπώς υψηλότερους αριθμούς Nusselt.

Εάν μια ροή δεν έχει αναπτυχθεί πλήρως, μπορούν να θεωρηθούν μεγαλύτεροι αριθμοί Nusselt από ό,τι εάν η ροή έχει αναπτυχθεί πλήρως!

Για ρευστά με μικρούς αριθμούς Prandtl, τα οποία εξ ορισμού έχουν σχετικά υψηλή θερμική διάχυση σε σύγκριση με το ιξώδες τους (π.χ. υγρά μέταλλα όπως ο υδράργυρος), η επίδραση της εξέλιξης της ροής στον αριθμό Nusselt είναι λιγότερο έντονη. Αυτό συμβαίνει γιατί με τέτοια υγρά η θερμότητα ούτως ή άλλως μεταφέρεται πολύ γρήγορα από τον τοίχο λόγω της υψηλής θερμικής αγωγιμότητας. η επίδραση του προφίλ ταχύτητας δεν παίζει τον καθοριστικό ρόλο εδώ.

Αντίθετα, αυτό σημαίνει ότι για ρευστά με σχετικά μεγάλους αριθμούς Prandtl, η επίδραση της ανάπτυξης της ροής είναι σχετικά ισχυρή. Για να ληφθεί υπόψη αυτό το γεγονός, οι εξισώσεις (\ref{nu_lg}) και (\ref{nu_ll}) τροποποιούνται επομένως από τους όρους που σημειώνονται με κόκκινο χρώμα, οι οποίοι εξαρτώνται ρητά από τον αριθμό Prandtl.

Ο τοπικός αριθμός Nusselt μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο που δίνεται παρακάτω, λαμβάνοντας υπόψη την εξέλιξη της ροής:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{Nu=\sqrt[3]{49.371 + \left(1.077 \cdot \sqrt[3]{\beta}-0.7 \right)^3 + \color{red}{\sqrt{\frac{0.03125}{1+22 \cdot Pr}\\cdot \5
&\text{mit}~~~\beta=Re \cdot Pr \cdot \frac{d}{x}\\[5px]
\end{align}

Ο παρακάτω τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του μέσου αριθμού Nusselt :

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\overline{Nu}=\sqrt[3]{49.371 + \left(1.615 \cdot \sqrt[3]{\beta}-0.7 \right)^3 + \color{red}{\sqrt{\frac{2}{1+22 \cdot Pr}\cdot \cdot \sqrt[3]
&\text{mit}~~~\beta=Re \cdot Pr \cdot \frac{d}{l}\\[5px]
\end{align}

Επειδή στις παραπάνω εξισώσεις ο παράγοντας προφίλ στον όρο που σημειώνεται με κόκκινο επηρεάζει τον αριθμό Nusselt με την τρίτη δύναμη, αυτός ο όρος είναι κοντά στο μηδέν πολύ γρήγορα για μεγάλες τιμές x ή l. Έτσι, οι αριθμοί Nusselt πλησιάζουν όλο και περισσότερο τους αριθμούς Nusselt για μια πλήρως ανεπτυγμένη ροή σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{nu_ll}) ή (\ref{nu_lg}).

Λαμβάνοντας υπόψη την κατεύθυνση της ροής θερμότητας και την εξάρτηση από τη θερμοκρασία των ιδιοτήτων του υλικού

Δεδομένου ότι οι αριθμοί Prandtl για τα υγρά εξαρτώνται σχετικά έντονα από τη θερμοκρασία, έχει και πάλι διαφορά εάν το ρευστό μεταφέρει θερμότητα στον σωλήνα ή εάν ο σωλήνας μεταφέρει θερμότητα στο ρευστό. Ανάλογα με αυτό, λαμβάνονται διαφορετικά προφίλ θερμοκρασίας στο ρευστό, τα οποία έχουν επίδραση στους αριθμούς Prandl.

Hufschmidt και Burck (International Journal of Heat and Mass Transfer, 1968) εισάγετε λοιπόν έναν συντελεστή διόρθωσης που λαμβάνει υπόψη την κατεύθυνση της ροής θερμότητας και την εξάρτηση από τη θερμοκρασία των τιμών του υλικού. Αυτός ο παράγοντας πρέπει να εφαρμοστεί στους υπολογισμένους μέσους αριθμούς Nusselt :

\αρχή{στοίχιση}
\label{temp}
&\boxed{\overline{Nu}^*=\overline{Nu} \cdot \left(\frac{Pr}{Pr_w}\right)^{0.11} ~ \text{valid for liquid}\\[5px]
\end{align}

Ο αριθμός Prandtl Pr αναφέρεται στη μέση θερμοκρασία υγρού, ενώ ο αριθμός Prandtl Prw αναφέρεται στις τιμές υλικού σε θερμοκρασία τοίχου.

