Moonshine Master Toys With String Theory

Μετά την έκρηξη του ηφαιστείου Eyjafjallajökull στην Ισλανδία το 2010, οι ακυρώσεις πτήσεων άφησαν τη Miranda Cheng αποκλεισμένη στο Παρίσι. Ενώ περίμενε να καθαρίσει η στάχτη, ο Cheng, τότε μεταδιδακτορικός ερευνητής στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ που μελετούσε τη θεωρία των χορδών, σκέφτηκε μια εργασία που είχε πρόσφατα αναρτηθεί στο διαδίκτυο. Οι τρεις συν-συγγραφείς του είχαν επισημάνει μια αριθμητική σύμπτωση που συνδέει μακρινά μαθηματικά αντικείμενα. «Αυτό μυρίζει σαν άλλο φεγγαρόφωτο», θυμάται ο Τσενγκ. "Θα μπορούσε να είναι άλλη μια φεγγαρόφωτα;"

Έτυχε να έχει διαβάσει ένα βιβλίο για την «τερατώδη σεληνόφωτα», μια μαθηματική δομή που ξεδιπλώθηκε από ένα παρόμοιο κομμάτι αριθμολογίας:Στα τέλη της δεκαετίας του 1970, ο μαθηματικός John McKay παρατήρησε ότι 196.884, ο πρώτος σημαντικός συντελεστής ενός αντικειμένου που ονομάζεται j -συνάρτηση, ήταν το άθροισμα του ενός και του 196.883, των δύο πρώτων διαστάσεων στις οποίες μπορούσε να αναπαρασταθεί μια γιγάντια συλλογή συμμετριών που ονομάζεται ομάδα τεράτων. Μέχρι το 1992, οι ερευνητές είχαν εντοπίσει αυτή την απίθανη (άρα και «σεληνόφως») αντιστοιχία στην απίθανη πηγή της:τη θεωρία χορδών, μια υποψήφια για τη θεμελιώδη θεωρία της φυσικής που ρίχνει τα στοιχειώδη σωματίδια ως μικροσκοπικές ταλαντευόμενες χορδές. Το j -Η συνάρτηση περιγράφει τις ταλαντώσεις των χορδών σε ένα συγκεκριμένο μοντέλο θεωρίας χορδών και η ομάδα τεράτων καταγράφει τις συμμετρίες του χωροχρονικού υφάσματος που κατοικούν αυτές οι χορδές.

Την εποχή της έκρηξης του Eyjafjallajökull, «αυτό ήταν αρχαίο πράγμα», είπε ο Cheng - ένα μαθηματικό ηφαίστειο που, όσον αφορά τους φυσικούς, είχε αδρανήσει. Το μοντέλο της θεωρίας χορδών που κρύβεται πίσω από την τερατώδες φεγγαράδα δεν έμοιαζε σε τίποτα με τα σωματίδια ή τη χωροχρονική γεωμετρία του πραγματικού κόσμου. Αλλά ο Τσενγκ ένιωσε ότι η νέα φεγγαράδα, αν ήταν μία, μπορεί να ήταν διαφορετική. Περιλάμβανε επιφάνειες K3 — τα γεωμετρικά αντικείμενα που αυτή και πολλοί άλλοι θεωρητικοί χορδών μελετούν ως πιθανά μοντέλα παιχνιδιών του πραγματικού χωροχρόνου.

Μέχρι να πετάξει στο σπίτι από το Παρίσι, η Τσενγκ είχε αποκαλύψει περισσότερες αποδείξεις ότι υπήρχε η νέα σεληνόφωτα. Αυτή και οι συνεργάτες της John Duncan και Jeff Harvey παρουσίασαν σταδιακά στοιχεία όχι ενός αλλά 23 νέων φεγγαριών:μαθηματικές δομές που συνδέουν ομάδες συμμετρίας από τη μία πλευρά και θεμελιώδη αντικείμενα στη θεωρία αριθμών που ονομάζονται εικονικές αρθρωτές μορφές (μια κλάση που περιλαμβάνει το j -λειτουργία) από την άλλη. Η ύπαρξη αυτών των 23 φεγγαριών, που τέθηκαν στην εικασία τους για το Umbral Moonshine Conjecture το 2012, αποδείχθηκε από τον Ντάνκαν και τους συναδέλφους του στα τέλη του περασμένου έτους.

