Χαρισμένοι με γνώση, οι μαθηματικοί επιδιώκουν να καταλάβουν

Φανταστείτε ότι εξωγήινοι προσγειώθηκαν στη Γη και μας έδωσαν σωστές απαντήσεις στις πιο πιεστικές ερωτήσεις μας:Υπάρχει Θεός; Είναι αληθινή η υπόθεση Riemann; Ο Όσβαλντ ενήργησε μόνος;

Θα εκτιμούσαμε τις πληροφορίες, αλλά δεν θα ήταν πραγματικά χρήσιμο αν δεν ξέραμε πώς πήραν τις απαντήσεις τους.

Αυτή είναι η κατάσταση στην οποία βρίσκονται πλέον τα μαθηματικά. Τον Ιανουάριο, μια ομάδα επιστημόνων υπολογιστών δημοσίευσε μια σαρωτική απόδειξη που έχει χαιρετιστεί ως ένα από τα κορυφαία αποτελέσματα στον τομέα της αυτόν τον αιώνα. Ωστόσο, η απόδειξη ξεπέρασε πολύ την επιστήμη των υπολογιστών. Μέσα από μια μακρά αλυσίδα συνεπειών, έλυσε επίσης ένα σημαντικό ανοιχτό πρόβλημα στα μαθηματικά.

Οι μαθηματικοί —στον τομέα της άλγεβρας τελεστών, όπου παρουσιάζεται το πρόβλημα— είναι τώρα σαν εκείνοι οι γήινοι, χαρισμένοι με γνώση από μακριά. Η επιστήμη των υπολογιστών τους είπε ότι μια εικασία που τους ενδιαφέρει είναι ψευδής. Αλλά για να κάνουν οτιδήποτε χρήσιμο με τις πληροφορίες, πρέπει να βρουν έναν τρόπο να μεταφράσουν την απόδειξη σε μια γλώσσα που μπορούν να κατανοήσουν.

«Αν περισσότεροι άνθρωποι στην κοινότητα της άλγεβρας των χειριστών έδιναν προσοχή σε αυτό τα τελευταία δύο χρόνια, η κοινότητα στο σύνολό της θα μπορούσε να είναι πιο κοντά στο να αφομοιώσει αυτό το αποτέλεσμα», δήλωσε ο Βερν Πόλσεν, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Βατερλό στον Καναδά. "Έχουμε πολλά να κάνουμε."

Η εικασία

Το μαθηματικό πρόβλημα είναι η εικασία ενσωμάτωσης του Connes, που τέθηκε το 1976 από τον Alain Connes του Ινστιτούτου Προηγμένων Επιστημονικών Σπουδών στη Γαλλία. Έχει να κάνει με ορισμένα αριθμητικά αντικείμενα που προκύπτουν στα μαθηματικά της κβαντικής μηχανικής.

Αρχικά, εξετάστε ένα απλούστερο σενάριο. Φανταστείτε μια μπάλα πεταμένη στον αέρα. Χρειάζεστε τρεις αριθμούς για να καθορίσετε τη θέση του κατά μήκος του x , y και z άξονες του χώρου. Συνδέοντας αυτούς τους αριθμούς σε εξισώσεις, μπορείτε να μοντελοποιήσετε την τροχιά της μπάλας.

Εντάξει.

Τώρα φανταστείτε ότι θέλετε να περιγράψετε μαθηματικά μια δέσμη φωτός. Αυτό είναι ένα κβαντομηχανικό σύστημα που οι μαθηματικοί και οι φυσικοί περιγράφουν συνδέοντας τετράγωνους πίνακες αριθμών σε εξισώσεις. Αυτοί οι πίνακες, που ονομάζονται πίνακες, παίζουν το ρόλο των αριθμών στο παράδειγμα μπάλας:Περιέχουν όλες τις πληροφορίες που χρειάζονται για να περιγράψουν τη θέση της δέσμης φωτός.