Λόγω των σχετικά μικρών επιπτώσεων στην περίπτωση των αερίων που ρέουν, συνήθως δεν υπάρχει συντελεστής διόρθωσης. Σύμφωνα με το VDI Wärmeatlas (7η έκδοση, 1994) η επίδραση της θερμοκρασίας στον αριθμό Nusselt για τον αέρα, το άζωτο και το ήλιο είναι μικρότερη από 10 % εφόσον οι θερμοκρασίες αερίου και τοιχώματος δεν διαφέρουν μεταξύ τους περισσότερο από έναν παράγοντα 2 (για τη μονάδα Kelvin!).

Στρωτή ροή με σταθερή ροή θερμότητας στον τοίχο

Πλήρως ανεπτυγμένη υδροδυναμική ροή (μακροί σωλήνες)

Στη συνέχεια, εξετάζουμε μια πλήρως ανεπτυγμένη ροή μέσω ενός σωλήνα με σταθερή ροή θερμότητας στον τοίχο. Αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα, με τους ηλεκτρικά θερμαινόμενους σωλήνες. Ο τοπικός αριθμός Nusselt σε μια τοποθεσία x, που μετράται από την έναρξη της θέρμανσης ή της ψύξης, μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή{στοίχιση}
\label{96}
&\boxed{Nu=\sqrt[3]{84.11 + \left(1.302 \cdot \sqrt[3]{\beta}-1 \right)^3} } \\[5px]
&\beta=Re \cdot Pr \cdot \frac{d}{x}\\[5px]
\end{align}

Σχήμα:Συναγωγική μεταφορά θερμότητας με υδροδυναμικά πλήρως ανεπτυγμένη ροή (προφίλ ταχύτητας) και σταθερή ροή θερμότητας

Η ενσωμάτωση των τοπικών αριθμών Nusselt έχει ως αποτέλεσμα τον μέσο αριθμό Nusselt , το οποίο μπορεί επίσης να προσδιοριστεί με τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή{στοίχιση}
\label{97}
&\boxed{\overline{Nu}=\sqrt[3]{83.326 + \left(1.953 \cdot \sqrt[3]{\overline{\beta}}-0.6 \right)^3} } \\[5px]
&\overline{\beta}=Re \cdot Pr \cdot \frac{d}{l}\\[5px]
\end{align}

Και πάλι, πρέπει να σημειωθεί ότι για σωλήνες μεγάλου μήκους οι συντελεστές προφίλ είναι κοντά στο μηδέν. Σε αυτές τις περιπτώσεις οι αριθμοί Nusselt πλησιάζουν την ασύμπτωτη του 4,364 [βλ. εξίσωση (\ref{4364})]:

\αρχή{στοίχιση}
&\lim \limits_{l \to \infty}\beta \rightarrow 0 ~~~\Rightarrow~~~ Nu\rightarrow 4.364 \\[5px]
\end{align}

Λαμβάνοντας υπόψη την εξέλιξη της ροής (κοντές σωλήνες)

Ακόμη και υπό συνθήκες σταθερής ροής θερμότητας, η ανάπτυξη της ροής πρέπει και πάλι να λαμβάνεται υπόψη, εάν υπάρχει τέτοια εξέλιξη στο εσωτερικό του σωλήνα. Για αριθμούς Prandtl μεγαλύτερους από 0,7, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθοι τύποι για τον υπολογισμό του τοπικού ή του μέσου αριθμού Nusselt:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\overline{Nu}=0,924 \cdot Pr^{-\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{\overline{\beta}}} ~&&\overline{\beta}=Re \cdot Pr \cdot \frac{d}{l}\\[5 px]
&\boxed{Nu=0,462\cdot Pr^{-\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{\beta}} ~&&\beta=Re \cdot Pr \cdot \frac{d}{x}\\[5px]
&Pr>0,7
\end{align}

Εικόνα:Συναγωγή μεταφορά θερμότητας με υδροδυναμικά μη πλήρως ανεπτυγμένη ροή και σταθερή ροή θερμότητας

Και πάλι, οι υπολογισμένοι αριθμοί Nusselt για μεγάλες τιμές των x και l πλησιάζουν όλο και περισσότερο τις τιμές από την εξίσωση (\ref{96}) ή (\ref{97}), καθώς η επίδραση του μήκους εισόδου γίνεται όλο και πιο αμελητέα. Ωστόσο, όπως μπορεί επίσης να δει κανείς, οι αριθμοί Nusselt που λαμβάνονται λαμβάνοντας υπόψη την εξέλιξη της ροής συγκλίνουν στο μηδέν για περαιτέρω αυξανόμενες τιμές x ή l. Ωστόσο, αυτό δεν έχει νόημα, επειδή το όριο για τους αριθμούς Nusselt είναι 4,364 σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{4364}).

Επομένως, οι παραπάνω τύποι ισχύουν μόνο εφόσον οδηγούν σε μεγαλύτερες τιμές από τους υπολογισμούς με τους τύπους (\ref{96}) ή (\ref{97}). Εάν ληφθούν μικρότερες τιμές, τότε οι εξισώσεις (\ref{96}) ή (\ref{97}) ισχύουν, ακόμη και για μη πλήρως ανεπτυγμένες ροές!