Εν τω μεταξύ, ο Cheng, 37 ετών, βρίσκεται στα ίχνη της θεωρίας χορδών Κ3 που βρίσκεται κάτω από τις 23 φεγγαρίνες - μια συγκεκριμένη εκδοχή της θεωρίας στην οποία ο χωροχρόνος έχει τη γεωμετρία μιας επιφάνειας Κ3. Αυτή και άλλοι θεωρητικοί χορδών ελπίζουν να είναι σε θέση να χρησιμοποιήσουν τις μαθηματικές ιδέες της ομπραλικής σελήνης για να μελετήσουν λεπτομερώς τις ιδιότητες του μοντέλου Κ3. Αυτό με τη σειρά του θα μπορούσε να είναι ένα ισχυρό μέσο για την κατανόηση της φυσικής του πραγματικού κόσμου όπου δεν μπορεί να διερευνηθεί άμεσα — όπως μέσα στις μαύρες τρύπες. Επίκουρος καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Άμστερνταμ σε άδεια από το Εθνικό Κέντρο Επιστημονικής Έρευνας της Γαλλίας, ο Cheng μίλησε με το Quanta Magazine για τα μυστήρια του φεγγαριού, τις ελπίδες της για τη θεωρία των χορδών και την απίθανη πορεία της από την πανκ-ροκ εγκατάλειψη του γυμνασίου σε μια ερευνήτρια που εξερευνά μερικές από τις πιο δυσνόητες ιδέες στα μαθηματικά και τη φυσική. Ακολουθεί μια επεξεργασμένη και συνοπτική έκδοση της συνομιλίας.

QUANTA MAGAZINE:Κάνεις θεωρία χορδών στις λεγόμενες επιφάνειες Κ3. Τι είναι και γιατί είναι σημαντικά;

ΜΙΡΑΝΤΑ ΤΣΕΝΓΚ:Η θεωρία χορδών λέει ότι υπάρχουν 10 διαστάσεις χωροχρόνου. Εφόσον αντιλαμβανόμαστε μόνο τέσσερα, τα άλλα έξι πρέπει να είναι κουλουριασμένα ή «συμπυκνωμένα» πολύ μικρά για να τα φαίνονται, όπως η περιφέρεια ενός πολύ λεπτού σύρματος. Υπάρχει μια πληθώρα δυνατοτήτων - κάτι σαν 10 - για το πώς θα μπορούσαν να συμπυκνωθούν οι επιπλέον διαστάσεις και είναι σχεδόν αδύνατο να πούμε ποια συμπαγοποίηση είναι πιο πιθανό να περιγράψει την πραγματικότητα από τα υπόλοιπα. Δεν μπορούμε να μελετήσουμε τις φυσικές ιδιότητες όλων αυτών. Ψάχνετε λοιπόν για μοντέλο παιχνιδιού. Και αν σας αρέσει να έχετε ακριβή αποτελέσματα αντί για προσεγγιστικά αποτελέσματα, τα οποία μου αρέσουν, τότε συχνά καταλήγετε με μια συμπαγοποίηση K3, η οποία είναι η μέση λύση για συμπαγοποιήσεις μεταξύ πολύ απλών και πολύ περίπλοκων. Καταγράφει επίσης τις βασικές ιδιότητες των πολλαπλών Calabi-Yau [της πιο μελετημένης κατηγορίας συμπαγοποιήσεων] και πώς συμπεριφέρεται η θεωρία χορδών όταν συμπιέζεται σε αυτές. Το K3 έχει επίσης τη δυνατότητα να κάνετε συχνά άμεσους και ακριβείς υπολογισμούς με αυτό.

Πώς μοιάζει πραγματικά το K3;

Μπορείτε να σκεφτείτε έναν επίπεδο κορμό και μετά να τον διπλώσετε έτσι ώστε να υπάρχει μια γραμμή ή μια γωνία με αιχμηρές άκρες. Οι μαθηματικοί έχουν έναν τρόπο να το εξομαλύνουν και το αποτέλεσμα της εξομάλυνσης ενός διπλωμένου επίπεδου κορμού είναι μια επιφάνεια Κ3.