Όμως, ενώ μόνο τρεις αριθμοί αρκούν για να περιγράψουν τη σφαίρα, οι μήτρες που περιγράφουν τη δέσμη φωτός είναι τεράστιοι:Περιέχουν άπειρες σειρές και στήλες αριθμών.

Γιατί τόσα πολλά; Επειδή μια δέσμη φωτός είναι πραγματικά ένα ρεύμα φωτονίων.

Ένας τρόπος για να το σκεφτούμε είναι να δημιουργήσουμε ένα μοντέλο από μεμονωμένα φωτόνια. Μια δέσμη φωτός με ένα μόνο φωτόνιο μπορεί να περιγραφεί από μια μήτρα 2 προς 2 της οποίας οι αριθμοί αντιπροσωπεύουν τη «γωνία δόνησης» του φωτονίου, μια μέτρηση που αντιστοιχεί χονδρικά στην κατεύθυνση ταξιδιού του. Μια δέσμη με διπλάσια φωτόνια - δύο - απαιτεί μήτρα 4 επί 4. Τρία φωτόνια χρειάζονται μια μήτρα 8 επί 8. Τέσσερα φωτόνια λαμβάνουν μια μήτρα 16 επί 16 και ούτω καθεξής, με τον αριθμό των γραμμών και των στηλών να αυξάνεται κατά 2 κάθε φορά που προσθέτετε ένα φωτόνιο.

Έτσι, αν τελικά προχωρήσετε σε ολόκληρη τη δέσμη φωτός, πόσο μεγάλη μήτρα θα χρειαστείτε για να την περιγράψετε; Αυτό εξαρτάται από το πόσα φωτόνια περιέχει η δέσμη — και η κβαντομηχανική θεωρεί τη δέσμη, κατά μία έννοια, ως κύμα που περιέχει απεριόριστο αριθμό φωτονίων.

«Πρέπει να το σκεφτείς ως ένα άπειρο ρεύμα», είπε ο Paulsen. Αυτή η δέσμη θα απαιτούσε έναν πίνακα με άπειρο αριθμό σειρών και στηλών για να την περιγράψει. Ο μαθηματικός και πολυμαθής John von Neumann ξεκίνησε τη μελέτη των μητρών άπειρων διαστάσεων που προκύπτουν από τα κβαντομηχανικά συστήματα τη δεκαετία του 1930.

Τέσσερις δεκαετίες αργότερα, ο Connes χτίστηκε πάνω σε αυτό το έργο. Πρότεινε έναν συστηματικό τρόπο σκέψης για τους πίνακες άπειρων διαστάσεων που περιγράφουν ένα σύστημα όπως ένα ρεύμα φωτονίων, υποθέτοντας ότι μπορούν να κατασκευαστούν με τάξη από μικρότερους, πεπερασμένων διαστάσεων πίνακες.

Μπορείτε να το σκεφτείτε έτσι.

Φανταστείτε ότι έχετε έναν επίπεδο χάρτη της επιφάνειας της Γης και θέλετε να μάθετε τη θερμοκρασία παντού. Θα μπορούσατε να μετρήσετε ένα θερμόμετρο σε καθένα από τα άπειρα σημεία αυτού του χάρτη. Στη συνέχεια, θα μπορούσατε να αναπαραστήσετε αυτές τις μετρήσεις κατασκευάζοντας έναν πίνακα με άπειρο αριθμό σειρών και στηλών.

Αλλά αυτό είναι πολλή δουλειά. Προσπαθήστε λοιπόν τώρα να κάνετε μια πιο ακατέργαστη προσέγγιση:Διαιρέστε τον χάρτη σε τέσσερα τεταρτημόρια και υπολογίστε τη μέση θερμοκρασία σε κάθε τεταρτημόριο. Θα μπορούσατε να αναπαραστήσετε αυτές τις πληροφορίες σε έναν απλό πίνακα 2 προς 2.

