Κατανόηση των Συντελεστών Μεταφοράς Θερμότητας στη Συναγωγή

Ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας περιγράφει τη μεταφορά θερμότητας από ένα στερεό σε ένα ρέον ρευστό και αντίστροφα!

Εισαγωγή

Ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας περιγράφει τη μεταφορά θερμότητας από ένα στερεό σε ένα ρέον ρευστό (αέριο ή υγρό) ή αντίστροφα. Μια τέτοια κατάσταση μπορεί να φανεί, για παράδειγμα, με ένα ψυγείο. Ο κρύος αέρας διέρχεται από το ψυγείο λόγω ελεύθερης μεταφοράς και θερμαίνεται. Προφανώς, το ψυγείο μεταφέρει θερμότητα στον αέρα που περνά.

Εικόνα:Κυλινδρικοί σωλήνες θέρμανσης ενός καλοριφέρ

Μια τέτοια μεταφορά θερμότητας από τα θερμαινόμενα πτερύγια ψύξης σε μια ροή αέρα που παράγεται από έναν ανεμιστήρα είναι επίσης εμφανής στην ψύξη των καρτών γραφικών. Στην περίπτωση της υδρόψυξης, η θερμότητα δεν θα μεταφέρεται πλέον σε ρέον αέριο, αλλά σε ρέον υγρό. Και στις δύο περιπτώσεις, ωστόσο, δεν πρόκειται πλέον για ελεύθερη μεταφορά αλλά για αναγκαστική μεταφορά από ανεμιστήρα ή αντλία.

Εικόνα:Μεταφορά θερμότητας για ψύξη χρησιμοποιώντας το παράδειγμα καρτών γραφικών

Ορισμός του συντελεστή μεταφοράς θερμότητας

Όπως πάντα στις θερμοδυναμικές διεργασίες, η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ στερεού και ρευστού είναι η κινητήρια δύναμη για τη ροή θερμότητας. Ο ρυθμός ροής θερμότητας Q* που μεταφέρεται από το στερεό στο ρευστό είναι όσο μεγαλύτερος, τόσο μεγαλύτερη είναι η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ του στερεού «τοιχώματος» Tw και του ρέοντος ρευστού Tf. Η ροή θερμότητας είναι ανάλογη με τη διαφορά θερμοκρασίας:

\αρχή{στοίχιση}
&\dot Q \sim (T_w-T_f) \\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Ορισμός του συντελεστή μεταφοράς θερμότητας για μεταφορά θερμότητας με συναγωγή

Επιπλέον, η ροή θερμότητας εξαρτάται από την επιφάνεια του στερεού σε επαφή με το ρευστό που διέρχεται. Αυτή η επιφάνεια μπορεί να καλύψει ολόκληρη την εσωτερική επιφάνεια του σωλήνα, εάν, για παράδειγμα, θερμαίνεται ολόκληρος ο σωλήνας ή μόνο ένα μέρος του σωλήνα, εάν ο σωλήνας θερμαίνεται μόνο επιλεκτικά. Όσο μεγαλύτερη είναι η περιοχή, τόσο περισσότερη θερμότητα μπορεί να μεταφερθεί και τόσο μεγαλύτερη είναι η ροή θερμότητας μέσω αυτής της περιοχής. Για το λόγο αυτό, οι ψύκτρες με τσιπ αποτελούνται από πολλά πτερύγια ψύξης για τη δημιουργία της μεγαλύτερης δυνατής επιφάνειας. Τα καλοριφέρ χρησιμοποιούν επίσης αυτήν την αρχή χρησιμοποιώντας πολλούς μεμονωμένους σωλήνες θέρμανσης. Υπάρχει επίσης μια αναλογική σχέση μεταξύ της περιοχής Α και της ροής θερμότητας Q*:

\αρχή{στοίχιση}
&\dot Q \sim A \\[5px]
\end{align}

Η ροή θερμότητας είναι επομένως ανάλογη με τη διαφορά θερμοκρασίας και το εμβαδόν επιφάνειας, έτσι ώστε εισάγοντας μια σταθερά αναλογικότητας α η ροή θερμότητας μεταξύ στερεού και ρευστού μπορεί να προσδιοριστεί ως εξής:

\αρχή{στοίχιση}
&\dot Q \sim A \cdot (T_w-T_f) \\[5px]
\label{q}
&\boxed{\dot Q =\alpha \cdot A \cdot (T_w-T_f)} \\[5px]
\label{qq}
&\boxed{\dot q =\alpha \cdot (T_w-T_f)} ~~~\boxed{\dot q =\frac{\dot Q}{A}} ~~~\text{heat flow} \\[5px]
\end{align}

Στην εξίσωση (\ref{qq}) χρησιμοποιήθηκε ότι το πηλίκο της ροής θερμότητας και του εμβαδού αντιστοιχεί στη λεγόμενη ροή θερμότητας (πυκνότητα ροής θερμότητας ). Η ροή θερμότητας περιγράφει το ρυθμό ροής θερμότητας ανά μονάδα επιφάνειας (περιοχή του τοιχώματος που έρχεται σε επαφή με το ρευστό). Σε αυτό το πλαίσιο, η σταθερά αναλογικότητας α μπορεί επομένως να οριστεί ως η σχέση μεταξύ ροής θερμότητας και διαφοράς θερμοκρασίας και ονομάζεται συντελεστής μεταφοράς θερμότητας :

\αρχή{στοίχιση}
\label{a}
&\boxed{\alpha :=\frac{\dot q}{T_w-T_f}} ~~~\text{συντελεστής μεταφοράς θερμότητας}\\[5 px]
\end{align}

Ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας περιγράφει τη μεταφορά θερμότητας από ένα στερεό σε ένα ρέον ρευστό και αντίστροφα!

Σημαντικό :Ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας δεν πρέπει να συγχέεται με τη θερμική αγωγιμότητα. Η θερμική αγωγιμότητα περιγράφει τη μεταφορά θερμότητας λόγω θερμικής αγωγιμότητας μέσα σε ένα υλικό, ενώ ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας περιγράφει τη μεταφορά θερμότητας μεταξύ δύο διαφορετικών υλικών λόγω θερμικής μεταφοράς.

Παράγοντες που επηρεάζουν τον συντελεστή μεταφοράς θερμότητας

Οι εξισώσεις (\ref{q}) και (\ref{qq}) ισχύουν βασικά και για την αντίθετη περίπτωση, π.χ. όταν η θερμότητα μεταφέρεται από ένα ρέον ρευστό σε ένα στερεό. Μια τέτοια κατάσταση μπορεί να βρεθεί, για παράδειγμα, μέσα σε ένα ψυγείο όταν το νερό που ρέει μεταφέρει θερμότητα στο ψυγείο. Ωστόσο, η κατανομή της θερμοκρασίας στο ρευστό είναι διαφορετική. Αυτό με τη σειρά του επηρεάζει τον συντελεστή μεταφοράς θερμότητας, παρά τις πιθανές πανομοιότυπες διαφορές θερμοκρασίας. Επομένως, ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας εξαρτάται επίσης από την κατεύθυνση της ροής θερμότητας.

Εικόνα:Προφίλ θερμοκρασίας με θερμαινόμενο τοίχο (δεξιά) και θερμαινόμενο υγρό (αριστερά)

Σε αντίθεση με τη θερμική αγωγιμότητα, ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας δεν είναι σταθερά υλικού. Ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας εξαρτάται, μεταξύ άλλων, από τον συνδυασμό υλικού στερεού/ρευστού. Η τραχύτητα της επιφάνειας του στερεού παίζει επίσης ρόλο. Επιπλέον, η ταχύτητα ροής επηρεάζει τη μεταφορά θερμότητας και ιδιαίτερα τον τύπο της ροής, δηλαδή εάν η ροή είναι στρωτή ή τυρβώδης.

Ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας επηρεάζεται, μεταξύ άλλων, από τον συνδυασμό των ουσιών, τις ιδιότητες της επιφάνειας, την ταχύτητα ροής και τον τύπο ροής και την κατεύθυνση της ροής θερμότητας!