Μπορείτε λοιπόν να καταλάβετε ποια είναι η φυσική σε αυτήν τη ρύθμιση, με χορδές που κινούνται μέσα από αυτήν τη χωροχρονική γεωμετρία;

Ναί. Στο πλαίσιο του διδακτορικού μου, εξερεύνησα πώς συμπεριφέρονται οι μαύρες τρύπες σε αυτή τη θεωρία. Μόλις έχετε τις κυρτωμένες διαστάσεις που σχετίζονται με το Κ3 Calabi-Yaus, μπορούν να σχηματιστούν μαύρες τρύπες. Πώς συμπεριφέρονται αυτές οι μαύρες τρύπες — ειδικά οι κβαντικές τους ιδιότητες;

Έτσι, θα μπορούσατε να προσπαθήσετε να λύσετε το παράδοξο της πληροφορίας — το μακροχρόνιο παζλ του τι συμβαίνει με τις κβαντικές πληροφορίες όταν πέφτουν μέσα σε μια μαύρη τρύπα.

Απολύτως. Μπορείτε να ρωτήσετε για το παράδοξο πληροφοριών ή τις ιδιότητες διαφόρων τύπων μαύρων τρυπών, όπως ρεαλιστικές αστροφυσικές μαύρες τρύπες ή υπερσυμμετρικές μαύρες τρύπες που προέρχονται από τη θεωρία χορδών. Η μελέτη του δεύτερου τύπου μπορεί να ρίξει φως στα ρεαλιστικά προβλήματά σας επειδή μοιράζονται το ίδιο παράδοξο. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η προσπάθεια κατανόησης της θεωρίας χορδών στο K3 και οι μαύρες τρύπες που προκύπτουν σε αυτή τη συμπύκνωση θα πρέπει επίσης να ρίξει φως σε άλλα προβλήματα. Τουλάχιστον, αυτή είναι η ελπίδα, και νομίζω ότι είναι μια λογική ελπίδα.

Πιστεύετε ότι η θεωρία χορδών περιγράφει σίγουρα την πραγματικότητα; Ή μήπως είναι κάτι που μελετάτε καθαρά για χάρη του;

Προσωπικά έχω πάντα τον πραγματικό κόσμο στο πίσω μέρος του μυαλού μου — αλλά πραγματικά, πραγματικά, πραγματικά πίσω. Το χρησιμοποιώ ως ένα είδος έμπνευσης για να προσδιορίσω κατά προσέγγιση τις μεγάλες κατευθύνσεις στις οποίες πηγαίνω. Αλλά η καθημερινή μου έρευνά δεν στοχεύει στην επίλυση του πραγματικού κόσμου. Το βλέπω ως διαφορές στο γούστο και στο στυλ και στις προσωπικές δυνατότητες. Απαιτούνται νέες ιδέες στη θεμελιώδη φυσική υψηλής ενέργειας και είναι δύσκολο να πούμε από πού θα προέλθουν αυτές οι νέες ιδέες. Η κατανόηση των βασικών, θεμελιωδών δομών της θεωρίας χορδών είναι απαραίτητη και χρήσιμη. Πρέπει να ξεκινήσετε από κάπου όπου μπορείτε να υπολογίσετε τα πράγματα, και αυτό οδηγεί, συχνά, σε πολύ μαθηματικές γωνίες. Η ανταμοιβή για την κατανόηση του πραγματικού κόσμου μπορεί να είναι πραγματικά μακροπρόθεσμη, αλλά αυτό είναι απαραίτητο σε αυτό το στάδιο.

Είχατε πάντα ταλέντο στη φυσική και τα μαθηματικά;

Ως παιδί στην Ταϊβάν ασχολήθηκα περισσότερο με τη λογοτεχνία — αυτό ήταν το μεγάλο μου πράγμα. Και μετά ασχολήθηκα με τη μουσική όταν ήμουν 12 ετών περίπου — ποπ μουσική, ροκ, πανκ. Ήμουν πάντα πολύ καλός στα μαθηματικά και τη φυσική, αλλά δεν με ενδιέφερε πραγματικά. Και πάντα έβρισκα το σχολείο ανυπόφορο και πάντα προσπαθούσα να βρω έναν τρόπο να το ξεπεράσω. Προσπάθησα να κάνω μια συμφωνία με τον δάσκαλο ότι δεν θα χρειαζόταν να πάω στην τάξη. Ή είχα μήνες αναρρωτική άδεια ενώ δεν ήμουν καθόλου άρρωστος. Ή παρέλειψα ένα χρόνο εδώ κι εκεί. Απλώς δεν ξέρω πώς να αντιμετωπίσω την εξουσία, υποθέτω.