Ας πούμε ότι θέλετε να τα πάτε λίγο καλύτερα. Χωρίστε κάθε τεταρτημόριο σε τεταρτημόρια. Τώρα έχετε συνολικά 16 περιοχές. Υπολογίστε τη μέση θερμοκρασία σε καθένα από αυτά και αναπαραστήστε αυτές τις πληροφορίες σε έναν πίνακα 4 επί 4. Θα μπορούσατε να συνεχίσετε έτσι, διαιρώντας τα τεταρτημόρια σε τεταρτημόρια και αντιπροσωπεύοντας τη μέση θερμοκρασία των τεταρτημορίων ως πίνακες με μεγαλύτερο και μεγαλύτερο — αλλά ακόμα πεπερασμένο — αριθμό σειρών και στηλών.

Τώρα, για κάθε πίνακα πεπερασμένων διαστάσεων, θα μπορούσατε να αναρωτηθείτε:Πόσο καλά προσεγγίζει τις ενδείξεις θερμοκρασίας στον πίνακα απειρών διαστάσεων; Με τον πίνακα 2 προς 2, για παράδειγμα, μπορείτε να ελπίζετε ότι η μέση θερμοκρασία για ένα τεταρτημόριο είναι εντός του 10% της πραγματικής θερμοκρασίας σε κάθε σημείο εντός αυτού του τεταρτημορίου. Η μήτρα 4 επί 4 είναι ελαφρώς πιο εκλεπτυσμένη, επομένως ίσως ελπίζετε να τα πάτε λίγο καλύτερα, ίσως να φτάνετε στο 9% της πραγματικής θερμοκρασίας σε κάθε σημείο.

Η εικασία ενσωμάτωσης Connes έχει παρόμοια γεύση. Αλλά αντί για μετρήσεις θερμοκρασίας σε έναν χάρτη, έχει να κάνει με τις μήτρες που περιγράφουν τα κβαντομηχανικά συστήματα όπως η δέσμη φωτός.

Ο Connes προέβλεψε ότι η γνώση της συμπεριφοράς του συστήματος σε ένα απλοποιημένο επίπεδο - την έκδοση μήτρας 2 προς 2 - σας επιτρέπει πάντα να προσεγγίζετε τη συμπεριφορά ολόκληρου του συστήματος εντός κάποιου περιθωρίου σφάλματος. Αυτό το σφάλμα συρρικνώνεται καθώς αυξάνεται το μέγεθος του πίνακα. Καθώς προσθέτετε φωτόνια και διευρύνετε το μέγεθος της μήτρας, πλησιάζετε όλο και πιο κοντά στον άπειρο-διάστατο πίνακα που πραγματικά περιγράφει τι συμβαίνει με τη δέσμη φωτός.

Αποδείχθηκε ψευδής

Αλλά το νέο αποτέλεσμα από την επιστήμη των υπολογιστών αποδεικνύει ότι η πρόβλεψη του Connes είναι ψευδής. Αυτό σημαίνει ότι ενώ το σχήμα προσέγγισης λειτουργεί για ορισμένους πίνακες απεριόριστων διαστάσεων που περιγράφουν κβαντομηχανικά συστήματα, δεν λειτουργεί για όλους.

«Η εικασία του προέβλεψε ότι το να γνωρίζει κανείς αρκετές πληροφορίες για κάθε υποσύστημα ήταν αρκετές πληροφορίες για να περιγράψει ολόκληρο το σύστημα, σε κάποιο σφάλμα», έγραψε ο Paulsen σε ένα email. "Τώρα ξέρουμε ότι δεν είναι."

Η αποτυχία της εικασίας ενσωμάτωσης του Connes έχει αρκετές συνέπειες για τα μαθηματικά. Το πρώτο είναι το παραπάνω σημείο, ότι δεν μπορούν να προσεγγιστούν καλά όλοι οι πίνακες άπειρων διαστάσεων με πίνακες πεπερασμένων διαστάσεων.