Επιπλέον, ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας εξαρτάται από το μέγεθος του συστήματος. Στην περίπτωση σωλήνα, εξαρτάται από τη διάμετρο και στην περίπτωση πλάκας από το μέγεθος της πλάκας. Για παρόμοιες συνθήκες ροής, επιτυγχάνονται χαμηλότεροι συντελεστές μεταφοράς θερμότητας για μεγαλύτερα συστήματα. Επομένως, ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας εξαρτάται πάντα από μια συγκεκριμένη εφαρμογή. Χωρίς περαιτέρω καθυστέρηση μια γενική περιγραφή των διεργασιών μεταφοράς δεν είναι επομένως δυνατή. Μια τέτοια γενική περιγραφή είναι δυνατή μόνο με την εισαγωγή μιας παραμέτρου ομοιότητας χωρίς διαστάσεις, του λεγόμενου αριθμού Nusselt. Περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτό μπορείτε να βρείτε στο συνδεδεμένο άρθρο.

Θερμοκρασίες αναφοράς

Εάν, όπως στην περίπτωση του καλοριφέρ, αναφέρεται η θερμοκρασία του αέρα που ρέει πέρα από αυτό, τίθεται το ερώτημα σε τι ακριβώς αναφέρεται αυτή η θερμοκρασία. Η θερμοκρασία του αέρα είναι προφανώς υψηλότερη κοντά στο ψυγείο παρά σε μεγαλύτερη απόσταση. Ως εκ τούτου, στις περισσότερες περιπτώσεις ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας αναφέρεται στη θερμοκρασία του ρευστού σε αρκετά μεγάλη απόσταση από τον τοίχο, όπου η θερμοκρασία είναι κάθετη στην κύρια κατεύθυνση ροής * δεν αλλάζει σχεδόν καθόλου (ονομάζεται επίσης θερμοκρασία ελεύθερης ροής ). Για τέτοιες εξωτερικές ροές Το σύμβολο T∞ επομένως χρησιμοποιείται συχνά αντί για Tf. Στην περίπτωση του καλοριφέρ, αυτή η θερμοκρασία αναφοράς θα είναι στη θερμοκρασία δωματίου στη μέση του δωματίου.

Εικόνα:Θερμοκρασία αναφοράς για χωρικά απεριόριστη ροή

Επίσης με ένα ρευστό μέσα σε ένα σωλήνα, για παράδειγμα όταν ρέει ζεστό νερό μέσα από το σύστημα σωληνώσεων του ψυγείου, υπάρχουν διαφορετικές θερμοκρασίες στο ρευστό. Στο κέντρο του σωλήνα (ροή πυρήνα ), το νερό είναι πιο ζεστό από ότι κοντά στο τοίχωμα του σωλήνα, όπου το ρευστό έχει ήδη μεταφέρει θερμότητα στο τοίχωμα του σωλήνα. Ωστόσο, σε αντίθεση με τον περιβάλλοντα αέρα έξω από το ψυγείο, το νερό μέσα στο ψυγείο βρίσκεται μόνο σε πολύ εντοπισμένη περιοχή. Για το λόγο αυτό, η θερμοκρασία ρευστού μιας εσωτερικής ροής αναφέρεται στη μέση θερμοκρασία στο εσωτερικό του σωλήνα. Αυτή η μέση θερμοκρασία θα αντιστοιχεί στη θερμοκρασία ανάμειξης εάν το υγρό ήταν ιδανικά αναμεμειγμένο.

Εικόνα:Θερμοκρασία αναφοράς για χωρικά περιορισμένη ροή (σωλήνας)

Για εξωτερικές ροές, η θερμοκρασία ρευστού αναφέρεται στη θερμοκρασία σε αρκετά μεγάλη απόσταση από τον τοίχο και για εσωτερικές ροές στη μέση θερμοκρασία του ρευστού!