Και το υλικό ήταν μάλλον πολύ εύκολο. Παράλειψα δύο χρόνια, αλλά αυτό δεν βοήθησε. Μετά με μετέφεραν σε μια ειδική τάξη και αυτό το έκανε ακόμη χειρότερο, γιατί όλοι ήταν πολύ ανταγωνιστικοί και δεν μπορούσα να αντιμετωπίσω καθόλου τον ανταγωνισμό. Τελικά έπαθα μεγάλη κατάθλιψη και αποφάσισα ή θα αυτοκτονούσα ή δεν θα πήγαινα στο σχολείο. Έτσι, σταμάτησα να πηγαίνω στο σχολείο όταν ήμουν 16 ετών, και επίσης έφυγα από το σπίτι επειδή ήμουν πεπεισμένος ότι οι γονείς μου θα μου ζητούσαν να επιστρέψω στο σχολείο και πραγματικά δεν ήθελα να το κάνω αυτό. Άρχισα λοιπόν να δουλεύω σε ένα δισκάδικο και τότε έπαιζα και σε ένα συγκρότημα και μου άρεσε.

Ilvy Njiokiktjien για το περιοδικό Quanta

Βίντεο: Η Miranda Cheng εξηγεί τι είναι η ομπραλική σελήνη και πώς μπορεί να φωτίσει τη θεωρία χορδών.

Πώς φτάσατε από εκεί στη θεωρία χορδών;

Με λίγα λόγια, αποθαρρύνθηκα λίγο ή βαρέθηκα. Ήθελα να κάνω κάτι άλλο εκτός από τη μουσική. Έτσι προσπάθησα να επιστρέψω στο πανεπιστήμιο, αλλά μετά είχα το πρόβλημα ότι δεν είχα αποφοιτήσει από το γυμνάσιο. Αλλά πριν σταματήσω το σχολείο, ήμουν σε μια ειδική τάξη για παιδιά που είναι πολύ καλά στις επιστήμες. Θα μπορούσα να μπω στο πανεπιστήμιο με αυτό. Οπότε σκέφτηκα, εντάξει, ωραία, θα μπω πρώτα στο πανεπιστήμιο με ειδικότητα στη φυσική ή στα μαθηματικά και μετά μπορώ να μεταβώ στη λογοτεχνία. Γράφτηκα λοιπόν στο τμήμα φυσικής, έχοντας μια πολύ συνεχή σχέση με αυτό, πήγαινα κάθε τόσο στο μάθημα, και μετά προσπαθούσα να σπουδάσω φιλολογία, ενώ έπαιζα ακόμα στο συγκρότημα. Τότε συνειδητοποίησα ότι δεν είμαι αρκετά καλός στη λογοτεχνία. Και επίσης υπήρχε ένας πολύ καλός δάσκαλος που δίδασκε κβαντομηχανική. Μόλις πήγα στην τάξη του και σκέφτηκα, αυτό είναι πραγματικά πολύ ωραίο. Άρχισα να δίνω λίγο περισσότερη προσοχή στις σπουδές μου στα μαθηματικά και τη φυσική και άρχισα να βρίσκω ειρήνη σε αυτά. Αυτό ήταν που άρχισε να με ελκύει στα μαθηματικά και τη φυσική, γιατί η άλλη ζωή μου στο συγκρότημα παίζοντας μουσική ήταν κάπως πιο χαοτική. Σου ρουφάει πολλά συναισθήματα. Πάντα δουλεύεις με ανθρώπους και η μουσική είναι πάρα πολύ για τη ζωή, τα συναισθήματα — πρέπει να δώσεις πολύ από τον εαυτό σου σε αυτήν. Τα μαθηματικά και η φυσική φαίνεται να έχουν αυτή την γαλήνια ήρεμη ομορφιά. Αυτός ο χώρος γαλήνης.

Στη συνέχεια, στο τέλος του πανεπιστημίου σκέφτηκα, ας μου επιτραπεί μόνο ένας χρόνος για να σπουδάσω φυσική, τότε τελείωσα πραγματικά με αυτό και μπορώ να συνεχίσω τη ζωή μου. Έτσι αποφάσισα να πάω στην Ολλανδία για να δω τον κόσμο και να σπουδάσω φυσική, και ασχολήθηκα πραγματικά εκεί.