Λαμβάνοντας υπόψη την κατεύθυνση της ροής θερμότητας και την εξάρτηση από τη θερμοκρασία των ιδιοτήτων του υλικού

Για τα υγρά, η επίδραση των τιμών υλικού που εξαρτώνται από τη θερμοκρασία στον μέσο αριθμό Nusselt θεωρείται και πάλι με συντελεστή διόρθωσης σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{temp}). Για τα αέρια, η επίδραση είναι συνήθως αμελητέα.

Τυρβώδης ροή

Σε τυρβώδεις ροές, το ρευστό αναμιγνύεται πολύ έντονα στον τοίχο, έτσι ώστε στην πράξη δεν είναι απαραίτητο να γίνει διάκριση μεταξύ των συνθηκών σταθερής θερμοκρασίας τοιχώματος και σταθερή ροή θερμότητας κατά τον υπολογισμό των αριθμών Nusselt.

Σε αυτό το πλαίσιο, ο στροβιλισμός της ροής επηρεάζει σημαντικά τη μεταφορά θερμότητας και συνεπώς τον αριθμό Nusselt. Η τραχύτητα του τοιχώματος του σωλήνα παίζει καθοριστικό ρόλο εδώ, η οποία με τη σειρά της έχει επίδραση στην απώλεια πίεσης κατά μήκος του σωλήνα. Επομένως, ο αριθμός Nusselt δίνεται ως συνάρτηση του συντελεστή απώλειας πίεσης ζ.

Σύμφωνα με τον Gnielinski (Neue Gleichungen für den Wärme- und den Stoffübergang στο ταραχώδες durchströmten Rohren und Kanälen . Forschung im Ingenieurwesen 41, 1975) και Filonenko (Hydraulischer Widerstand von Rohrleitungen , 1954) ο ακόλουθος τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του μέσου αριθμού Nusselt:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\overline{Nu} =\frac{\frac{\zeta}{8} \cdot (Re-1000) \cdot Pr}{1+12.7 \cdot \sqrt{\frac{\zeta}{8}} \cdot (Pr^\frac{2}{3}-1 )} \cdo \left[1+\left(\frac{d}{l}\right)^\frac{2}{3}\right]} \\[5px]
&~~~\boxed{\zeta=\left(1.82\cdot \log_{10}(Re) -1.64\right)^{-2}} \\[5px]
\end{align}

Εάν οι συντελεστές απώλειας πίεσης δεν είναι γνωστοί, οι ακόλουθοι τύποι μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για κατά προσέγγιση υπολογισμούς για τους μέσους αριθμούς Nusselt:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\overline{Nu} =0,0214 \left(Re^{0,8}-100 \right)\cdot Pr^{0,4}\cdot \left[1+\left(\frac{d}{l}\right)^\frac{2}{3} \right]} ~~[\\p\x]
&\boxed{\overline{Nu} =0,0120 \left(Re^{0,87}-280\right)\cdot Pr^{0,4}\cdot \left[1+\left(\frac{d}{l}\right)^\frac{2}{3} \right]} ~\r~5x1,5

\end{align}

Η εξάρτηση των τιμών του υλικού από τη θερμοκρασία μπορεί με τη σειρά του να ληφθεί υπόψη για τα υγρά από την αναλογία των αριθμών Prandtl στη μέση θερμοκρασία (Pr) και τη θερμοκρασία του τοιχώματος (Prw):

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\overline{Nu}^*=\overline{Nu} \cdot \left(\frac{Pr}{Pr_w}\right)^{0.11} ~ \text{ισχύει για υγρά}\\[5px]
\end{align}

Για τα αέρια, οι αριθμοί Prandtl εξαρτώνται ελάχιστα από τη θερμοκρασία. Επομένως, η επίδραση της θερμοκρασίας στη μεταφορά θερμότητας λαμβάνεται άμεσα υπόψη μέσω της σχέσης μεταξύ της μέσης θερμοκρασίας αερίου Tm και της θερμοκρασίας τοιχώματος Tw:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\overline{Nu}^*=\overline{Nu} \cdot \left(\frac{T_m}{T_w}\right)^{n} ~ \text{ισχύει για αέρια}\\[5px]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
&n=0 &&\text{für}~~ T_m>T_w ~\text{(το αέριο ψύχεται από τον τοίχο)}\\[5px]
&n\neq 0 &&\text{für}~~T_w>T_m ~\text{(το αέριο θερμαίνεται από τον τοίχο)}\\[5 px]
\end{align}

Εάν το αέριο μεταφέρει θερμότητα στον τοίχο, δηλαδή το αέριο ψύχεται, η επίδραση της θερμοκρασίας στον αριθμό Nusselt είναι σχετικά μικρή. Ο εκθέτης είναι επομένως μηδέν (n=0). Στην περίπτωση που το τοίχωμα μεταφέρει θερμότητα στο αέριο, δηλαδή το αέριο θερμαίνεται, ο εκθέτης εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τον τύπο του αερίου. Ο εκθέτης μπορεί να είναι είτε θετικός είτε αρνητικός ανάλογα με την πίεση και τη θερμοκρασία.