*) Σημείωση: Εκτός από την κύρια κατεύθυνση ροής του ρευστού, το οποίο στους σωλήνες συνήθως εξαναγκάζεται από αντλία (forced convection), υπάρχει επίσης ελεύθερη συναγωγή λόγω διαφορών πυκνότητας που προκύπτουν από διαφορές θερμοκρασίας. Στην πράξη, λοιπόν, και οι δύο ροές επικαλύπτονται. Ανάλογα με την περίσταση, η ελεύθερη μεταφορά μπορεί να συμβάλει σημαντικά στη συνολική μεταφορά θερμότητας.

Σημασία του οριακού στρώματος για τη μεταφορά θερμότητας

Εάν ένα ρευστό ρέει κατά μήκος ενός τοίχου, αυτό έχει επίδραση στην ταχύτητα ροής. Λόγω των δυνάμεων τριβής (που περιγράφονται από το ιξώδες) μεταξύ τοιχώματος και ρευστού και εντός του ρευστού, η ταχύτητα ροής του ρευστού διαταράσσεται. Αυτό το διαταραγμένο στρώμα ταχύτητας ονομάζεται επίσης οριακό στρώμα ταχύτητας (επίσης ονομάζεται υδροδυναμικό οριακό στρώμα ). Λόγω της κατάστασης μη ολίσθησης , η ταχύτητα του ρευστού απευθείας στον τοίχο είναι μηδέν και στη συνέχεια αυξάνεται αργά.

Κινούμενα σχέδια:Υδροδυναμικό οριακό στρώμα Εικόνα:Υδροδυναμικό και θερμικό οριακό στρώμα

Δεδομένου ότι το ρευστό προσκολλάται κατευθείαν στον τοίχο και επομένως δεν υπόκειται σε συναγωγή, η μεταφορά θερμότητας εκεί είναι δυνατή μόνο με θερμική αγωγιμότητα. Σημειώστε ότι αυτό δεν σημαίνει ότι η μεταφορά δεν έχει σημαντική επίδραση στη συνολική μεταφορά θερμότητας! Επειδή λόγω των διαδικασιών μεταφοράς ολόκληρο το πεδίο θερμοκρασίας αλλάζει σε σύγκριση με μια κατάσταση χωρίς συναγωγή (η αναλογία μεταφοράς θερμότητας παρουσία μεταφοράς σε σύγκριση με μια κατάσταση χωρίς συναγωγή περιγράφεται με τον λεγόμενο αριθμό Nusselt)! Ωστόσο, ο νόμος του Φουριέ της θερμικής αγωγιμότητας εφαρμόζεται απευθείας στο τοίχωμα λf υποδηλώνει τη θερμική αγωγιμότητα του ρευστού):

\αρχή{στοίχιση}
&\dot{q_w} =- \lambda_f \cdot \left(\frac{\text{d}T_f}{\text{d}y}\right)_\text{wall} \\[5px]
\end{align}

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (\ref{a}), ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας δίνεται από τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή{στοίχιση}
&\alpha =\frac{\dot q_w}{T_w-T_f}\\[5px]
\label{ραβδί}
&\boxed{\alpha =\frac{- \lambda_f \cdot \left(\frac{\text{d}T_f}{\text{d}y}\right)_\text{wall}}{T_w-T_f}}\\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Μεταφορά θερμότητας στον τοίχο αποκλειστικά με αγωγιμότητα θερμότητας

Όπως φαίνεται από αυτή την εξίσωση, η διαβάθμιση θερμοκρασίας στον τοίχο έχει επομένως καθοριστική επίδραση στον συντελεστή μεταφοράς θερμότητας. Ωστόσο, η κατανομή της θερμοκρασίας στο ρευστό (πεδίο θερμοκρασίας) εξαρτάται από τις συνθήκες ροής στο ρευστό (πεδίο ταχύτητας). Αντίθετα, το πεδίο θερμοκρασίας με τη σειρά του επηρεάζει το ιξώδες του ρευστού και επομένως το πεδίο ταχύτητας. Επομένως, το πεδίο ταχύτητας και το πεδίο θερμοκρασίας επηρεάζουν το ένα το άλλο.