Πήρες το μεταπτυχιακό σου στην Ουτρέχτη υπό τον νομπελίστα φυσικό Gerard ’t Hooft και μετά έκανες το διδακτορικό σου. στο Άμστερνταμ. Τι σας τράβηξε;

Η συνεργασία με τον ['t Hooft] ήταν ένας μεγάλος παράγοντας. Αλλά μόνο το να μάθετε περισσότερα είναι επίσης ένας μεγάλος παράγοντας — να συνειδητοποιήσετε ότι υπάρχουν τόσες πολλές ενδιαφέρουσες ερωτήσεις. Αυτό είναι το κομμάτι της μεγάλης εικόνας. Αλλά για μένα το καθημερινό κομμάτι είναι επίσης σημαντικό. Η μαθησιακή διαδικασία, η διαδικασία σκέψης, πραγματικά η ομορφιά της. Κάθε μέρα συναντάς κάποιες εξισώσεις ή κάποιον τρόπο σκέψης, ή αυτό το γεγονός οδηγεί σε αυτό το γεγονός — σκέφτηκα, καλά, αυτό είναι όμορφο. Ο Gerard δεν είναι θεωρητικός χορδών - είναι πολύ ανοιχτόμυαλος σχετικά με το ποια πρέπει να είναι η σωστή περιοχή της κβαντικής βαρύτητας - έτσι εκτέθηκα σε μερικές διαφορετικές επιλογές. Με τράβηξε η θεωρία χορδών επειδή είναι μαθηματικά αυστηρή και όμορφη.

Με τη δουλειά που κάνετε τώρα, εκτός από την ομορφιά, σας ελκύει και το μυστήριο αυτών των συνδέσεων μεταξύ φαινομενικά διαφορετικών μερών των μαθηματικών και της φυσικής;

Το μέρος του μυστηρίου συνδέεται με την κακή πλευρά του χαρακτήρα μου, που είναι η εμμονική πλευρά. Αυτή είναι μια από τις κινητήριες δυνάμεις που θα ονόμαζα ελαφρώς αρνητική από ανθρώπινη άποψη, αν και όχι από την άποψη των επιστημόνων. Υπάρχει όμως και η θετική κινητήρια δύναμη, η οποία είναι ότι μου αρέσει πολύ να μαθαίνω διαφορετικά πράγματα και να νιώθω πόσο αδαής είμαι. Απολαμβάνω αυτή την απογοήτευση, όπως, «Δεν ξέρω τίποτα για αυτό το θέμα. Θέλω πολύ να μάθω!» Αυτό είναι λοιπόν ένα κίνητρο - να βρεθείτε σε αυτό το οριακό σημείο μεταξύ μαθηματικών και φυσικής. Το Moonshine είναι ένα παζλ που μπορεί να απαιτεί εμπνεύσεις από παντού και γνώσεις από παντού. Και η ομορφιά, σίγουρα - είναι μια όμορφη ιστορία. Είναι κάπως δύσκολο να πούμε γιατί είναι όμορφο. Είναι όμορφο όχι με τον ίδιο τρόπο που ένα τραγούδι είναι όμορφο ή μια εικόνα είναι όμορφη.

Ποια είναι η διαφορά;

Συνήθως ένα τραγούδι είναι όμορφο γιατί προκαλεί ορισμένα συναισθήματα. Αντηχεί με μέρος της ζωής σας. Η μαθηματική ομορφιά δεν είναι αυτή. Είναι κάτι πολύ πιο δομημένο. Σου δίνει την αίσθηση του κάτι πολύ πιο μόνιμο και ανεξάρτητο από σένα. Με κάνει να νιώθω μικρή και μου αρέσει αυτό.

Τι είναι ακριβώς το moonshine;