Η δεύτερη συνέπεια είναι ότι πρέπει να υπάρχουν οικογένειες πινάκων άπειρων διαστάσεων που οι μαθηματικοί δεν γνωρίζουν. Ο Connes προέβλεψε ότι όλες οι οικογένειες μητρών απεριόριστων διαστάσεων μπορούν να προσεγγιστούν καλά με πίνακες πεπερασμένων διαστάσεων, και μέχρι στιγμής, αυτό συνέβαινε πάντα. Η νέα απόδειξη αποδεικνύει ότι αυτό το σχήμα προσέγγισης δεν λειτουργεί πάντα, αλλά στην πραγματικότητα δεν προσδιορίζει συγκεκριμένες οικογένειες πινάκων που αποκλίνουν από αυτό. Τώρα λοιπόν οι μαθηματικοί πρέπει να πάνε και να βρουν αυτούς που δεν λειτουργούν.

Οι κυματισμοί πηγαίνουν και σε άλλες κατευθύνσεις. Μια σειρά από άλλες εικασίες συνδέθηκαν με την εικασία ενσωμάτωσης του Connes:Αν ήταν αλήθεια, όπως υπέθεσαν πολλοί μαθηματικοί, θα ήταν αυτόματα και αυτά τα άλλα προβλήματα. Αλλά επειδή είναι ψευδές, αυτές οι άλλες εικασίες είναι τώρα πιο αβέβαιες από ποτέ. Και οι μαθηματικοί τα έχουν παραμελήσει μέχρι τώρα.

«Αυτό εμπόδισε πραγματικά τους ανθρώπους να ασχοληθούν με αυτά τα προβλήματα. Αλλά τώρα το παιχνίδι ξεκινά και πάλι», είπε ο Paulsen.

Ωστόσο, για να μπορέσουν οι μαθηματικοί να επιδιώξουν οποιαδήποτε από αυτές τις συνέπειες, πρέπει να κατανοήσουν το αποτέλεσμα της επιστήμης των υπολογιστών που τις προκάλεσε. Δεν θα είναι εύκολο. Η νέα απόδειξη είναι μια εκτεταμένη εργασία 165 σελίδων που αναπτύχθηκε εδώ και αρκετά χρόνια και έχει τις ρίζες της στη θεωρία του υπολογισμού και όχι στην άλγεβρα τελεστών. Ως Quanta όπως εξηγήθηκε πρόσφατα, παραπέμπει στην πρώιμη θεωρία υπολογισμού του Alan Turing και επίσης βασίζεται στην κβαντική εμπλοκή και σε αυτούς τους αστείους διαγωνισμούς τύπου κουίζ που ονομάζονται μη τοπικά παιχνίδια. Πολλά από αυτά είναι ξένα για τους μαθηματικούς.

"Εάν δεν προσέχετε τα τελευταία δύο χρόνια", είπε ο Paulsen, "τότε είναι πολύ περίεργο το γεγονός ότι [αυτές οι μέθοδοι] έλυσαν τον Connes, που είναι μια ερώτηση σχετικά με τους πίνακες."

Οι μαθηματικοί προσπαθούν τώρα να διαβάσουν οι ίδιοι την εργασία. Αυτοί που το καταλαβαίνουν οργανώνουν σεμινάρια για να το διδάξουν σε άλλους. Οι πέντε επιστήμονες υπολογιστών που το έγραψαν σχεδίαζαν επίσης διαλέξεις για να εξηγήσουν τη δουλειά τους στη μαθηματική κοινότητα.

Τελικά οι μαθηματικοί θα απορροφήσουν το νέο αποτέλεσμα και πιθανότατα θα βρουν τρόπους να το επαναδιατυπώσουν στη γλώσσα του τομέα τους. Αλλά ο ανθρώπινος πολιτισμός δεν θα προσαρμοστεί σε ένα τράνταγμα εξωγήινης διορατικότητας εν μία νυκτί. Ούτε και τα μαθηματικά.

«Θα πάρει λίγο χρόνο», είπε ο Paulsen.