Το οριακό στρώμα μεταξύ ρευστού και τοιχώματος έχει καθοριστική επίδραση στη συνολική μεταφορά θερμότητας με συναγωγή!

Τοπικός και μέσος συντελεστής μεταφοράς θερμότητας

Το οριακό στρώμα που εξηγήθηκε στην προηγούμενη ενότητα γενικά δεν είναι ομοιόμορφη περιοχή, έτσι ώστε να προκύπτουν διαφορετικές συνθήκες ροής ανάλογα με την τοποθεσία. Έτσι, αυτό επηρεάζει επίσης το πεδίο θερμοκρασίας, ειδικά τις διαβαθμίσεις θερμοκρασίας στον τοίχο. Σύμφωνα με την παραπάνω εξίσωση (\ref{wand}), αυτό οδηγεί σε διαφορετικούς συντελεστές μεταφοράς θερμότητας ανάλογα με την τοποθεσία. Σε αυτό το πλαίσιο μιλάμε επίσης για τοπικό συντελεστή μεταφοράς θερμότητας .

Για να δείξουμε καλύτερα αυτή την κατάσταση, ας εξετάσουμε μια ισόθερμα θερμαινόμενη πλάκα, η οποία ρέει πάνω από ένα ρευστό. Η επίπεδη ροή θεωρείται ότι είναι στρωτή. Όταν το υγρό ρέει πάνω από την πλάκα, το στρώμα ρευστού απευθείας στον τοίχο προσκολλάται σε αυτό (κατάσταση μη ολίσθησης ). Αυτό προκαλεί την επιβράδυνση των στρωμάτων ρευστού παραπάνω καθώς η ροή συνεχίζεται. Η περιοχή όπου η ταχύτητα είναι διαταραγμένη έτσι σταδιακά αυξάνεται μέχρις ότου σε κάποιο σημείο έχει σχηματιστεί ένα σταθερό πάχος οριακής στρώσης δh.

Σχήμα:Υδροδυναμικό οριακό στρώμα μιας ισοθερμικά θερμαινόμενης πλάκας

Με τον ίδιο τρόπο, σχηματίζεται ένα θερμικό οριακό στρώμα όταν το ρευστό ρέει πάνω από την πλάκα. Ενώ η θερμοκρασία εντός της αδιατάρακτης ροής είναι σταθερή σε κάθε σημείο, το ρευστό θερμαίνεται όταν ρέει πάνω από την πλάκα. Στην περαιτέρω πορεία η θερμότητα διεισδύει βαθύτερα στο ρευστό. Έτσι, όχι μόνο υπάρχει μια περιοχή πάνω από την πλάκα στην οποία διαταράσσεται η ταχύτητα, αλλά και μια περιοχή στην οποία η θερμοκρασία είναι διαταραγμένη . Και τα δύο οριακά επίπεδα διαφέρουν γενικά μεταξύ τους (το πώς ακριβώς ορίζονται αυτά τα οριακά επίπεδα εξηγείται στο άρθρο Παράμετροι οριακής στρώσης και αδιάστατης ομοιότητας)!

Σχήμα:Θερμικό οριακό στρώμα μιας ισοθερμικά θερμαινόμενης πλάκας

Είναι πλέον σαφές ότι το πεδίο αλληλεπίδρασης της ταχύτητας και του πεδίου θερμοκρασίας ποικίλλει από τόπο σε τόπο. Επομένως, η μεταφορά θερμότητας διαφέρει επίσης από μέρος σε μέρος. Συνεπώς, σε κάθε θέση x μπορεί να οριστεί ένας τοπικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας αloc, ο οποίος περιγράφει την τοπική ροή θερμότητας q*loc:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\dot q_\text{loc} =\alpha_\text{loc} \cdot (T_w-T_f)} ~~~~~\text{τοπική ροή θερμότητας} \\[5px]
\end{align}

Σημειώστε ότι η θερμοκρασία Tw αναφέρεται στη σταθερή θερμοκρασία τοιχώματος και η Tf στη θερμοκρασία της αδιατάρακτης ροής (ελεύθερη ροή ). Ο όρος Tw-Tf είναι επομένως σταθερός ανεξάρτητα από τη θέση x. Επομένως, η τοπική ροή θερμότητας επηρεάζεται μόνο από τον τοπικό συντελεστή μεταφοράς θερμότητας!