Ένα φεγγαρόφωτο συσχετίζει τις αναπαραστάσεις μιας ομάδας πεπερασμένης συμμετρίας με μια συνάρτηση με ειδικές συμμετρίες [τρόπους με τους οποίους μπορείτε να μετατρέψετε τη συνάρτηση χωρίς να επηρεάσετε την έξοδο της]. Κάτω από αυτή τη σχέση, τουλάχιστον στην περίπτωση της τερατώδους φεγγαρόφωτας, βρίσκεται μια θεωρία χορδών. Η θεωρία χορδών έχει δύο γεωμετρίες. Το ένα είναι η γεωμετρία του "worldsheet". Εάν έχετε μια χορδή - ουσιαστικά έναν κύκλο - που κινείται στο χρόνο, τότε θα έχετε έναν κύλινδρο. Αυτό είναι που ονομάζουμε γεωμετρία φύλλου κόσμου. είναι η ίδια η γεωμετρία της χορδής. Εάν κυλήσετε τον κύλινδρο και συνδέσετε τα δύο άκρα, θα έχετε έναν τόρο. Ο τόρος σας δίνει τη συμμετρία του j -λειτουργία. Η άλλη γεωμετρία στη θεωρία χορδών είναι ο ίδιος ο χωροχρόνος και η συμμετρία του σας δίνει την ομάδα τεράτων.

Εάν ή όταν βρείτε τη θεωρία χορδών Κ3 κάτω από τις 23 σεληνόφωτες, τι θα σας αγόραζαν οι φεγγαρόφωτες όσον αφορά νέους τρόπους με τους οποίους μπορείτε να μελετήσετε τη θεωρία χορδών Κ3;

David Kaplan, Petr Stepanek και MK12 για το Quanta Magazine; Μουσική Steven Gutheinz

Τι θα συμβεί αν πέσετε σε μια μαύρη τρύπα; Αυτό το δίλεπτο βίντεο δείχνει πώς οι μαύρες τρύπες φωτίζουν τη φαινομενική αντίφαση μεταξύ της γενικής σχετικότητας και της κβαντικής μηχανικής.

Δεν ξέρουμε ακόμα, αλλά αυτές είναι μορφωμένες εικασίες:Το να έχετε μια σεληνόφωτα σας λέει ότι αυτή η θεωρία πρέπει να έχει μια αλγεβρική δομή [πρέπει να είστε σε θέση να κάνετε άλγεβρα με τα στοιχεία της]. Αν κοιτάξετε μια θεωρία και ρωτήσετε τι είδους σωματίδια έχετε σε ένα συγκεκριμένο ενεργειακό επίπεδο, αυτή η ερώτηση είναι άπειρη, γιατί μπορείτε να πάτε σε όλο και υψηλότερες ενέργειες, και μετά αυτή η ερώτηση συνεχίζεται και συνεχίζεται. Σε τερατώδη φεγγαρόφωτα, αυτό εκδηλώνεται στο γεγονός ότι αν κοιτάξετε το j -συνάρτηση, υπάρχουν άπειροι όροι που βασικά συλλαμβάνουν την ενέργεια των σωματιδίων. Αλλά γνωρίζουμε ότι υπάρχει μια αλγεβρική δομή που κρύβεται πίσω από αυτό - υπάρχει ένας μηχανισμός για το πώς οι καταστάσεις χαμηλότερης ενέργειας μπορούν να συσχετιστούν με καταστάσεις υψηλότερης ενέργειας. Αυτή η άπειρη ερώτηση λοιπόν έχει δομή. δεν είναι απλώς τυχαίο.

Όπως μπορείτε να φανταστείτε, η ύπαρξη μιας αλγεβρικής δομής σάς βοηθά να κατανοήσετε ποια είναι η δομή που καταγράφει μια θεωρία - πώς, αν κοιτάξετε τις χαμηλότερες ενεργειακές καταστάσεις, θα σας πουν κάτι για τις καταστάσεις υψηλότερης ενέργειας. Και στη συνέχεια σας δίνει επίσης περισσότερα εργαλεία για να κάνετε υπολογισμούς. Αν θέλετε να καταλάβετε κάτι σε υψηλό ενεργειακό επίπεδο [όπως μέσα στις μαύρες τρύπες], τότε έχω περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτό. Μπορώ να υπολογίσω τι θέλω να υπολογίσω για καταστάσεις υψηλής ενέργειας χρησιμοποιώντας αυτά τα δεδομένα χαμηλής ενέργειας που έχω ήδη στα χέρια μου. Αυτή είναι η ελπίδα.

Το Umbral moonshine σας λέει ότι πρέπει να υπάρχει μια δομή σαν αυτή που δεν καταλαβαίνουμε ακόμα. Η γενικότερη κατανόηση του θα μας αναγκάσει να κατανοήσουμε αυτήν την αλγεβρική δομή. Και αυτό θα οδηγήσει σε μια πολύ βαθύτερη κατανόηση της θεωρίας. Αυτή είναι η ελπίδα.