Οι προσομοιώσεις σε υπολογιστή καθιστούν σχετικά εύκολο τον προσδιορισμό των τοπικών συντελεστών μεταφοράς θερμότητας, έτσι ώστε μετά την ενσωμάτωση των τοπικών ροών θερμότητας σε σχέση με την επιφάνεια της πλάκας, να μπορεί να προσδιοριστεί η συνολική συναγωγική ροή θερμότητας Q*:

\αρχή{στοίχιση}
\label{dqq}
&\dot Q =\int \limits_A \dot q_\text{loc} ~ \text{d}A=(T_w-T_f) \int \limits_A \alpha_\text{loc} ~ \text{d}A \\[5px]
\end{align}

Με τον ορισμό ενός μέσου συντελεστή μεταφοράς θερμότητας ,

\αρχή{στοίχιση}
\label{ma}
&\boxed{\overline{\alpha} =\frac{1}{A} \int \limits_A \alpha_\text{loc} ~ \text{d}A} ~~~~~\text{μέσος συντελεστής μεταφοράς θερμότητας} \\[5 px]
\end{align}

η συνολική μεταφορά θερμότητας από την πλάκα στο υγρό μπορεί να προσδιοριστεί ως εξής:

\αρχή{στοίχιση}
\label{dq}
&\boxed{\dot Q =\overline{\alpha} \cdot A \cdot (T_w-T_f)} ~~~~~\text{συνολική μεταφορά θερμότητας με συναγωγή} \\[5px]
\end{align}

Σημειώστε ότι όταν η εξίσωση (\ref{ma}) εισαχθεί στην εξίσωση (\ref{dq}), προκύπτει η εξίσωση (\ref{dqq}).

Σε αυτό το πλαίσιο, η εξίσωση (\ref{wand}) πρέπει να εξεταστεί πιο προσεκτικά, η οποία δείχνει τον (τοπικό) συντελεστή μεταφοράς θερμότητας ως συνάρτηση της βαθμίδας θερμοκρασίας σε ένα σημείο x στον τοίχο:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{\alpha_\text{loc} =\frac{- \lambda_f \cdot \left(\frac{\text{d}T_f}{\text{d}y}\right)_\text{wall,x}}{T_w-T_f}}\\[5px]
\end{align}

Εάν υποτεθεί σταθερή θερμική αγωγιμότητα λf του ρευστού, η μόνη παράμετρος που αλλάζει σε αυτή την εξίσωση είναι η βαθμίδα θερμοκρασίας. Καθώς η θέση x αυξάνεται, το πάχος του θερμικού οριακού στρώματος αυξάνεται, δηλαδή η θερμοκρασία αυξάνεται σε μεγαλύτερη απόσταση y. Έτσι, η διαβάθμιση θερμοκρασίας μειώνεται στην κατεύθυνση x και το ίδιο μειώνεται και ο τοπικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας. Έτσι, η τοπική ροή θερμότητας μειώνεται επίσης κατά μήκος της πλάκας (βλ. εικόνα παραπάνω)!

Αυτό είναι επίσης ξεκάθαρο, γιατί αν φανταστείτε μια (άπειρα) μεγάλη πλάκα, τότε κάποια στιγμή το υγρό θα έχει ζεσταθεί τόσο πολύ που θα έχει (σχεδόν) την ίδια θερμοκρασία με το τοίχωμα του σωλήνα. Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει κλίση θερμοκρασίας μεταξύ τοιχώματος και ρευστού και επομένως δεν υπάρχει κίνηση για ροή θερμότητας. Επομένως, η ροή θερμότητας πρέπει αναπόφευκτα να μειωθεί όταν το ρευστό ρέει πάνω από την ισόθερμα θερμαινόμενη πλάκα, καθώς οι θερμοκρασίες εξισώνονται όλο και περισσότερο.